绝对值 中者感8 内容 基本要求 略高要求 较高要求 借助数轴理解绝对值的意义,会 绝对值 会用绝对值的知识 求实数的绝对值 掌握绝对值的概念与化简 2.绝对值的几何意义 3.分类讨论思想在绝对值中的应用 课前习 外尔斯特拉斯 现在通用的绝对值符号“||”,是德国数学家外尔斯特拉斯在1841年率先引用的,后来为人们所广 泛接受。 德国数学家外尔斯特拉斯也算业余高手,后来走上了职业数学家的道路。他开始是学习法律和财经, 一度在在中学任教。这大概是中学数学教师中最杰出的一位了。德国是一个多出哲学家的国度,德国人又 以严格认真见长,外尔斯特拉斯也是一样,他的品性最能体现德国人对待真理的态度了。他最大的贡献是 在微积分严格化上作出了杰出的贡献。 外尔斯特拉斯还告诉我们,直观有时是靠不住甚至是完全错误的。从前人们直观上一直认为连续曲线 肯定是光滑的,或者大多数点都是光滑的。用在函数上,就是一直认为连续函数是可导的,或者在多数点 是可导的。可是外尔斯特拉斯却举出一个反例,在每一个点都连续,却有在任何点都不可导。他举出这个 函数是画不出图像的,当时作为一个中学教师,的确令数学家们大跌了眼镜
内容 基本要求 略高要求 较高要求 绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会 求实数的绝对值 会用绝对值的知识 1． 掌握绝对值的概念与化简 2． 绝对值的几何意义 3． 分类讨论思想在绝对值中的应用 外尔斯特拉斯 现在通用的绝对值符号“| |”，是德国数学家外尔斯特拉斯在 1841 年率先引用的，后来为人们所广 泛接受。 德国数学家外尔斯特拉斯也算业余高手，后来走上了职业数学家的道路。他开始是学习法律和财经， 一度在在中学任教。这大概是中学数学教师中最杰出的一位了。德国是一个多出哲学家的国度，德国人又 以严格认真见长，外尔斯特拉斯也是一样，他的品性最能体现德国人对待真理的态度了。他最大的贡献是 在微积分严格化上作出了杰出的贡献。 外尔斯特拉斯还告诉我们，直观有时是靠不住甚至是完全错误的。从前人们直观上一直认为连续曲线 肯定是光滑的，或者大多数点都是光滑的。用在函数上，就是一直认为连续函数是可导的，或者在多数点 是可导的。可是外尔斯特拉斯却举出一个反例，在每一个点都连续，却有在任何点都不可导。他举出这个 函数是画不出图像的，当时作为一个中学教师，的确令数学家们大跌了眼镜。 课前预习 重难点 中考要求 绝对值
题 模块一绝对值的意义及其化简 1.绝对值的几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。数a的绝对值记作l 2.绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身:一个负数的绝对值是它的相反数:0的绝对值是0. 3.绝对值的性质:=a=0),@-(20或园 a(a> -a(a<0) a(a≤0) 4.绝对值其他的重要性质 ①任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即l≥a且≥ ②若l=|b,则a=b或a=-b ③=,图-(b0) =l2|=a 可绝网值的感g 【例1】在数轴上表示数a的点到原点的距离是13,那么a 【巩固】绝对值等于2的数有 【巩固】绝对值不大于7且大于4的整数有 绝化简 【例2】计算:|3-x= 若x-2=3,则x= 【巩固】若{x-2|+x-2=0,则x的取值范围是 【巩固】已知:①l=5,b=2,且a<b;分别求a,b的值 【例3】如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,求+b-b-1-a-c-1-d的值
模块一 绝对值的意义及其化简 1. 绝对值的几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示 a 的点与原点的距离。数 a 的绝对值记作 a 2. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. 3. 绝对值的性质：① ( 0) 0( 0) ( 0) a a a a a a = = − ，② ( 0) ( 0) a a a a a = − 或 ( 0) ( 0) a a a a a = − 4. 绝对值其他的重要性质： ①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 a a 且 a a − ②若 a b = ，则 a b = 或 a b =− ③ a b a b = ， a a b b = （ b 0 ） ④ 2 2 2 a a a = = ☞绝对值的意义 【例1】 在数轴上表示数 a 的点到原点的距离是 13 ，那么 a = 【巩固】绝对值等于 2 的数有 个，是 【巩固】绝对值不大于 7 且大于 4 的整数有 个，是 ☞绝对值化简 【例2】 计算： 3− = ，若 x − = 2 3 ，则 x = 【巩固】若 x x − + − = 2 2 0 ，则 x 的取值范围是 【巩固】已知：① a b = = 5 2 ， ，且 a b ；分别求 a b， 的值 【例3】 如果有理数 a 、b 、 c 在数轴上的位置如图所示，求 a b b a c c + − − − − − − 1 1 的值. 例题精讲
