高三物理专题复习：天体运动知识点归类解析

天体运动知识点归类解析 【问题一】行星运动简史 1、两种学说 (1)地心说:地球是宇宙的中心,而且是静止不动的,太阳、月亮以及其他行星都绕地球运 动。支持者托勒密。 (2).日心说:太阳是宇宙的中心,而且是静止不动的,地球和其他行星都绕太阳运动 (3).两种学说的局限性 都把天体的运动看的很神圣,认为天体的运动必然是最完美,最和谐的圆周运动,而和丹麦 天文学家第谷的观测数据不符 2、开普勒三大定律 开普勒1596年出版《宇宙的神秘》一书受到第谷的赏识,应邀到布拉格附近的天文台 做研究工作。1600年,到布拉格成为第谷的助手。次年第谷去世,开普勒成为第谷事业的 继承人 第谷去世后开普勒用很长时间对第谷遗留下来的观测资料进行了整理与分析他在分析 火星的公转时发现,无论用哥白尼还是托勒密或是第谷的计算方法得到的结果都与第谷的观 测数据不吻合。他坚信观测的结果,于是他想到火星可能不是按照人们认为的匀速圆周运动 他改用不同现状的几何曲线来表示火星的运动轨迹,终于发现了火星绕太阳沿椭圆轨道运行 的事实。并将老师第谷的数据结果归纳出三条著名定律 第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上 第二定律:对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等 如图某行星沿椭圆轨道运行,远日点离太阳的距离为a,近日 点离太阳的距离为b,过远日点时行星的速率为vn,过近日点时 的速率为v 2222 由开普勒第二定律,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相 等的面积,取足够短的时间Mt,则有: n△t=bM① 所以"=2② b ②式得出一个推论:行星运动的速率与它距离成反比,也就是我们熟知的近日点快远 日点慢的结论。②式也当之无愧的作为第二定律的数学表达式 第三定律:所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期平方的比值都相等

1 天体运动知识点归类解析 【问题一】行星运动简史 1、两种学说 （1）地心说:地球是宇宙的中心，而且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运 动。支持者托勒密。 （2）.日心说：太阳是宇宙的中心，而且是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。 （3）.两种学说的局限性 都把天体的运动看的很神圣，认为天体的运动必然是最完美，最和谐的圆周运动，而和丹麦 天文学家第谷的观测数据不符。 2、开普勒三大定律 开普勒 1596 年出版《宇宙的神秘》一书受到第谷的赏识，应邀到布拉格附近的天文台 做研究工作。1600 年，到布拉格成为第谷的助手。次年第谷去世，开普勒成为第谷事业的 继承人。 第谷去世后开普勒用很长时间对第谷遗留下来的观测资料进行了整理与分析他在分析 火星的公转时发现，无论用哥白尼还是托勒密或是第谷的计算方法得到的结果都与第谷的观 测数据不吻合。他坚信观测的结果，于是他想到火星可能不是按照人们认为的匀速圆周运动 他改用不同现状的几何曲线来表示火星的运动轨迹，终于发现了火星绕太阳沿椭圆轨道运行 的事实。并将老师第谷的数据结果归纳出三条著名定律。 第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。 如图某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为 a ，近日 点离太阳的距离为 b ，过远日点时行星的速率为 a v ，过近日点时 的速率为 b v 由开普勒第二定律，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相 等的面积，取足够短的时间 t ，则有： av t bv t a = b 2 1 2 1 ① 所以 b a v v a b = ② ②式得出一个推论：行星运动的速率与它距离成反比，也就是我们熟知的近日点快远 日点慢的结论。②式也当之无愧的作为第二定律的数学表达式。 第三定律：所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期平方的比值都相等

