高三物理专题复习：等效替代法在物理解题中的应用

等效替代法在物理解题中的应用 概述 等效替代法分为基本模型等效和基本 1.什么是等效替代法? 过程等效两种,以下就这一方法的使用情 在科学研究过程中,等效替代法是常境举例分析 见的思维方法之一,在高中阶段物理学习 中,等效替代法更是处理问题不可缺少的 、举例分析 手段。所谓等效替代法,就是在保持某种1.场的等效 效果(作用效果或运动效果)不变的前提 【例1】如图1所示,光滑绝缘的圆形轨道 下,用简单的、熟悉的、易于研究的物理 竖直放置,半径为R,在其最低点A处放 模型或物理过程替代原来复杂的、陌生的 质量为m的带电小球,整个空间存在匀 物理模型或物理过程,使问题的研究和处 强电场,使小球受到电场力的大小为 理过程变得简单、方便 2为什么需要用等效誉代法? mg,方向水平向右,现给小球一个水 某些物理情境比较复杂或陌生,应用平向右的初速度m,使小球沿轨道向上运 直接求解的方法比较难以得到正确的结 动,若小球刚好能做完整的圆周运动,求 果,此时就需要我们利用熟悉的简单物理1及运动过程中的最大支持力 模型或物理过程,对问题进行等效性替代, 从而使问题得到快速解决。所以,在物理 学习和日常练习中,我们要注重等效思维 的培养和锻炼。正确使用等效替代法不仅 有利于解决习题中的问题,还有利于加深 对物理知识和规律的理解和掌握。 3.怎么使用等效替代法? 【解析】假设小球能在C点静止,那么我 运用等效替代法处理问题的一般步骤 们就可以称C点为等效最低点,小球受到 重力、电场力和支持力如图11所示 (1)分析原事物的本质特性和非本质特 (2)寻找适当的替代物,仅保留原事物的 本质特性,抛弃非本质特性 (3)研究替代物的特性及规律 (4)将替代物的规律迁移到原事物中去; 图1-1 (5)利用替代物遵循的规律、方法求解, 此时电场力与重力的合力为恒力,在 得出结论

1 等效替代法在物理解题中的应用 一、概述 1.什么是等效替代法？ 在科学研究过程中，等效替代法是常 见的思维方法之一，在高中阶段物理学习 中，等效替代法更是处理问题不可缺少的 手段。所谓等效替代法，就是在保持某种 效果（作用效果或运动效果）不变的前提 下，用简单的、熟悉的、易于研究的物理 模型或物理过程替代原来复杂的、陌生的 物理模型或物理过程，使问题的研究和处 理过程变得简单、方便。 2.为什么需要用等效替代法？ 某些物理情境比较复杂或陌生，应用 直接求解的方法比较难以得到正确的结 果，此时就需要我们利用熟悉的简单物理 模型或物理过程，对问题进行等效性替代， 从而使问题得到快速解决。所以，在物理 学习和日常练习中，我们要注重等效思维 的培养和锻炼。正确使用等效替代法不仅 有利于解决习题中的问题，还有利于加深 对物理知识和规律的理解和掌握。 3.怎么使用等效替代法？ 运用等效替代法处理问题的一般步骤 为： （1）分析原事物的本质特性和非本质特 性； （2）寻找适当的替代物，仅保留原事物的 本质特性，抛弃非本质特性； （3）研究替代物的特性及规律； （4）将替代物的规律迁移到原事物中去； （5）利用替代物遵循的规律、方法求解, 得出结论。 等效替代法分为基本模型等效和基本 过程等效两种，以下就这一方法的使用情 境举例分析。 二、举例分析 1.场的等效 【例 1】如图 1 所示，光滑绝缘的圆形轨道 竖直放置，半径为 R，在其最低点 A 处放 一质量为 m 的带电小球，整个空间存在匀 强电场，使小球受到电场力的大小为 mg 3 3 ，方向水平向右，现给小球一个水 平向右的初速度 v0，使小球沿轨道向上运 动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求 v0及运动过程中的最大支持力。 A v0 图 1 【解析】假设小球能在 C 点静止，那么我 们就可以称 C 点为等效最低点，小球受到 重力、电场力和支持力如图 1-1 所示： F 电 mg C A FN F C 图 1-1 此时电场力与重力的合力为恒力，在

