专题七菱形的判定技巧 教材母题r(教材P123作业题第3题) C 已知:如图,在四边形 ABCD中,AC=BD,E,F, G,H依次是AB,BC,CD DA的中点.求证:四边形A EFGH是菱形 E B 证明::H,G是AD,CD的中点 HG=nAC ∴E,F是AB,BC的中点 EF=2AC HG=EF,同理HE=GF 又:AC=BD,∴HG=GF=EF=HE, 即四边形EFGH是菱形
专题七 菱形的判定技巧 教材母题►(教材P123作业题第3题) 已知：如图，在四边形 ABCD中，AC＝BD，E，F， G，H依次是AB，BC，CD， DA的中点．求证：四边形 EFGH是菱形． 证明：∵H，G 是 AD，CD 的中点， ∴HG＝ 1 2 AC. ∵E，F 是 AB，BC 的中点， ∴EF＝ 1 2 AC， ∴HG＝EF，同理 HE＝GF 又∵AC＝BD，∴HG＝GF＝EF＝HE， 即四边形 EFGH 是菱形．
【思想方法】菱形的判别方法是说明 一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方 法:①定义;②四边相等;③对角线互相華 直平分 变形1已知:如图,在口ABCD中,O为对角线BD的中点,过 点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连接BE,DF (1)求证:△DOE≌△BOF (2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?请说明理 由 E 证明:(1)在ABCD中 AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBD ∵OB=0D,∠DOE=∠BOF ∴△DOE≌△BOF B
【思想方法】 菱形的判别方法是说明 一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方 法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂 直平分． 变形1 已知：如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过 点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF. (1)求证：△DOE≌△BOF； (2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理 由． 证明：(1)在▱ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD. ∵OB＝OD，∠DOE＝∠BOF， ∴△DOE≌△BOF
(2)当∠DOE=90°时,四边形BFDE为 菱形 △DOE≌△BOF, OE=OF OB=OD, 四边形BFDE为平行四边形 ∴∠DOE=900,∴EF⊥BD, BFDE菱形 变形2如图,在□ABCD中,点E,F分别 在AB,CD上,且AE=CF 1)求证:△ADE≌△CBF; (2)若DF=BF,求证:四边形DEBF为菱 形 C
(2)当∠DOE＝90°时，四边形BFDE为 菱形． ∵△DOE≌△BOF， ∴OE＝OF. ∵OB＝OD， ∴四边形BFDE为平行四边形， ∵∠DOE＝90° ，∴EF⊥BD， ∴▱BFDE为菱形． 变形2 如图，在▱ABCD中，点E，F分别 在AB，CD上，且AE＝CF. (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱 形．
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形 AD=BC,∠A=∠C, 又:AE=CF △ADE≌△CBF(SAS) (2)∵四边形ABCD是平行四边形 AB∥CD,AB=CD, AE=CF,∴.DF=EB, 四边形DEBF是平行四边形 麦示又:DF=BF,∴四边形DEBF为
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵AE＝CF， ∴△ADE≌△CBF(SAS) (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AE＝CF，∴DF＝EB， ∴四边形DEBF是平行四边形． 又∵DF＝BF，∴四边形DEBF为 菱形．
变形3如图,在平行四边形ABCD中,E为BC 边上的一点,连接AE,BD,且AE=AB (1)求证:∠ABE=∠EAD (2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是 菱形 D证明:(1)在平符四边形ABCD中, AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD, AE=AB,∴.∠ABE=∠AEB, ∴∠ABE=∠EAD (2)∴AD∥BC,∴∠ADB= ∠DBE, ∠ABE=∠AEB,∠AEB= 2∠ADB ∠ABE=2∠ADB ∠ABD=∠ABE-∠DBE 2∠ADB-∠ADB=∠ADB,∴AB= AD,又∴四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是菱形
变形3 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC 边上的一点，连接AE，BD，且AE＝AB. (1)求证：∠ABE＝∠EAD； (2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是 菱形． 证明：(1)在平行四边形ABCD中， AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD， ∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠EAD. (2)∵AD∥BC ， ∴ ∠ ADB ＝ ∠DBE， ∵ ∠ ABE ＝ ∠AEB ， ∠ AEB ＝ 2∠ADB， ∴∠ABE＝2∠ADB， ∴ ∠ ABD ＝ ∠ABE － ∠DBE ＝ 2∠ADB－∠ADB＝∠ADB，∴AB＝ AD，又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形．
变形4如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC 垂足分别是E,F,并且DE=DF 求证:(1)△AED≌△CFD; (2)四边形ABCD是菱形. 证明:(D):DE⊥AB,DF⊥BC ∴∠AED=∠CFD=90°, 四边形ABCD是平行四边形 ∠A=∠C,又:DE=DF, ∴△AED≌△CFD(AAS) (2):△AED≌△CFD .AD=CD ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形