用a表示半长轴,T表示周期,第三定律的数学表达式为二=k,k与中心天体的质量有 关即k是中心天体质量的函数,=k(M①。不同中心天体k不同。今天我们可以由万有 Mm=m42r得2=72②即k(1)GM可见k正比与中心天体 GM 引力定律证明: 的质量M。 ①式 a3=(M)是普遍意义下的开普勒第三定律多用于求解椭圆轨道问题 ②式:GM ∥是站在圆轨道角度下得出多用于解决圆轨道问题。为了方便记忆与区分我 们不妨把①式称为官方版开三,②式成为家庭版开 【问题二】:天体的自转模型 1、重力与万有引力的区别 地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因,但重力又不完全等于引力。这是因为地 球在不停的自转,地球上所有物体都随地球自转而绕地轴做匀速圆周运动,这就需要向心力 这个向心力的方向垂直指向地轴大小为F=mO2r,式中r是物体与地轴的距离,是地 球自转角速度。这个向心力来源于物体受到的万有引力,它是引力的一个分力,另一个分力 才是物体的重力 不同纬度的地方,物体做匀速圆周运动的角速度O相同,而做圆周运动的半径r不同, 该半径在赤道最大在两极最小(为0)纬度为θ处的物体随地球自转所需的向心力 F=mO2r=mo2 Rcos e(R为地球半径)由此可见随纬度的升高,向心力减小,在两极 处 Rose=0、F=0万有引力等于重力,作为引力的另一个分力重力则随纬度升高而增大 (1)、在赤道上:万有引力、重力、向心力均指向地心则有 Mm mg, t mo (2)、在两极上:向心力为0、重力等于万有引力即 Mm

2 用 a 表示半长轴， T 表示周期，第三定律的数学表达式为 k T a = 2 3 ，k 与中心天体的质量有 关即 k 是中心天体质量的函数 ( ) 2 3 k M T a = ①。不同中心天体 k 不同。今天我们可以由万有 引力定律证明： r T m r Mm G 2 2 3 4 = 得 2 2 3 4 GM T r = ②即 2 4 ( )  GM k M = 可见 k 正比与中心天体 的质量 M 。 ①式 ( ) 2 3 k M T a = 是普遍意义下的开普勒第三定律多用于求解椭圆轨道问题。 ②式 2 2 3 4 GM T r = 是站在圆轨道角度下得出多用于解决圆轨道问题。为了方便记忆与区分我 们不妨把①式称为官方版开三，②式成为家庭版开三。 【问题二】：天体的自转模型 1、重力与万有引力的区别 地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因，但重力又不完全等于引力。这是因为地 球在不停的自转，地球上所有物体都随地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力。 这个向心力的方向垂直指向地轴大小为 F m r 2 =  ，式中 r 是物体与地轴的距离，  是地 球自转角速度。这个向心力来源于物体受到的万有引力，它是引力的一个分力，另一个分力 才是物体的重力。 不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度  相同，而做圆周运动的半径 r 不同， 该半径在赤道最大在两极最小（为 0）纬度为  处的物体随地球自转所需的向心力   cos 2 2 F = m r = m R （R 为地球半径）由此可见随纬度的升高，向心力减小，在两极 处 Rcos = 0、F = 0 万有引力等于重力，作为引力的另一个分力重力则随纬度升高而增大。 （1）、在赤道上：万有引力、重力、向心力均指向地心则有 mg m R R Mm G 2 2 = 1 +  （2）、在两极上：向心力为 0、重力等于万有引力即 2 mg2 R Mm G =

(3)、在一般位置:万有引加G入等于重力mg与向心力的矢量和,如图。越靠近南 北两极g值越大,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力 Mn 即G =mg o 2、自转天体不瓦解的条件 所谓天体的不瓦解是指,存在自转的情况下,天体表面的物体不会脱离天体表面。天体 自转时,天体表面的各部分随天体做匀速圆周运动,由于赤道部分所需向心力最大,如果赤 道上的物体不脱离地面那么其他地方一定不会脱离地面。则要使天体不瓦解则要满足: GMm ≥mo32R①又 2 ①②③得:p≥ 将T=24h带入④得p≥18.9kg/m3而地球的密度为p=5523kg/m3足以保证地球处于 稳定状态 【问题二】:近地问题+绕行问题 1、在中心天体表面或附近,万有引力近似等于重力G Mm mg,即GM=gR2 2、利用天体表面的重力加速度g和天体半径Rg、R法) 由于GMm R2-mg,故天体质量 M=82,天体密度 4πGR 3、在距天体表面高度为h处的重力加速度 在距天体表面高度为h处,万有引力引起的重力加速度g',由牛顿第二定律得 Mm 即g'=GM R g 即重力加速度随高度增加而减小 4、通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T,轨道半径rT、r法) GMm n 4i 42r3 (1)由万有引力等于向心力,即 p2="27,得出中心天体质量M=m (2)若已知天体的半径R,则天体的密度

