从前有个聪明的孩 子叫王戎。他7岁时,与 小伙伴们外出游玩看 到路边的李树上结满了 3.果子小伙伴们纷纷去 摘取果子,只有王戎站 有人问王戎为什么, 在原地不动。 王戎回答说:“树在道边而多子此必苦李 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李, 王戎是怎样知道李子是苦的呢? 他运用了怎样的推理方法?
从前有个聪明的孩 子叫王戎。他7岁时,与 小伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满了 果子.小伙伴们纷纷去 摘取果子,只有王戎站 有人问王戎为什么， 在原地不动. 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李. ” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢? 他运用了怎样的推理方法?
王戎推理方法是: 假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件“树在道边而多子”产生矛 盾 ↓ 假设“李子甜”不成立 ↓ 所以“树在道边而多子,此必为苦李”是正确的
假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件“树在道边而多子”产生矛 盾 假设 “李子甜”不成立 所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的 王戎推理方法是:
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反证法定义 在证明一个命题时,人们有时 先假设命题不成立 从这样的假设出发经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立,是错误的, 即所求证的命题正确 这种证明方法叫做反证法
先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立，是错误的, 即所求证的命题正确. 在证明一个命题时,人们有时 这种证明方法叫做反证法
写出下列各结论的反面: (1)a/b aHb 路 (2)a>0 a<0 (3)b是正数 b是0或负数 (4)a⊥b a不垂直于b (5)至多有一个至少有两个 (6)至少有三个至多有两个 (7)至少有一个一个也没有 (8)至少有n个至多有(n-1)个
1、写出下列各结论的反面： （1）a//b （2）a≥0 （3）b是正数 （4）a⊥b ( 5 ) 至多有一个 （6）至少有三个 ( 7 ) 至少有一个 ( 8 ) 至少有n个 a<0 b是0或负数 a不垂直于b a∥b 一个也没有 至少有两个 至多有两个 至多有(n-1)个
定理 求证在同一平面内如果一条直和两条平 行直线中的一条相交那么和另一条也相交。 已知:直线l123在同一平面内且123与L1相交于 点P 求证:3与2相交 证明:假设与与2不相交。, 即 因为已知_1 所以过直线l2外一点P有两条直线和2平行 这与“经过直线外一点有且只有一条直 线平行于已知直线”矛盾 所以假设不成立即求证的命题正确。所以l3与l2相交
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1 ,l2 ,l3在同一平面内,且l1∥l2 ,l3与l1相交于 点P. 求证: l3与l2相交. 证明: 假设____________, 即_________. 因为已知_________, 这与“ _______________________ _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确. l1 l2 l3 P l3与l2 不相交. l3∥l2 l1∥l2 经过直线外一点,有且只有一条直 线平行于已知直线 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 所以 l3与l2相交. 定理
反证法的一般步骤: 假设命题结 论不成立 假设假设命题结 所证命题 论反面成立 成立 与已知条 件矛盾 假设不 推理得出 成立 的结论 与定理,定义, 公理矛盾
反证法的一般步骤: 假设命题结 论不成立 假设不 成立 假设命题结 论反面成立 与已知条 件矛盾 假设 推理得出 的结论 与定理，定义， 公理矛盾 所证命题 成立
∞试试看! 用反证法证明(填空):在三角形的内角中,至少有一个角 大于或等于60° 已知:如图,∠A,∠B,∠C是△ABC的内角 求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60度 证明 B 假设所求证的结论不成立,即 ∠A<60°,∠B<60°,∠C 则∠A+∠B+∠C<180度 这于三角形的内角和等于180°矛盾 所以假设命题不成立 所以,所求证的结论成立
用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角 大于或等于６０° 已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度 证明 假设所求证的结论不成立，即 ∠Ａ＿＿６０° ，∠Ｂ＿＿６０° ，∠Ｃ＿＿６０° 则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度 这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾 所以假设命题＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立． ＜ ＜ ＜ 三角形的内角和等于１８０° 不成立 Ａ Ｂ Ｃ 试试看!
合作学习 求证:在同一平面内如果两条直线都和第三条直线 平行那么这两条直线也互相平行 (1)你首先会选择哪一种证明方法? (2)如果选择反证法先怎样假设?结果和什么产生矛盾? 已知:如图,l1∥/12,2∥13 求证:1∥13 证明:假设1不平行13,则1与13相交,设交点为p 1∥12,12∥13,则过点p就有两条直线 3都与12平行,这与“经过直线外一点,有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾 所以假设不成立,所求证的结论成立 即1∥13
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线 平行,那么这两条直线也互相平行. (1)你首先会选择哪一种证明方法? (2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾? 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证： l１∥l３ l２ l１ l３ ∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾． 证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p. p 所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
合作学习 定狸 求证:在同一平面内如果两条直线都和第三条直线平 行,那么这两条直线也互相平行 3)不用反证法证明 2 已知:如图,l1∥l2,2∥13 求证:l1∥/l3 B12 证明:作直线l,分别与直线1,l2 C/3 l3交于于点A,B,C。 l1∥2,2∥13(已知 ∠2=∠1,∠1=∠3(两直线平行,同位角相等) ∴∠2=∠3(等式性质 1∥l3(同位角相等,两直线平行)
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条 直线平 行,那么这两条直线也互相平行. 定理 (3)不用反证法证明 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3 l1 l2 l3 l B ∵l1∥l2 ,l 2∥l 3（已知） ∴∠2 =∠1 ，∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等） 证明:作直线l，分别与直线l1 ， l2 ， l3交于于点A，B，C。 ∴∠2 =∠3（等式性质） ∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行） 2 1 3 l C A