第2课时正方形的性质 得分 卷后分 评价 ① 知识点训练 1(5分)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB 4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为() A·14 B.15 C.16 D.17 609>B 2·(5分)正方形具有而一般菱形不具有的性质是(C) A·四条边都相等 B·对角线互相垂直平分 C·对角线相等 D·每一条对角线平分一组对 3·(5分)如图所示,正方形ABCD的对角线 相交于点O,则图中等腰直角三角形有() A·4个B.6个C.8个D.10
第2课时 正方形的性质 得分________ 卷后分________ 评价_______ C 1．(5分)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB ＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．17 2．(5分)正方形具有而一般菱形不具有的性质是( ) A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．每一条对角线平分一组对 3．(5分)如图所示，正方形ABCD的对角线 相交于点O，则图中等腰直角三角形有( ) A．4个 B．6个 C．8个 D．10
4.(5分)如图所示,将正方形纸片ABCD 折叠,使边AB,CB均落在对角线BD上,得折 痕BE,BF,则∠EBF的大小为(C) A·15°B.30°C.45°D.60° B 5·(5分)如图,延长正方形ABCD的边 D BC至点E,使CE=AC,则∠AFC=125 度 E 6.(5分)如图所示,正方形ABCD的边长为a, 点E,F分别是对角线BD上的两点,过点E, F分别作AD,AB的平行线,则图中阴影部分 E 的面积之和为 F
4．(5分)如图所示，将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折 痕BE，BF，则∠EBF的大小为( ) A．15° B．30° C．45° D．60° 5．(5分)如图，延长正方形ABCD的边 BC至点E ，使CE＝ AC，则∠AFC＝____ 度． 6．(5分)如图所示，正方形ABCD的边长为a， 点E，F分别是对角线BD上的两点，过点E， F分别作AD，AB的平行线，则图中阴影部分 的面积之和为_ _ C 112.5 1 2 a 2
g7·(10分)如图,过正方形ABCD的顶 点D作DE∥AC交BC的延长线于点E (1)判断四边形ACED的形状,并说明 理由 (2)若BD=8cm,求线段BE的长 解:(1)四边形ACED是平行四边形 理由:四边形ABCD是正方形, ∴AD∥BC,即AD∥CE, DE∥AC, 四边形ACED是平行四边形 (2)由(1)知,BC=AD=CE=CD ∵BD=8cm:BC=BD=X8 =42cm, BE=BC+CE=42+42=82
7．(10分)如图，过正方形ABCD的顶 点D作DE∥AC交BC的延长线于点E. (1)判断四边形ACED的形状，并说明 理由； (2)若BD＝8 cm，求线段BE的长． 解：(1)四边形ACED是平行四边形． 理由：四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，即AD∥CE， ∵DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形 (2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD， ∵BD＝8 cm，∴BC＝ 2 2 BD＝ 2 2 ×8 ＝4 2 cm， ∴BE＝BC＋CE＝4 2＋4 2＝8 2 cm
8·(10分)如图,正方形ABCD的 边长为4,E,F分别为DC,BC中点 F 1)求证:△ADE≌△ABF; (2)求△AEF的面积 B 解:(1):四边形ABCD为正方形, (2)由题意知△ABF△ADE,△ ∴AB=AD,∠D=∠B=90°DC=CB CEF均为直角三角形,且AB=AD EF为DC,BC中点,:DE=2DC, =4, DE=BF=X4=2,CE=CF BF=2BC,∴DE=BF∵在△ADE和1 X4=2S△AEF=S△正方形ABCD AD=AB, △ADE-S△ABF-S△CEF=4×4 △ABF中,{∠B=∠D,:△ADE≌△ DE=BF, 4x2-×4X2-X2×2=6 ABFY SAS
8．(10分)如图，正方形ABCD的 边长为4，E，F分别为DC，BC中点． (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)求△AEF的面积． 解：(1)∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠B＝90°，DC＝CB， ∵E，F 为 DC，BC 中点，∴DE＝ 1 2 DC， BF＝ 1 2 BC，∴DE＝BF，∵在△ADE 和 △ABF 中， AD＝AB， ∠B＝∠D， DE＝BF， ∴△ADE≌△ ABF(SAS) (2)由题意知△ABF，△ADE，△ CEF 均为直角三角形，且 AB＝AD ＝4，DE＝BF＝ 1 2×4＝2，CE＝CF ＝ 1 2×4＝2，∴S△AEF＝S△正方形 ABCD－ S △ ADE－S △ ABF－S △ CEF＝4×4－ 1 2 ×4×2－ 1 2×4×2－ 1 2×2×2＝6
0分钟00分知识点整合训练 9·(6分)如图,正方形ABCD的边 长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE 225°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的 长为(C A2 B2C.4-22 D.3 10.(6分)如图,已知正方形ABCD 的边长为1,连接AC,BD,CE平分 ∠ACD交BD于点E,则DE=-1