3 （3）、在一般位置：万有引力 2 R Mm G 等于重力 mg 与向心力 F向 的矢量和，如图。越靠近南 北两极 g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力， 即 mg R Mm G = 2 。 2、自转天体不瓦解的条件 所谓天体的不瓦解是指，存在自转的情况下，天体表面的物体不会脱离天体表面。天体 自转时，天体表面的各部分随天体做匀速圆周运动，由于赤道部分所需向心力最大，如果赤 道上的物体不脱离地面那么其他地方一定不会脱离地面。则要使天体不瓦解则要满足： m R R GMm 2 2   ① 又 T   2 = ② 3 3 4 M = R ③ ①②③得： 2 3 GT    ④ 将 T = 24h 带入④得 3  18.9kg / m 而地球的密度为 3  = 5523kg / m 足以保证地球处于 稳定状态。 【问题二】：近地问题+绕行问题 1、在中心天体表面或附近，万有引力近似等于重力 mg R Mm G = 2 ，即 2 GM = gR 2、利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R(g、R 法) 由于 mg R Mm G = 2 ，故天体质量 M＝ gR2 G ，天体密度 ρ＝ M V ＝ M 4 3 πR 3 ＝ 3g 4πGR。 3、在距天体表面高度为 h 处的重力加速度 在距天体表面高度为 h 处，万有引力引起的重力加速度 g  ，由牛顿第二定律得 2 (R h) Mm mg G +  = 即 g R h R R h M g G 2 2 2 ( ) ( + ) = +  = 即重力加速度随高度增加而减小。 4、通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T，轨道半径 r(T、r 法) (1)由万有引力等于向心力，即 G Mm r 2 ＝m 4π2 T 2 r，得出中心天体质量 M＝ 4π2 r 3 GT2 ； (2)若已知天体的半径 R，则天体的密度

MM 3T/ 3P3O7 (3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径r等于天体半径R 则天体密度p=G° 可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估测出中心天 体的密度 问题四:人造卫星问题 1.分析人造卫星运动的两条思路 (1)万有引力提供向心力即=m。 GMm (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力,即p2=mg或gR2=GMR、g分别 是天体的半径、表面重力加速度),公式gR2=GM应用广泛,被称为“黄金代换”。 2.人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 4 VGM GM 1 GM man→a 由此可以得出结论:一定(r)四定:越远越慢。 3.同步卫星的六个“一定” ①轨道平面一定:轨道平面和赤道平面重合 ②周期一定:与地球自转周期相同, 即T=24h=86400ss. ③角速度一定:与地球自转的角速度相同 GM MT ④高度一定:根据开普勒第三定律一=得 =424×104km又因为 4 GMT r=R+h所以h= -R≈6R

4 ρ＝ M V ＝ M 4 3 πR 3 ＝ 3πr 3 GT2R 3； (3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R， 则天体密度 ρ＝ 3π GT2。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估测出中心天 体的密度。 问题四：人造卫星问题 1．分析人造卫星运动的两条思路 (1)万有引力提供向心力即 G Mm r 2 ＝ma。 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即GMm R 2 ＝mg 或 gR2＝GM(R、g 分别 是天体的半径、表面重力加速度)，公式 gR2＝GM 应用广泛，被称为“黄金代换”。 2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系               =  =   =   =  = 2 3 2 3 2 2 2 2 1 2 4 1 r GM ma a r r GM m r r GM r T T m r r GM v r v m r Mm G n n     由此可以得出结论：一定（ r ）四定；越远越慢。 3．同步卫星的六个“一定” ①轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合． ②周期一定：与地球自转周期相同， 即 T = 24h = 86400s s. ③角速度一定：与地球自转的角速度相同． ④高度一定：根据开普勒第三定律 2 2 3 4 GM T r = 得： km GMT r 4 2 2 3 4.24 10 4 = =   又因为 r = R + h 所以 R R GMT h 6 4 2 2 3 = −  