处理时可以作为等效重力,利用在竖直面等效为重力,按照更简单的模型来解决 内圆周运动的计算方式进行计算 2电路图中的等效 小球恰好能做完整圆周运动,则通过 【例2】两个均匀金属圆圈和四根均匀短直 C点对称点B时,等效重力提供向心力 金属连成如图2所示网络,大圆弧、 有 小圆弧和短直金属棒的电阻均为r,求A、 =1(mg)+(2ng)2=,/4 C两点间的电阻值。 所以n2=, mgR 小球从A到B电场力和重力做功,由 功能关系得: Lmvo-mgR(1+cos 0)+ F Sine+omv 图2 联立以上各式得: 7√3 【解析】-圆弧和短金属棒虽长短不 结合竖直平面内的圆周运动特点可 但电阻相等,这样可把里面的小圆拉出来 知,小球在等效最低点C的速度最大,受认为各边相等,变平面图形为一正方体, 到轨道的支持力也最大。小球从C点到B 如图2-1所示。 点运动过程中,由功能关系得 mvc=mg cos+ F 2Rsin0+-mv8 小球在C点受到重力、电场力与支持 力的合力提供向心力,有: FN-1(mg)2+(mg)2=1 R 图2-1 2√3 设电流从A点流入,从C点流出,那 联立以上各式得:FN=(4+=)mg 网络相对对角面ACCA'对称,B、D两点 等电势,B'、D'两点等电势,沿BD、B'D′ 综上所述:v的大小是1(2+ 将正方体压成图22所示的平面图 2√3 运动过程中最大支持力是(4+=)mg 由此例不难看出,在受到多个力运动 过程中,如果有一部分力是恒力,那么他 们的合力依然会是恒力,这个合力就可以 BD

2 处理时可以作为等效重力，利用在竖直面 内圆周运动的计算方式进行计算。 小球恰好能做完整圆周运动，则通过 C 点对称点 B 时，等效重力提供向心力， 有： mg mg mg R v m B 3 4 ) 3 3 ( ) ( 2 2 2    所以vB mgR 3 2 4  小球从 A 到 B 电场力和重力做功，由 功能关系得： 2 2 0 2 1 (1 cos ) sin 2 1 m B mv  mgR    F电R   v 联立以上各式得：v )gR 3 7 3 (2 0   结合竖直平面内的圆周运动特点可 知，小球在等效最低点 C 的速度最大，受 到轨道的支持力也最大。小球从 C 点到 B 点运动过程中，由功能关系得： 2 2 2 1 2 cos 2 sin 2 1 C m B mv  mg R   F电 R   v 小球在 C 点受到重力、电场力与支持 力的合力提供向心力，有： F mg mg mg R v m N C 3 4 ) 3 3 ( ) ( 2 2 2     联立以上各式得： F mg N ) 3 2 3  (4  综上所述：v0 的大小是 )gR 3 7 3 (2  ； 运动过程中最大支持力是 )mg 3 2 3 (4  由此例不难看出，在受到多个力运动 过程中，如果有一部分力是恒力，那么他 们的合力依然会是恒力，这个合力就可以 等效为重力，按照更简单的模型来解决。 2.电路图中的等效 【例 2】两个均匀金属圆圈和四根均匀短直 金属连成如图 2 所示网络， 4 1 大圆弧、 4 1 小圆弧和短直金属棒的电阻均为 r，求 A、 C 两点间的电阻值。 A C 图 2 【解析】 4 1 圆弧和短金属棒虽长短不一， 但电阻相等，这样可把里面的小圆拉出来， 认为各边相等，变平面图形为一正方体， 如图 2-1 所示。 A D C B A B D C  图 2-1 设电流从 A 点流入，从 C 点流出，那 网络相对对角面 ACCA 对称，B、D 两点 等电势，B、D两点等电势，沿 BD、BD 将正方体压成图 2-2 所示的平面图。 A A B D C B D C 2 r 2 r 2 r 2 r r r

