第11章静电场 §11.1静电学基本问题 §11.2电场电场强度 §11.3高斯定理及应用 §11.4环路定理与电势 §11.5电势与电场强度的关系 静电场部分习题课内容
第 11 章 静电场 §11.1 静电学基本问题 静电学基本问题 §11.2 电场 电场强度 §11.3 高斯定理及应用 高斯定理及应用 §11.4 环路定理与电势 环路定理与电势 §11.5 电势与电场强度的关系 电势与电场强度的关系 静电场部分习题课内容 静电场部分习题课内容
§11.5电势与电场强度的关系 一、等势面 将电势相等的场点连成连续的曲画 一等势面。 满足方程： V(x,y,z)=c 通常约定相邻等势面的电势差 为常量，可以得到一系列的等 势面 △V2=△V23
一、等势面 V1 Δ 12 = ΔVV 23 ( ,, ) = czyxV 通常约定相邻等势面的电势差 为常量，可以得到一系列的等 势面 §11.5 电势与电场强度的关系 电势与电场强度的关系 将电势相等的场点连成连续的曲面— —等势面。 满足方程： V2 V3
二、等势面的性质 1.电荷沿等势面移动，电场力不做功。 Aab=-qUbo=-q0=0 2.电场强度与等势面正交；电力线由电势高的地方指向 电势低的地方。 (ad4=gE.d7=0→Edi=0 b)A2=-(W-W)=-9U2-U),当q>0时，A2>0 →U2-U1U2 3.相邻等势面间距小处，场强大；间距大处， 场强小。E·△l=Const.→Eoc1/△l
二、等势面的性质 1. 电荷沿等势面移动，电场力不做功。 ab −= qUA ba= −q ⋅0 2. 电场强度与等势面正交；电力线由电势高的地方指向 电势低的地方。 lEqA r r ⋅= dd ≡ 0 lE ≡⋅ 0d r r (a) (b) )( 12 −= −WWA 12 0 0 当 > 时，QAq 12 > ⇒ −UU 12 ⇒ UU 21 3. 相邻等势面间距小处，场强大；间距大处， 场强小。 ⋅ΔlE = .Const ⇒ ∝1 ΔlE ),( = − −UUq 12 = 0
三、电势梯度 b dA=-qo[W+d）-V] dl =go.d7 →-dV=E.di=E,dl V+dV dV E,= dl 电势在某一方向上变化率（方向导数）与电场强度沿该方 向的分量大小相等，方向相反
三、电势梯度 n e r E v b a l v d d ab = − 0 [ ] ( + d )−VVVqA lEV r r ⋅=− dd l V El dd −= 电势在某一方向上变化率（方向导数）与电场强度沿该方 电势在某一方向上变化率（方向导数）与电场强度沿该方 向的分量大小相等，方向相反。 向的分量大小相等，方向相反。 lEq v v d 0 ⋅≡ = l dlE n n d d e l V E r −= V +dV V
d/. n 电势梯度矢量 dl 通常表示为：VV 电势梯度的大小等于电势沿等势 面法线方向的空间变化率；方向 V+dV 指向电势增加的方向。 电场强度与电势梯度大小相等，方向相反！ E d dl
n n d d e l V E r −= n e r b a l v d V +dV V E v ——电势梯度矢量 通常表示为：∇V 电势梯度的大小等于电势沿等势 的大小等于电势沿等势 面法线方向的空间变化率； 面法线方向的空间变化率；方向 指向电势增加的方向。 指向电势增加的方向。 电场强度与电势梯度大小相等，方向相反！ n n d d e l V r
-dV=E.dl 在直角坐 dv- av dx+ av 标系中 dy+ d☑ Ox y 8z E.dl=Edx+E,dy+E.dz ov ov ov 对比可得 E、= 8x Ey= ay E 0z E=- ov j+ 8x ay 0z 龙=-VV v- 0i+ i+ O 0z
k z j y i x vv v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −= k z V j y V i x V E v vv v 在直角坐 标系中 z z V y y V x x V V dddd ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = x y ++=⋅ zdddd zEyExElEr r lEV r r ⋅=− dd 对比可得 x V E x ∂ ∂ −= z V E z ∂ ∂ −= y V E y ∂ ∂ −= −∇= VEv
在平面极 坐标系中 d/ dr+ av ao dV E.dl Or a E.dl =(Ee+Ee).(dre,+rdee) E,dr+Eorde o ov E=一 -,E0= O ra0 aV+1aV÷ E=- er eo Or r 00 av-1av- VV- -er+ eo O r 00
在平面极 坐标系中 θ θddd ∂∂ + ∂∂ = V r rV V (d )dd() θθ θ θ rr r erereEeElE r r r r r r +⋅+=⋅ = r + θrErE dd θ θ θ ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= r V E r V Er , ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ∂∂ + ∂∂ −= θ θe V r e rV E r v 1 θ θ e V r e r V V r ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ 1 lEV r r ⋅=− dd
场强E与电势V的两种关系 (1)积分关系 v=B.di 如果知道电场强度分布，则可以利用积分 关系找到电场的电势描述。 (2)微分关系 龙=-VV 如果知道电势分布，则可以利用微分关 系找到电场的电场强度描述
场强 E 与电势 V 的两种关系 （1）积分关系 ∫ ⋅= 0 d PP lEV r r （2）微分关系 −∇= VE r 如果知道电场强度分布，则可以利用积分 关系找到电场的电势描述。 如果知道电势分布，则可以利用微分关 系找到电场的电场强度描述
[例11-11)]计算电偶极子电场的电势和电场强度 解：V=V+V r-rt 4元80 rr 当l0 p=gl(有限
[例11-11] 计算 电偶极子电场的电势和电场强度 = +VVV −+ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ −= −+ rr q 11 4π 0 ε 解： )( 0 lqp 有限 l r r = → +− − +− = rr rrq π 0 4 ε − +− ≈ lrr cosθ 2 ≈ rrr −+ r r θ l r − q + q − r r +r r P x y 当 时： << rl o
V= 9 r-r qlcose p.r 4π80rr+ 4π6r2 4π6r3 场强 y ov E,= 二一 Or av 2πEr3 Ee -q0 7 +9 X ra0 a psino r≈r2 ra0 4πer r-r≈lcos0
+− − +− = rr rrq V π 0 4 ε 2 π 0 4 cos r ql ε θ = r V E r ∂ ∂ −= θ θ ∂ ∂ −= r V E ) 4 π cos ( 2 0 r p r ε θ ∂ ∂ −= 3 π 0 2 cos r p ε θ = ) 4 π cos ( 2 0 r p r ε θ ∂ θ ∂ −= 3 π 0 4 sin r p ε θ = 3 π 0 4 r rp ε r r ⋅ = 场强 2 ≈ rrr −+ − +− ≈ lrr cos θ r r θ l r − q + q −r r +r r P x y o