⑤速率一定:运动速度y=2m308km/5(为恒量). ⑥绕行方向一定:与地球自转的方向一致 4、赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较 比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星 向心力来源万有引力的分力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有引重力略小于万有 力的关系 引力 重力等于万有引力 GM GM V1=O,R 线速度 "2=VR VR+h v1<v3<v2(V2为第一字宙速度) 03=0自 m2=气 GM 角速度 R3 (R+h) 01=03<02 (R+h) a1=01R GM 向心加速度 3R=R2 (R+h)2 问题五:卫星变轨模型 【模型构建】将同步卫星发射至近地圆轨道1(如图所示),然后再次点火,将卫星送入同 步轨道3.轨道1、2相切于O点,2、3相切于P点,则当卫星分别在1、2、3轨道上正常 运行时 1、阐述卫星发射与回收过程的基本原理? 答:发射卫星时,可以先将卫星发送到近地轨道1,使其绕地球做匀速圆周运动,速率 为v1;变轨时在Q点点火加速,短时间内将速率由v增加到v,使卫星进入椭圆形的转移 轨2;卫星运行到远地点P时的速率为v3;此时进行第二次点火加速,在短时间内将速率 由3增加到v4,使卫星进入同步轨道3,绕地球做匀速圆周运动

5 ⑤速率一定：运动速度 km s T r v 3.08 / 2 =   (为恒量)． ⑥绕行方向一定：与地球自转的方向一致． 4、赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较 比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星 向心力来源 万有引力的分力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有引 力的关系 重力略小于万有 引力 重力等于万有引力 线速度 v1 =1R R GM v2 = R h GM v + 3 = 1 3 2 v  v  v ( 2 v 为第一宇宙速度) 角速度 ω1＝ω 自 ω2＝ GM R 3 ω3＝ω 自＝ GM (R＋h) 3 ω1＝ω3＜ω2 向心加速度 a1＝ω 2 1R a2＝ω 2 2R＝ GM R 2 a3＝ω 2 3(R＋h) ＝ GM (R＋h) 2 a1＜a3＜a2 问题五：卫星变轨模型 【模型构建】将同步卫星发射至近地圆轨道 1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同 步轨道 3．轨道 1、2 相切于 Q 点，2、3 相切于 P 点，则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常 运行时 1、阐述卫星发射与回收过程的基本原理？ 答：发射卫星时，可以先将卫星发送到近地轨道 1，使其绕地球做匀速圆周运动，速率 为 1 v ；变轨时在 Q 点点火加速，短时间内将速率由 1 v 增加到 2 v ，使卫星进入椭圆形的转移 轨 2；卫星运行到远地点 P 时的速率为 3 v ；此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率 由 3 v 增加到 4 v ，使卫星进入同步轨道 3，绕地球做匀速圆周运动

2、就1、2轨道比较卫星经过Q点时线速度v1、v2的大小? 答:根据发射原理1轨道稳定运行的卫星需要加逴才能进λ2轨道所以ν>η。 3、就2、3轨道比较卫星经过P点时线速度v3v的大小? 答:根据发射原理1轨道稳定运行的卫星需要加速才能进入2轨道所以v2>v1° 【小结】2、3两个问题主要是比较椭圆軌道与圆軌道线速度问题解决思路是抓住轨道的成 因 4、就2轨道比较Q、P两点的线速度v2、v3大小? 答:在转移轨道2上,卫星从近地点ρ向远地点P运动过程只受重力作用,机械能守恒 重力做负功,重力势能增加,动能减小。故v>v3。 【小结】实质是比较椭圆轨道不同位置的线速度大小问题可归纳为近点快远点慢 5、比较1轨道卫星经过Q点3轨道卫星经过P点时两点线速度v1、V3的大小? 答:Mmzm一得v GM 由于r3>F故v1>v3° 【小结】实质是比较两个圆轨道的线速度抓住“越远越慢” 6、就1、2轨道比较卫星经过O点时加速度的大小? 答:根据G场 2ma得a=G=2可见加速度取决于半径r无论是1轨道还是2轨道Q到 中心天体的半径都是一样大所以加速度相同。 7、就2、3轨道比较卫星经过P点时加速度的大小? Mm 答:根据G—〓mα得α=σ—可见加速度取决于半径r无论是2轨道还是3轨道P到 中心天体的半径都是一样大所以加速度相同。 【小结】比较不同天体的加速度只需要比较它们到达中心天体的距离即可跟轨道的现状无