图22 再考虑到对称性,BD点与BD'点等 电势,因此其间无电流,可以拿掉,网络 等效于图2-3所示电路图。 图3 r 【解析】此题中圆弧半径足够大,符合简 谐运动的条件,因此可以将其等效为单摆 A B D 模型,问题将极易解决。由单摆周期公式 到这里,电路图已经简化为常见的并T=2z1,可知T=T,周期与摆球 联电路图,不难求出R、3 的质量无关,两个小球由静止释放后,均 经历四分之一周期的时间同时到达最低点 因此,A、C两点间的电阻值为-r o处,故正确答案应为C。但若把题中模型 此例中电路相当复杂,直接分析串并等效为沿斜面运动,就会得出错误的结论, 联很麻烦,因此在题中利用对称性及等电 因此分析淸楚题目主要逻辑很重要。 势的知识对电路进行等效化简,简化为便 于求解的并联电路。高中物理学习中更常 4.人船模型的等效 见的是将某一定值电阻等效为电源内阻的 【例4】如图4所示,质量为M、长为L 情形,这些问题的等效处理思想十分简单, 的木排停在静水中,质量为m和m2的两 在这里不一一举例说明了,但要注意等效 个人从木排两端由静止开始同时向对方运 的前提条件一被等效为电源内阻的电阻动,当质量为m的人到达木排另一端时, 的阻值必须是确定不变的。 另一个人恰好到达木排中间不计水的阻 力,则关于此过程中木排的位移x的说法 3.单摆模型的等效 正确的是() 【例3】如图3所示,在一个半径足够大的 光滑圆弧形轨道上A、B两点(h4≠hB) 同时由静止释放两个质量不同、尺寸很小 的小球,则它们相遇的位置在() 图4 A.最低点O的左侧 A.若·r=(2m-m)1 2(m1+m2+M) 最低点O的右侧 C.最低点O处 方向向左 D.不会相遇

3 图 2-2 再考虑到对称性，BD 点与 BD 点等 电势，因此其间无电流，可以拿掉，网络 等效于图 2-3 所示电路图。 A A B D C B D C 2 r 2 r 2 r 2 r r r 图 2-3 到这里，电路图已经简化为常见的并 联电路图，不难求出 R r AC 4 3  因此，A、C 两点间的电阻值为 r 4 3 . 此例中电路相当复杂，直接分析串并 联很麻烦，因此在题中利用对称性及等电 势的知识对电路进行等效化简，简化为便 于求解的并联电路。高中物理学习中更常 见的是将某一定值电阻等效为电源内阻的 情形，这些问题的等效处理思想十分简单， 在这里不一一举例说明了，但要注意等效 的前提条件——被等效为电源内阻的电阻 的阻值必须是确定不变的。 3.单摆模型的等效 【例 3】如图 3 所示，在一个半径足够大的 光滑圆弧形轨道上 A、B 两点（ A B h  h ）， 同时由静止释放两个质量不同、尺寸很小 的小球，则它们相遇的位置在（ ） A．最低点 O 的左侧 B．最低点 O 的右侧 C．最低点 O 处 D．不会相遇 A B hB hA O 图 3 【解析】此题中圆弧半径足够大，符合简 谐运动的条件，因此可以将其等效为单摆 模型，问题将极易解决。由单摆周期公式 g L T  2 ，可知TA  TB ，周期与摆球 的质量无关，两个小球由静止释放后，均 经历四分之一周期的时间同时到达最低点 O 处，故正确答案应为 C。但若把题中模型 等效为沿斜面运动，就会得出错误的结论， 因此分析清楚题目主要逻辑很重要。 4.人船模型的等效 【例 4】如图 4 所示，质量为 M、长为 L 的木排停在静水中，质量为 m1 和 m2 的两 个人从木排两端由静止开始同时向对方运 动，当质量为 m1的人到达木排另一端时， 另一个人恰好到达木排中间.不计水的阻 力，则关于此过程中木排的位移 x 的说法 正确的是（ ） M v1 v2 m1 m2 图 4 A. 若 2 2 1 m m  ， 2( ) (2 ) 1 2 1 2 m m M m m L x     ， 方向向左

