第13章电介质 §13.1静电场中的电介质 §13.2介质中的高斯定理 §13.3介质边界两侧的静电场 §13.4静电场的能量
第 13 章 电介质 §13.2 介质中的高斯定理 介质中的高斯定理 §13.1 静电场中的电介质 静电场中的电介质 §13.4 静电场的能量 §13.3 介质边界两侧的静电场 介质边界两侧的静电场
§13.4静电场的能量 一、带电体系的静电能 若点电荷q0处于q的电场中， 静电能为： W.=4'=464元er 9 dr ◆把qo从P点移到无限远时 静电场力作的功，就是 ·d “系统”的静电势能。 或：把qo从无限远移动到P点的过 V=E.dF 程中，外力反抗静电力作的功
一、带电体系的静电能 带电体系的静电能 若点电荷 q0 处于q 的电场中， = 0e VqW 静电能为： §13.4 静电场的能量 r q q 0 0 4πε = ∫∞ ⋅ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ≡ P r rrq q r r d 4π 2 0 0 ε r r q 0 q P O 把q0从P点移到无限远时 静电场力作的功，就是 “系统”的静电势能。 r r rq q P r r ∫∞ ⋅ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ −≡ d 4π 2 0 0 ε 或：把q0从无限远移动到P点的过 程中，外力反抗静电力作的功。 ∫∞ ⋅≡ P P rEV r r d
*对于点电荷体系（或连续带电体)，系统的能 量可以有类似的定义： >把点电荷体系无限分离到彼此间相距无限远的 过程中静电场力作的功，叫作该系统内的静电势 能。 >对连续带电体，可以把带电体看成是由无限多 电荷元组成的点电荷体系。这样，连续带电体的 静电能量的定义同上
¾ 把点电荷体系无限分离到彼此间相距无限远的 过程中静电场力作的功，叫作该系统内的静电势 能。 ¾ 对连续带电体，可以把带电体看成是由无限多 电荷元组成的点电荷体系。这样，连续带电体的 静电能量的定义同上。 * 对于点电荷体系（或连续带电体），系统的能 量可以有类似的定义： 量可以有类似的定义：
二、点电荷系的能量 电势能： 91 W。=q24元6r 02 二q小4元60' =qK+9] 个点电荷系统的电势能：队。=)∑9，叫 其中，V,为除4：外其它点电荷在4：处产生的电势之和
二、点电荷系的能量 二、点电荷系的能量 q 2 r q qW 0 1 2e 4 π ε = 电势能： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = r q q r q qW 0 1 2 0 2 e 1 42 π 4 π 1 ε ε n个点电荷系统的电势能： 个点电荷系统的电势能： ∑= = n i VqW ii 1 e 2 1 q1 r q 2 [ ] 2211 2 1 += VqVq r q q 0 2 1 4 π ε = q 1 其中， Vi 为除 q i 外其它点电荷在 q i处产生的电势之和。 处产生的电势之和
三、连续带电体的静电能量 体状带电体：所.=广P八(pd) 面状带电体，化.=P(GdS) 线状带电体：.=V(2d > 式中V表示电荷元处的电势，原则上不包括该电荷元的贡 献。但由于电荷元的贡献为一阶小量，其中的差别可以忽略
三、连续带电体的静电能量 三、连续带电体的静电能量 = ∫ d q τ τρ )d( 2 1 体状带电体： e VW 面状带电体： ∫ = S SVW )d( 2 1 e σ 线状带电体： ∫ = L lVW )d( 2 1 e λ ¾ 式中 V 表示电荷元处的电势，原则上不包括该电荷元的贡 表示电荷元处的电势，原则上不包括该电荷元的贡 献。但由于电荷元的贡献为一阶小量，其中的差别可以忽略。 献。但由于电荷元的贡献为一阶小量，其中的差别可以忽略