6 2、就 1、2 轨道比较卫星经过 Q 点时线速度 1 v 、 2 v 的大小？ 答：根据发射原理 1 轨道稳定运行的卫星需要加速才能进入 2 轨道所以 2 1 v  v 。 3、就 2、3 轨道比较卫星经过 P 点时线速度 3 v 、 4 v 的大小？ 答：根据发射原理 1 轨道稳定运行的卫星需要加速才能进入 2 轨道所以 2 1 v  v 。 【小结】2、3 两个问题主要是比较椭圆轨道与圆轨道线速度问题解决思路是抓住轨道的成 因。 4、就 2 轨道比较 Q 、 P 两点的线速度 2 v 、 3 v 大小？ 答：在转移轨道 2 上，卫星从近地点 Q 向远地点 P 运动过程只受重力作用，机械能守恒。 重力做负功，重力势能增加，动能减小。故 2 3 v  v 。 【小结】实质是比较椭圆轨道不同位置的线速度大小问题可归纳为近点快远点慢 5、比较 1 轨道卫星经过 Q 点 3 轨道卫星经过 P 点时两点线速度 1 v 、 3 v 的大小？ 答：根据 r v m r Mm G 2 2 = 得 r GM v = 由于 3 1 r  r 故 1 3 v  v 。 【小结】实质是比较两个圆轨道的线速度抓住“越远越慢”。 6、就 1、2 轨道比较卫星经过 Q 点时加速度的大小？ 答：根据 ma r Mm G = 2 得 2 r M a = G 可见加速度取决于半径 r 无论是 1 轨道还是 2 轨道 Q 到 中心天体的半径都是一样大所以加速度相同。 7、就 2、3 轨道比较卫星经过 P 点时加速度的大小？ 答：根据 ma r Mm G = 2 得 2 r M a = G 可见加速度取决于半径 r 无论是 2 轨道还是 3 轨道 P 到 中心天体的半径都是一样大所以加速度相同。 【小结】比较不同天体的加速度只需要比较它们到达中心天体的距离即可跟轨道的现状无 关

8、卫星在整个发射过程能量将如何变化? 答:要使卫星由较低的圆轨道进入较高的圓轨道,即増大轨道半径(增大轨道高度h), 定要给卫星增加能量。与在低轨道1时比较(不考虑卫星质量的改变),卫星在同步轨3上 的动能Ek减小了,势能E,增大了,机械能Ek也增大了。增加的机械能由化学能转化而来。 【小结】动能:越远越小:势能:越远越大;机械能:高轨高能。 9、若1轨道的半径为R1,3轨道的半径为R2若轨道1的周期为T则卫星从Q到P所用的 时间为多少?(椭圆轨道周期的求法) 答:设飞船的椭圆轨道的半长轴为a,由图可知a= R1+R2 设飞船沿椭圆轨道运行的周期为T’,由 2 R T 开普勒第三定律得= 飞船从O到P的时间t=—由以上三式求解得t T(R,+R2) 4V 2R3 10、若已知卫星在3轨道运行的周期为T,中心天体的半径为R则卫星距离中心天天表面 的高度为? GM 答:根据开普勒第三定律一=一得: gmt 又因为r=R+h 所以h=,/(Mm2 R 4丌 问题六:双星模型、三星模型、四星模型 【双星模型】 1、模型构建 天体运动中,将两颗彼此相距较近,且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某 点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星 2、模型特点 如图所示为质量分别是m1和m2的两颗相距较近的恒星。它们间的 距离为L.此双星问题的特点是 (1)两星的运行轨道为同心圆,圆心是它们之间连线上的某一点 (2)两星的向心力大小相等,由它们间的万有引力提供