变形4 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC， 垂足分别是E，F，并且DE＝DF. 求证：(1)△AED≌△CFD； (2)四边形ABCD是菱形． 证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED＝∠CFD＝90° ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，又∵DE＝DF， ∴△AED≌△CFD(AAS) (2)∵△AED≌△CFD， ∴AD＝CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形．
变形5如图,在△ABC中,AD 是BC边上的中线,E是AD的中点,过 点A作BC的平行线交BE的延长线于点F, 连接CF 1)求证:AF=DC; (2)若AB⊥AC,试判断四边形 ADCF的形状,并证明你的结论 证明:(1):E是AD的中点,∴AE ED..AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE ∴△AFE≌△DBE.∴AF=DB.AD是BC边上的中线 DB=DC,∴AF=DC (2)四边形ADCF是菱形,理由:由(1知AF=DC∵AF∥CD 四边形ADCF是平行四边形,又:AB⊥AC,∴△ABC是直角三 角形,∵AD是BC边上的中线’∴AD=BC=DC∴平行四边形 ADCF是菱形
变形5 如图，在△ABC中，AD 是BC边上的中线，E是AD的中点，过 点A作BC的平行线交BE的延长线于点F， 连接CF. (1)求证：AF＝DC； (2) 若 AB⊥AC ， 试 判 断 四 边 形 ADCF的形状，并证明你的结论． 证明： (1)∵E 是 AD 的中点 ， ∴ AE ＝ ED.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE， ∴△AFE≌△DBE.∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线， DB＝DC，∴AF＝DC (2)四边形 ADCF 是菱形．理由：由(1)知，AF＝DC，∵AF∥CD， ∴四边形 ADCF 是平行四边形．又∵AB⊥AC，∴△ABC 是直角三 角形，∵AD 是 BC 边上的中线，∴AD＝ 1 2 BC＝DC.∴平行四边形 ADCF 是菱形．
变形6如图,在△ABC中 ∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AE平 分∠BAC,分别与BC,CD交于点E,F, EH⊥AB于H,连接FH求证:四边形 CFHE是菱形 证明 ∠ACB=90°,AE平分∠BAC,EH⊥AB ∴CE=EH,AE=AE,∴AC=AH ∵AE平分∠CAB,∴∠CAF=∠HAF, ∴△CAF≌△HAF(SAS) ∴∠ACD=∠AHF,∵CD⊥AB,∠ACB=90 ∴∠CDA=∠ACB=90°,∴∠B+∠CAB=90°,∠CAB +∠ACD=90°, ∴∠ACD=∠B=∠AHF,·FH∥CE,∵CD⊥AB EH⊥AB, ∴CF∥EH,∴四边形CFHE是平行四边形 CE=EH,∴四边形CFHE是菱形
变 形 6 如 图 ， 在 △ABC 中 ， ∠ACB＝90° ，CD⊥AB于点D，AE平 分∠BAC，分别与BC，CD交于点E，F， EH⊥AB于H，连接FH.求证：四边形 CFHE是菱形． 证明：∵ ∠ACB＝90° ，AE平分∠BAC，EH⊥AB， ∴CE＝EH，∵AE＝AE，∴AC＝AH， ∵AE平分∠CAB，∴∠CAF＝∠HAF， ∴△CAF≌△HAF(SAS)， ∴∠ACD＝∠AHF，∵CD⊥AB，∠ACB＝90° ， ∴∠CDA＝∠ACB＝90° ，∴∠B＋∠CAB＝90° ，∠CAB ＋∠ACD＝90° ， ∴ ∠ ACD ＝∠B ＝∠AHF ， ∴ FH∥ CE ， ∵ CD ⊥ AB ， EH⊥AB， ∴CF∥EH，∴四边形CFHE是平行四边形， ∵CE＝EH，∴四边形CFHE是菱形．
变形7如图,在四边形ABCD中,AB =AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC 于点F,连接DF (1)证明:∠BAC=∠DAC,∠AFD ∠CFE; (2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是 菱形; (3)在(2)的条件下,试确定E点的位置, 使∠FFD=∠BCD,并说明理由 AB=AD, 解+:(1:)△BC和△ADC中,BC=DC,:△ABC≌△DCS9 AC=AC AB=AD, BAC=∠DAC,:在△ABF和△4DF中∠BAF=∠DAF,∴△ABF≌△ADF AF=AF, ∠AFD=∠AFB,∠AFB=∠CFE,∴∠AFD=∠CFE
变形7 如图，在四边形ABCD中，AB ＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC 于点F，连接DF. (1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝ ∠CFE； (2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是 菱形； (3)在(2)的条件下，试确定E点的位置， 使∠EFD＝∠BCD，并说明理由． 解：(1)∵在△ABC 和△ADC 中， AB＝AD， BC＝DC， AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠ BAC＝∠DAC，∵在△ABF 和△ADF 中 AB＝AD， ∠BAF＝∠DAF， AF＝AF， ∴△ABF≌△ADF， ∴∠AFD＝∠AFB，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE
(2):AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,又 ∠BAC=∠DAC,∴∠CAD ACD,∴AD =CD,.AB=AD,CB=CD,.AB=CB=CD AD,∴四边形ABCD是菱形 (3)当EB⊥CD时,∠EFD=∠BCD,理由 四边形ABCD为菱形,∴BC=CD,∠BCF= BC=CD ∠DCF在△BCF和△DCF中∠BCF=∠DCF CF=CF △BCF≌△DCF(SAS)∴∠CBF=∠CDF, BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90,∴∠EFD= ∠BCD
(2)∵AB∥CD ， ∴ ∠ BAC ＝ ∠ACD ， 又 ∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD ＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD ＝AD，∴四边形ABCD是菱形． (3)当 EB⊥CD 时，∠EFD＝∠BCD，理由： ∵四边形 ABCD 为菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝ ∠DCF，在△BCF 和△DCF 中 BC＝CD， ∠BCF＝∠DCF CF＝CF， ， ∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF，∵ BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝ ∠BCD