pea nEDU. com 46反证法
小故事: pea nEDU. com 中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎 7岁时与小伙伴们外出游玩看到路边的李树上 结满了果子小伙伴们纷纷去摘取果子只有王戎 站在原地不动有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李 王戎是怎样知道李子是苦的吗?他 运用了怎样的推理方法?
中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎 7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上 结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎 站在原地不动.有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李. ” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的吗?他 运用了怎样的推理方法?
pea nEDU. com 例:小华睡觉前,地上是干的,早晨起来 看见地上全湿了。小华对婷婷说:“昨天 晚上下雨了。 您能对小华的判断说出理由吗? 假设昨天晚上没有下雨,那么地上应是 干的,这与早晨地上全湿了相矛盾,所以 说昨晚下雨是正确的
例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来， 看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天 晚上下雨了。” 您能对小华的判断说出理由吗？ 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是 干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以 说昨晚下雨是正确的
pea nEDU. com 反证法定义 在证明一个命题时,人们有时 先假设命题不成立 从这样的假设出发经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义公理定理等矛盾 从而得出假设命题不成立,是错误的, 即所求证的命题正确。 ■ 这种证明方法叫做反证法
先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立，是错误的, 即所求证的命题正确. 在证明一个命题时,人们有时 这种证明方法叫做反证法
试一试 pea nEDU. com 已知:如图,直线a,b被直线c所截, C ∠1≠∠2 求证:aXb 证明:假设结论不成立,则a∥b ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾 假设不成立 axb
试一试 已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2 求证：a∥b a b c 1 2 ∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立 证明：假设结论不成立，则a∥b ∴a∥b
nEDU. com 求证在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交那么和另一条也相交 已知:直线l1,2l3在同一平面内,且l1ll2/l3与l1相交于 点P l3 求证:l3与L2相交 ■ 证明:假设3与不相交。 那么l3l2 因为已知12 所以过直线l2外一点P有两条直线和2平行 这与“经过直线外一点有且只有一条直 线平行于已知直线”矛盾 所以假设不成立即求证的命题正确 ■
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1 ,l2 ,l3在同一平面内,且l1∥l2 ,l3与l1相交于 点P. 求证: l3与l2相交. 证明: 假设____________, 那么_________. 因为已知_________, 这与“ _______________________ _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确. l1 l2 l3 P l3与l2 不相交. l3∥l2 l1∥l2 经过直线外一点,有且只有一条直 线平行于已知直线 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行
练一 pea nEDU. com 用反证法证明(填空):在三角形的内角中 至少有一个角大于或等于60° 已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的内角 求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于 或等于60° 证明:假设所求证的结论不成立,即 ∠A<60°,∠B<60 ∠C<60 则∠A+∠B+∠C<180° 这与三角形三个内角的和等于180°相矛盾 所以假设不成立,所求证的结论成立
用反证法证明（填空）:在三角形的内角中， 至少有一个角大于或等于60° . 这与________________________________相矛盾. 所以______不成立，所求证的结论成立. 已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于 或等于60°. 证明: 假设所求证的结论不成立，即 ∠A ___ 60° ，∠B ___ 60° ，∠C ___60° 则∠A+∠B+∠C < 180°. < < < 三角形三个内角的和等于180° 假设
合作学习 定理 nEDU. com 求证:在同一平面内如果两条直线都和第三条直线 平行那么这两条直线也互相平行 (1)你首先会选择哪一种证明方法? (2)如果选择反证法先怎样假设?结果和什么产生矛盾? 已知:如图,1∥12,12∥13 2 求证:1∥13 3 证明:假设1不平行13,则1与13相交,设交点为p 11∥12,12∥13,则过点p就有两条直线l、 3都与12平行,这与“经过直线外一点,有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾 所以假设不成立,所求证的结论成立, 即1∥13
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线 平行,那么这两条直线也互相平行. (1)你首先会选择哪一种证明方法? (2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾? 定理 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证： l１∥l３ l２ l１ l３ ∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾． 证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p. p 所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
合作学司 定理 pea nEDU. com 求证:在同一平面内如果两条直线都和第三条直线平行那 么这两条直线也互相平行 3)不用反证法证明 2 已知:如图,l1∥12,12∥l3 求证:l1∥l3 证明:作直线交直线2于点p, 3 1∥2,2∥I3 直线必定与直线2,l3相交(在同一平面内, 如果一条直线和两条平行直线中的一条相 交,那么和另一条直线也相交) ∠2=∠1=∠3(两直线平行,同位角相等) l1∥l3(同位角相等,两直线平行)
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那 么这两条直线也互相平行. 定理 (3)不用反证法证明 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3 l1 l2 l3 l p ∵l1∥l2 ,l 2∥l 3 ∴直线l必定与直线l2， l3相交（在同一平面内， 如果一条直线和两条平行直线中的一条相 交，那么和另一条直线也相交） 证明:作直线l交直线l2于点p， ∴∠2 =∠1=∠3（两直线平行，同位角相等） ∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行） 2 1 3
练一练 已知:如图直线与l1l2l3都相交, 且l1l3l2ll 1 求证:∠1=∠2 2 证明:·l1∥l32∥13(已知 l1∥l2 (在同一平面内,如果两条直线 都和第三条直线平行,那么这 两条直线也互相平行) ∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交, 且 l1∥l3,l2∥l3, 求证:∠1=∠2 练一练 l1 l2 l3 l 1 2 证明: ∵l1∥l3 ,l2∥l3 (已知) ∴l1∥l2 (在同一平面内,如果两条直线 都和第三条直线平行,那么这 两条直线也互相平行) ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)