7 8、卫星在整个发射过程能量将如何变化？ 答：要使卫星由较低的圆轨道进入较高的圆轨道，即增大轨道半径（增大轨道高度 h），一 定要给卫星增加能量。与在低轨道 1 时比较（不考虑卫星质量的改变），卫星在同步轨 3 上 的动能 Ek 减小了，势能 E p 增大了，机械能 E机 也增大了。增加的机械能由化学能转化而来。 【小结】动能：越远越小；势能：越远越大；机械能：高轨高能。 9、若 1 轨道的半径为 R1，3 轨道的半径为 R2 若轨道 1 的周期为 T 则卫星从 Q 到 P 所用的 时间为多少？（椭圆轨道周期的求法） 答：设飞船的椭圆轨道的半长轴为 a，由图可知 2 R1 R2 a + = .设飞船沿椭圆轨道运行的周期为 T  ，由 开普勒第三定律得 2 3 2 3 1 T a T R  = .飞船从 Q 到 P 的时间 2 T t  = 由以上三式求解得 3 1 3 1 2 2 ( ) 4 R T R R t + = 10、若已知卫星在 3 轨道运行的周期为 T ，中心天体的半径为 R 则卫星距离中心天天表面 的高度为？ 答：根据开普勒第三定律 2 2 3 4 GM T r = 得： 2 2 3 4 GMT r= 又因为 r = R + h 所以 R GMT h= − 2 2 3 4 。 问题六：双星模型、三星模型、四星模型 【双星模型】 1、模型构建 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某 点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。 2、模型特点 如图所示为质量分别是 m1 和 m2 的两颗相距较近的恒星。它们间的 距离为 L .此双星问题的特点是： (1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。 (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供

(3)两星的运动周期、角速度相同。 (4)两星的运动半径之和等于它们间的距离,即η+n2=L 3、规律推导 设:两颗恒星的质量分别为m1和m2,做圆周运动的半径分别为、F2,角速度分别为O1、 O,。根据题意有 i+r=L 根据万有引力定律和牛顿定律,有 m1O11 m,h m22n2 ③/④得 m 72 ②⑤联立得: m1+m2 m, t m2 ③④分别化简得 171

8 (3)两星的运动周期、角速度相同。 (4)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即 r1 + r2 = L . 3、规律推导 设：两颗恒星的质量分别为 m1 和 m2 ，做圆周运动的半径分别为 1 r 、 2 r ，角速度分别为 1、 2 。根据题意有 1 =2 = ① r1 + r2 = L ② 根据万有引力定律和牛顿定律，有 1 2 2 1 1 1 2 m r L m m G =  ③ 2 2 2 2 2 1 2 m r L m m G =  ④ ③/④得 1 2 2 1 r r m m = ⑤ ②⑤联立得：        + = + = L m m m r L m m m r 1 2 1 2 1 2 2 1 ③④分别化简得 1 2 2 1 2 r L m G =  ⑥ 2 2 2 2 1 r L m G =  ⑦

⑥相加得Gm+m2)=02(+2)=02L又=2r 得 L 4L 双星问题的两个结论 (1)运动半径:m1_P2,即某恒星的运动半径与其质量成反比。 m2 Y (2)质量之和:两恒星的质量之和m+m=G7 问题七天体的“追及相遇”问题 【模型构建】如图所示,有A、B两颗卫星绕同颗质量未知,半径为R的行星做匀速圆周 运动,旋转方向相同,其中A为近地轨道卫星,周期为T,B为静止轨道卫星,周期为72 在某一时刻两卫星相距最近,再经过多长时间t,两行星再次相距最近(引力常量G为已知) Mm GM 根据万有引力提供向心力,即G m—得 ,所以当 天体速度增加或减少时,对应的圆周轨道会发生相应的变化,所以天体不!:M 可能能在同一轨道上追及或相遇。这里提到的相距最近应指二者共线的时 候。由图示可知A离中心天体近所以速度大运动的快。设二者经过时间t 后再次“相遇”在这段时间内A所发生的角位移为B=a1t,B所发生的 角位移为2=O2t O1、O2分别为A、B的角速度。假定B不动下次二者共线时二者的角位移满足 @t-O,t=2T ①式变形得 @,t @2I 又根据 TT ②③联立得: ④化简得t=