【巩圈】已知x0,>>x,那么x++y+4-x-y= 【巩固】数ab在数轴上对应的点如右图所示,化简|+b+|b-a+b-a-l 【例4】设ab,c为非零实数,且l+a=0,lb=amb,l-c=0·化简|-|a+b-c-b+a-d 【巩】已知团=-a,b≤0,化简20+41-4 (a+2b)2|a+2b14b+3-2a 模块二绝对值的非负性 1.非负性:若有几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为0 2.绝对值的非负性;若+b+|d=0,则必有a=0,b=0,c=0 【例5】若|a-4=-|b+2,则a+b 【巩】若m+3+-+2-1=0,则p+2n+3m= 【例6】设a、b同时满足①(a-2b)+|b+1|=b+1:②|a+b-3}=0.那么ab= 【巩固】已知(a+b)2+b+5=b+5,且2a-b-1=0,那么ab=
a b 0 c 1 【巩固】已知 x z xy y z x 0 0 ， ， ，那么 x z y z x y + + + − − = 【巩固】数 ab, 在数轴上对应的点如右图所示，化简 a b b a b a a + + − + − − a 0 b 【例4】 设 abc , , 为非零实数，且 a a + = 0， ab ab = ， c c − = 0 ．化简 b a b c b a c − + − − + − 【巩固】已知 a a =− ，b 0 ，化简 2 2 4 4 2 ( 2 ) 2 4 3 2 3 a b a b a b b a + − − + + + − − 模块二 绝对值的非负性 1. 非负性：若有几个非负数的和为 0 ，那么这几个非负数均为 0 2. 绝对值的非负性；若 abc + + = 0 ，则必有 a = 0 ，b = 0 ，c = 0 【例5】 若 a b − = − + 4 2 ，则 a b + = _______ 【巩固】若 7 3 2 2 1 0 2 m n p + + − + − = ，则 p n m ＋2 3 _______ + = 【例6】 设 a 、b 同时满足① 2 ( 2 ) | 1| 1 a b b b − + + = + ；② | 3| 0 a b + − = ．那么 ab = 【巩固】已知 2 ( ) 5 5 a b b b + + + = + ，且 2 1 0 a b − − = ，那么 ab = _______
模块三零点分段法 1.零点分段法的一般步骤:①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号. 【例7】阅读下列材料并解决相关问题: 我们知道|={0(x=0),现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式 x+1+x-2时,可令x+1=0和x-2=0,分别求得x=-1,x=2(称-1,2分别为x+1与x-2 的零点值),在有理数范围内,零点值x=-1和x=2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如 下3中情况 (1)当x<-1时,原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1 (2)当-1≤x<2时,原式=x+1-(x-2)=3 (3)当x≥2时,原式=x+1+x-2=2x-1 1(x<-1) 综上讨论,原式={3(-1≤x<2) l(x≥2) 通过阅读上面的文字,请你解决下列的问题: (1)分别求出x+2和x-4的零点值 (2化简代数式|x+2+x-4 【巩固】化简m+m-1+|m-2的值 【巩固】化简:|x-1-2+x+1
模块三 零点分段法 1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号． 【例7】 阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 x x x x x x = = − ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式 x x + + − 1 2 时，可令 x + =1 0 和 x − = 2 0 ，分别求得 x x = − = 1 2 ， （称−1 2， 分别为 x +1 与 x − 2 的零点值），在有理数范围内，零点值 x =−1 和 x = 2 可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如 下 3 中情况： ⑴当 x −1 时，原式 = − + − − = − + (x x x 1 2 2 1 ) ( ) ⑵当 − 1 2 ≤ x 时，原式 = + − − = x x 1 2 3 ( ) ⑶当 x≥2 时，原式 = + + − = − x x x 1 2 2 1 综上讨论，原式 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 1 2 2 1 2 x x x x x − + − = − − ≤ ≥ 通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出 x + 2 和 x − 4 的零点值 ⑵化简代数式 x x + + − 2 4 【巩固】化简 m m m + − + − 1 2 的值 【巩固】化简： x x − − + + 1 2 1