(m2-2m1)L 竖直的光滑墙面A和B,相距为d,一小 B.若mm (2m1-m2)L方向 点,求小球的抛射角(设球与墙壁的碰撞 是弹性碰撞) 向左 B ,X= 0 【解析】先令m不动,m走到船的右端, 根据“人船模型”结论知此阶段船应向左 图5 m. 【解析】由于墙壁光滑且小球下落过程中 发生移动x1= m2+(m2+M)’然后再令 与墙壁发生碰撞为弹性碰撞,碰撞前后小 m不动,m走到船的中间,则同理这一阶球能量无损失,所以小球与墙壁碰撞后的 段船又向右发生位移运动与没有墙壁时的运动关于墙壁对称, L 即小球的实际运动可等效为一个完整的斜 x2 (m1+M)+m22 上抛运动,如图5-1所示。 由此可知,①若x>x,即m1>m12,则 B 船的总位移x是向左的; ②若x<x,即m<"m,则 图5-1 船的总位移x是向右的 竖直方向做竖直上抛运动,有: ③若x1=x2,即m1 vo sine=g 船的总位移x=0 水平方向做匀速直线运动,水平位移 故本题正确答案为ABD 为2d,有:2d= vo cOS6·t 在动量一章所学的人船模型是一个人 联立①②,解得:日=1 arcsin28 在船上面走动,但是题目中两个人同时走 动怎么办?依据等效思想,可以用一个人 因此,小球的抛射角为 -arcsin284 走动的过程把此题中两个人同时走动的过 程进行等效转化一一等效为m、m各自单 我们在学习时最起码的要求是能解 独行走。 题,而高考对我们的要求是快速解题,这 就要求我们平时要不断的总结类似的方 5运动过程的等效 法,养成良好的习惯。 【例5】如图5所示,在水平面内,有两个

4 B. 若 2 2 1 m m  ， 2( ) ( 2 ) 1 2 2 1 m m M m m L x     ， 方向向右 C. 若 2 2 1 m m  ， M m m L x 2 (2 ) 1  2  ，方向 向左 D. 若 2 2 1 m m  ， x  0 【解析】先令 m2不动，m1走到船的右端， 根据“人船模型”结论知此阶段船应向左 发生移动 ( ) 1 2 1 1 m m M m L x    ；然后再令 m1不动，m2走到船的中间，则同理这一阶 段 船 又 向 右 发 生 位 移 ( ) 2 1 2 2 2 L m M m m x    . 由此可知，①若 1 2 x  x ，即 2 2 1 m m  ，则 船的总位移 x 是向左的； ②若 1 2 x  x ，即 2 2 1 m m  ，则 船的总位移 x 是向右的； ③若 1 2 x  x ，即 2 2 1 m m  ，则 船的总位移 x  0 . 故本题正确答案为 ABD . 在动量一章所学的人船模型是一个人 在船上面走动，但是题目中两个人同时走 动怎么办？依据等效思想，可以用一个人 走动的过程把此题中两个人同时走动的过 程进行等效转化——等效为 m1、m2各自单 独行走。 5.运动过程的等效 【例 5】如图 5 所示，在水平面内，有两个 竖直的光滑墙面 A 和 B，相距为 d，一小 球以初速 v0从墙之间的 O 点斜向上抛出， 与 A 和 B 各发生一次碰撞后正好落回抛出 点，求小球的抛射角（设球与墙壁的碰撞 是弹性碰撞）。 A B θ v0 图 5 【解析】由于墙壁光滑且小球下落过程中 与墙壁发生碰撞为弹性碰撞，碰撞前后小 球能量无损失，所以小球与墙壁碰撞后的 运动与没有墙壁时的运动关于墙壁对称， 即小球的实际运动可等效为一个完整的斜 上抛运动，如图 5-1 所示。 A B θ v0 图 5-1 竖直方向做竖直上抛运动，有： 2 sin 0 t v   g ① 水平方向做匀速直线运动，水平位移 为 2d，有： 2d  v cos t 0 ② 联立①②，解得： 2 0 2 arcsin 2 1 v gd   因此，小球的抛射角为 2 0 2 arcsin 2 1 v gd 我们在学习时最起码的要求是能解 题，而高考对我们的要求是快速解题，这 就要求我们平时要不断的总结类似的方 法，养成良好的习惯