9 ⑥⑦相加得 r r L L m m G 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) =  + =  + 又 T   2 = 得 2 3 1 2 4 ( ) GT L m m  + = ⑧ 双星问题的两个结论 (1)运动半径： 1 2 2 1 r r m m = ，即某恒星的运动半径与其质量成反比。 (2)质量之和：两恒星的质量之和 m1＋m2＝ 4π2L 3 GT2 。 问题七 天体的“追及相遇”问题 【模型构建】如图所示，有 A、B 两颗卫星绕同颗质量未知，半径为 R 的行星做匀速圆周 运动，旋转方向相同，其中 A 为近地轨道卫星，周期为 T1，B 为静止轨道卫星，周期为 T2 ， 在某一时刻两卫星相距最近，再经过多长时间 t ，两行星再次相距最近（引力常量 G 为已知） 根据万有引力提供向心力，即 r v m r Mm G 2 2 = 得 r GM v = ，所以当 天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道会发生相应的变化，所以天体不 可能能在同一轨道上追及或相遇。这里提到的相距最近应指二者共线的时 候。由图示可知 A 离中心天体近所以速度大运动的快。设二者经过时间 t 后再次“相遇”在这段时间内 A 所发生的角位移为 t 1 =1 ，B 所发生的 角位移为 t  2 =2 1、2 分别为 A、B 的角速度。假定 B 不动下次二者共线时二者的角位移满足 1 t -2 t = 2 ① ①式变形得： 1 2 - 2 1 2 =     t t ② 又根据  2 T = ③ ②③联立得： 1 1 2 − = T t T t ④化简得 2 1 1 2 T T T T t − =

④式揭示了:我只要知道两个不同轨道卫星的运行周期就可以估算出他们从某次最近 到下一次最近的时间了 接下来我们讨论两颗卫星从图示位置经过多长时间相距最远。任然假定B不动由几何 关系可得二者的角位移满足 1tO2t=丌 ①式变形得 O,t @,t I 2丌2丌2 又根据 ②③联立得: ④化简得t= 71T2 T1722 2(T-T) 如果二者运动方向相反则情况又如何呢?由题意得 相距最近时满足: O1t+O2t=2丌 ①式变形得: 又根据 ②③联立得: ④化简得t=2 T172 T1+72 相距最远时满足: O1t+2t=丌 ①式变形得: o,t @t I 2x2丌2 又根据 T TT ②③联立得: T1T22 ④化简得t= 2(T+T)

10 ④式揭示了：我只要知道两个不同轨道卫星的运行周期就可以估算出他们从某次最近 到下一次最近的时间了。 接下来我们讨论两颗卫星从图示位置经过多长时间相距最远。任然假定 B 不动由几何 关系可得二者的角位移满足 1 t -2 t =  ① ①式变形得： 2 1 2 - 2 1 2 =     t t ② 又根据  2 T = ③ ②③联立得： 2 1 1 2 − = T t T t ④化简得 （ 2 1） 1 2 2 T T T T t − = 如果二者运动方向相反则情况又如何呢？由题意得 相距最近时满足： 1 t +2 t = 2 ① ①式变形得： 1 2 2 1 2 + =     t t ② 又根据  2 T = ③ ②③联立得： 1 1 2 + = T t T t ④化简得 1 2 1 2 T T T T t + = 相距最远时满足： 1 t +2 t =  ① ①式变形得： 2 1 2 2 1 2 + =     t t ② 又根据  2 T = ③ ②③联立得： 2 1 1 2 + = T t T t ④化简得 （ 1 2） 1 2 2 T T T T t + =