C -1 9．(6分)如图，正方形ABCD的边 长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE ＝22.5° ，EF⊥AB，垂足为F，则EF的 长为( ) A．1 B. 2 C．4－2 2 D．3 2－4 10．(6分)如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC，BD，CE平分 ∠ACD交BD于点E，则DE＝____．
11·(12分)如图所示,在正方形 ABCD中,点G是边BC上任意一点 DE⊥AG,垂足为E,延长DE交AB于点 F在线段AG上取点H,使得AG=DE+ HG,连接BH求证:∠ABH=∠CDE B 证明:在正方形ABCD中,AB=AD, ∠ABG=∠DAF=900,"·DE⊥AG ∠2+∠EAD=90°,又:∠1+ ∠EAD=90°,∴∠I=∠2,在△ABG 和△DAF中,∠1=∠2,AB=AD ∠ABG=∠DAF=900, △ABG≌△DAF(AS4)AF=BG,AG =DF,∠AFD=∠BGA,∵AG=DE+ HG AG=DE+EF ,.EF=HG B
11．(12分)如图所示，在正方形 ABCD中，点G是边BC上任意一点， DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点 F.在线段AG上取点H，使得AG＝DE＋ HG，连接BH.求证：∠ABH＝∠CDE. 证明：在正方形ABCD中，AB＝AD， ∠ABG＝∠DAF＝90° ，∵DE⊥AG， ∴∠2＋∠EAD＝90° ，又∵∠1＋ ∠EAD＝90° ，∴∠1＝∠2，在△ABG 和△DAF中，∠1＝∠2，AB＝AD， ∠ABG＝∠DAF＝90° ， ∴△ABG≌△DAF(ASA)∴AF＝BG，AG ＝DF，∠AFD＝∠BGA，∵AG＝DE＋ HG，AG＝DE＋EF，∴EF＝HG
在△AEF和△BHG中,AF=BG,∠AFD=∠BGH EF=BG,∴△AEF≌△BHG(S4S)∴∠1=∠3,∴∠2= 3,∵∠2+∠CDE=∠ADC=900,∠3+∠ABH ABC=90 ∠ABH=∠CDE. 12.(12分)如图,在正方形ABCD 中,点M是对角线BD上的一点,过点M 作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交 F CD于点F求证:AM=EF 证明:过M点作MQ⊥AD,垂足为Q, 作MP垂直AB,垂足为P, O D 四边形ABCD是正方形,∴四边形 MFDQ和四边形PBEM是正方形,四边 形APMQ是矩形,∴AP=OM=DF= MF, PMEPB=ME
在△AEF和△BHG中，AF＝BG，∠AFD＝∠BGH， EF＝HG，∴△AEF≌△BHG(SAS)，∴∠1＝∠3，∴∠2＝ ∠3 ，∵∠2＋∠CDE＝∠ADC＝90° ，∠3＋∠ABH＝ ∠ABC＝90° ，∴∠ABH＝∠CDE. 12．(12分)如图，在正方形ABCD 中，点M是对角线BD上的一点，过点M 作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交 CD于点F.求证：AM＝EF. 证明：过M点作MQ⊥AD，垂足为Q， 作MP垂直AB，垂足为P， 四边形ABCD是正方形，∴四边形 MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边 形APMQ是矩形，∴AP＝QM＝DF＝ MF，PM＝PB＝ME
在△APM和△FME中 AP=MF, ∠APM=FME∴△APM≌△N PMEME 7 FME(SAS),∴AM=EE
∵在△APM 和△FME 中， AP＝MF， ∠APM＝∠FME， PM＝ME， ∴△APM≌△ FME(SAS)，∴AM＝EF
can 0 D 【综合运用 13·(14分)如图①,在正方形 F ABCD中,E,F分别是边AD,DC上的 点,且AF⊥BE (1)求证:AF=BE; (2)如图②,在正方形ABCD中,M,B N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA上 的点,且MP⊥NQMP与MQ是否相等? 并说明理由 2)MP与NQ相等,理由如下: 如图,过点A作AF∥MP交CD于F 解:(1)在正方形ABCD中,AB= 过点B作BE∥NQ交AD于E,则与 AD,∠BAE=∠D=900,∴∠DAF+ ∠BAF=90°,∵AF⊥BE,∴∠ABE (1)的情况完全相同 A E D A E D +∠BAF=90°,∴∠ABE=∠DAF, 在△ABE和△DAF中,∠ABE= ∠DAF,AB=AD,∠BAE=∠D ∴△ABE≌△DAF(ASA4)∴AF=BE 图1 图2
【综合运用】 13 ． (14 分 ) 如图 ①， 在正 方 形 ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的 点，且AF⊥BE. (1)求证：AF＝BE； (2)如图②，在正方形ABCD中，M， N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上 的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？ 并说明理由． 解：(1)在正方形ABCD中，AB＝ AD，∠BAE＝∠D＝90° ，∴∠DAF＋ ∠BAF＝90° ，∵AF⊥BE，∴∠ABE ＋∠BAF＝90° ，∴∠ABE＝∠DAF， ∵ 在 △ABE 和 △DAF 中 ， ∠ABE ＝ ∠DAF ， AB＝ AD ， ∠ BAE＝∠D ， ∴△ABE≌△DAF(ASA)，∴AF＝BE 2)MP与NQ相等．理由如下： 如图，过点A作AF∥MP交CD于F， 过点B作BE∥NQ交AD于E，则与 (1)的情况完全相同．