6受力过程的等效 即:Mg×h=Mv 【例6】如图甲所示,粗细均匀的U形管 内装有同种液体,管口右端用盖板A密封, 解得y=y2g 两侧液面高度差为h,U形管中液柱的总长 度为4h:现拿去盖板A,液体由静止开始类似解法的题目还有桌边链条、绳子等滑 流动,当两侧液面高度相等时,右侧液面落的问题,按照同样的思路把过程等效为 下降的速度为多少(不计管壁的摩擦) 初始和终末两种状态机械能守恒来列方程 求解 三、小结 等效替代法的宗旨是化繁为简,将 些过程复杂或者难以直接计算的问题用简 图6 图6-1 单的思路来进行求解。近年来高考的选拔 【解析】本题是由原状态到两侧液面等高 愈来愈注重考生的能力和素质,其命题愈 的过程,这个过程中只有重力做功,符合 加明显地渗透着物理思想、物理方法的考 机械能守恒的条件,整体液体重心下移, 查,等效替代法作为一种迅速解决物理问 使得重力势能转化为液体的动能。按照 题的有效手段,必将体现于高考考察中 般方法,取全部液体为研究对象来列初末 状态减少的重力势能与增加的动能的方 程,整体重心下移量无法计算,从而导致 下面的解题过程无法进行。此时就要对原 题中的情境重新整理,利用等效思想来处 理,问题便极易求解。根据等效思想,可 将问题等效为其它液柱没有移动,仅仅是 将右侧高出左侧高为h的液柱中的一半即 h直接移到左侧,这样一来液体重力势 能的减少量便极易求得:而整个U形管中 液体运动的速率是始终相等的 设液体总质量为M,则对该均匀液体 由机械能守恒得 液柱重力势能的减少量等于液柱动能的增 加量:△E AE

5 6.受力过程的等效 【例 6】如图甲所示，粗细均匀的 U 形管 内装有同种液体，管口右端用盖板 A 密封， 两侧液面高度差为 h，U 形管中液柱的总长 度为 4h；现拿去盖板 A，液体由静止开始 流动，当两侧液面高度相等时，右侧液面 下降的速度为多少（不计管壁的摩擦）？ h A h A 图 6 图 6-1 【解析】本题是由原状态到两侧液面等高 的过程，这个过程中只有重力做功，符合 机械能守恒的条件，整体液体重心下移， 使得重力势能转化为液体的动能。按照一 般方法，取全部液体为研究对象来列初末 状态减少的重力势能与增加的动能的方 程，整体重心下移量无法计算，从而导致 下面的解题过程无法进行。此时就要对原 题中的情境重新整理，利用等效思想来处 理，问题便极易求解。根据等效思想，可 将问题等效为其它液柱没有移动，仅仅是 将右侧高出左侧高为 h 的液柱中的一半即 h 2 1 直接移到左侧，这样一来液体重力势 能的减少量便极易求得；而整个 U 形管中 液体运动的速率是始终相等的。 设液体总质量为 M，则对该均匀液体 由机械能守恒得： 液柱重力势能的减少量等于液柱动能的增 加量 ： E p减  Ek增 即： 2 2 1 2 1 8 1 Mg  h  Mv 解得 4 2gh v  类似解法的题目还有桌边链条、绳子等滑 落的问题，按照同样的思路把过程等效为 初始和终末两种状态机械能守恒来列方程 求解。 三、小结 等效替代法的宗旨是化繁为简，将一 些过程复杂或者难以直接计算的问题用简 单的思路来进行求解。近年来高考的选拔 愈来愈注重考生的能力和素质，其命题愈 加明显地渗透着物理思想、物理方法的考 查，等效替代法作为一种迅速解决物理问 题的有效手段，必将体现于高考考察中