模块四绝对值的几何意义的拓展 1.l的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离 2.|-b的几何意义:在数轴上,表示数a、b对应数轴上两点间的距离 【例8】|m-m的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离 ()的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离:_x-0(>,=,<); (2)2-1的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离:则2-1 (3)|x-3的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离,若x-3=1, 则 x+2的几何意义是数轴上表示的点与表示_的点之间的距离,若x+2=2 则 5)当x=-1时,则|x-2+x+2 【例9】已知m是实数,求m+1m-1+|m-2的最小值 【巩圈】已知m是实数,求m-2+m-4+1m-6+m-8的最小值
模块四 绝对值的几何意义的拓展 1. a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． 2. a b − 的几何意义：在数轴上，表示数 a 、b 对应数轴上两点间的距离． 【例8】 m n − 的几何意义是数轴上表示 m 的点与表示 n 的点之间的距离 ⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离； x x − 0 （ > ，= ，< ）； ⑵ 2 1− 的几何意义是数轴上表示 2 的点与表示 1 的点之间的距离；则 2 1− = ； ⑶ x − 3 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若 x − = 3 1， 则 x = ． ⑷ x + 2 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若 x + = 2 2 ， 则 x = ． ⑸ 当 x =−1 时，则 x x − + + = 2 2 【例9】 已知 m 是实数，求 m m m + − + − 1 2 的最小值 【巩固】已知 m 是实数，求 m m m m − + − + − + − 2 4 6 8 的最小值
【例10】如图所示,在一条笔直的公路上有7个村庄,其中A、B、C、D、E、F到城市的距离分别为 4、10、15、17、19、20千米,而村庄G正好是AF的中点.现要在某个村庄建一个活动中心, 使各村到活动中心的路程之和最短,则活动中心应建在什么位置? 城市 LL 【巩固】如图所示为一个工厂区的地图,一条公路(粗线)通过这个地区,7个工厂A1,A2 A分 布在公路的两侧,由一些小路(细线)与公路相连.现在要在公路上设一个长途汽车站,车站到各工厂(沿 公路、小路走)的距离总和越小越好,那么这个车站设在什么地方最好?如果在P点又建立了一个工厂 并且沿着图上的虚线修了一条小路,那么这时车站设在什么地方好? A 粉少误经俭题 1.x-4的几何意义是数轴上表示的点与表示_的点之间的距离,若x-4=2,则
【例10】如图所示，在一条笔直的公路上有 7 个村庄，其中 A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为 4 、10 、15 、17 、19 、20 千米，而村庄 G 正好是 AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心， 使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？ 城市 A B G C D E F 【巩固】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区， 7 个工厂 A1 ， A2 ，…， A7 分 布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿 公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在 P 点又建立了一个工厂， 并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？ F E D C B P A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 1． x − 4 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若 x − = 4 2 ，则 x = ． 课堂检测
2.化简:2|x-1+x+2- 3.化简|x-1-2+x-4 auc总习 1.通过本堂课你学会了 2.掌握的不太好的部分 3.老师点评:① 扫课后你业 1.化简:12x-1+x+2-{x
2． 化简： 2 1 2 x x x − + + − 3． 化简 x x − − + − 1 2 4 1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ． ② ． ③ ． 1． 化简： 2 1 2 1 x x x − + + − − 总结复习 课后作业