讨论与说明： 1.点电荷系的静电能是指点电荷间的相互作用能量之 和一称为“互能”。互能可能为正值也可能为负 值，由系统构成决定。 2.单个连续带电体的总静电能习惯上称为“自能”。 数值上它等于将该带电体上各个部分的电荷分散到无 限远的状态时，电场力所作的总功。自能只能为正。 3.连续带电体系的静电能等于各连续带电体的“自能”和各 连续带电体之间的“互能”之总和（总为大于零的值)
讨论与说明： 1. 点电荷系的静电能是指点电荷间的相互作用能量之 点电荷系的静电能是指点电荷间的相互作用能量之 和——称为“互能”。互能可能为正值也可能为负 互能可能为正值也可能为负 值，由系统构成决定。 由系统构成决定。 2. 单个连续带电体的总静电能习惯上称为 的总静电能习惯上称为“自能”。 数值上它等于将该带电体上各个部分的电荷分散到无 数值上它等于将该带电体上各个部分的电荷分散到无 限远的状态时，电场力所作的总功。 限远的状态时，电场力所作的总功。自能只能为正。 3. 连续带电体系的静电能等于各连续带电体的“自能”和各 连续带电体之间的“互能”之总和（总为大于零的值 总为大于零的值）
四、电容器储存的静电能量（带电±Q) dA=dq'uas=dg 9 B dq AB 电容器的静电能： )=CU W≡A
四、电容器储存的静电能量 四、电容器储存的静电能量 (带电 ± Q ) uqA AB = dd ⋅ + q - q uAB + + d q = CUQ e ≡ AW C Q 2 2 1 = 电容器的静电能： 电容器的静电能： C q = d q q C q A Q d ∫0 = C Q 2 2 1 = QU 2 1 = 2 2 1 = CU A B
五、电场的能量，能量密度 设带电系统静电作用能量是以电场能量 的形式储存在电场中的。 以平板电容器为例：W=CU2 es 其中：C U=Ed d →W。= 1 aS d (Ed) 2E'5 电容器体积：V=Sd
五、电场的能量，能量密度 五、电场的能量，能量密度 设带电系统静电作用能量是以电场能量 的形式储存在电场中的。 2 e 2 1 = CUW d S C ε = = EdU ( ) 2 e 2 1 Ed d S W ε = ( ) SdE 电容器体积：V = Sd 2 2 1 = ε 其中： 以平板电容器为例：
电场的能量密度：单位体积电场所具有的能量 We E2 2 把电场能量密度推广到非均匀场的情况！ w=小edr=∫s地dr=D-a →W。= 12 d (Ed) cE(Sd) 电容器体积：V=Sd
电场的能量密度： 电场的能量密度： 单位体积电场所具有的能量 单位体积电场所具有的能量 2 e 2 1 = ε Ew ∫ = τ dτ wW e ∫ = τ dτε 21 2 E ∫ ⋅= τ dτ 21 EDr r 把电场能量密度 把电场能量密度推广到非均匀场的情况！ 非均匀场的情况！ ( )2 e 21 Ed dS W ε = ( ) SdE 电容器体积：V = Sd 2 21 = ε
[例题13-4求带电量为Q,半径为R的均匀球体的静电场能。 [解法一】按照电势能定义式求 利用高斯定理： E,·4元r2= 4πr3/3 4πR3/3 80 得球内电场：E,= Or 4元6R3 (r≤R) Q 同样得球外 电场： 4π8r2 (r>R) 球内一点电势：V=[E,dr+E,d w.--fv(pdr)p=R
[例题13 -4]求带电量为 Q ，半径为 R 的均匀球体的静电场能。 [解法一] 按照电势能定义式求 0 3 3 2 1 4 π 3 4 π 3 4 π ε r R Q rE =⋅ 得球内电场： )( 4 π 3 0 1 Rr R Qr E = ≤ ε 同样得球外 电场： )( 4 π 2 0 2 Rr r Q E = > ε ∫∫ ∞ += R R r 1 2dd rErEV 4 π 3 3 R Q ρ = 球内一点电势： ∫ = τ τρ )d( 2 1 e VW 利用高斯定理： R Q r
