免费下载网址ht: jiaoxue5u. ysl168.c0m/ 第8章一元一次不等式 8.1认识不等式 梳理知识 1、不等式 用不等号“>”或“<”表示 关系的式子,叫做不等式 例如:-7<-5,x+3<6都是不等式,其中不等式x+3<6中含有未知数 2、不等式的解 能使不等式成立的 的值,叫做不等式的解。 例如:x=2,0,-0.5……都是x+3<6的解;而x=3,5-,7.8……都不是x+3< 6的解。 教材新知识全解 知识点1通过实例体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一 问题1:世纪公园的票价是:每人5元:一次购票满30张,每张票可少收1元。某班 有27名少先队员去世纪公园进行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时 爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华,提议买30张票,但有的同学不明白,明明我们只有27 个人,买30张票,岂不是“浪费”吗?那么,究竞李敏的提议对不对呢?是不是真的“浪 费”呢 从实际问题出发,在解决实际问题中,让同学们经历知识的形成过程是新课程标准的一 大特征。如何能把实际问题转化为数学模型是我们解决问题的关键 此题的主要谜团的地方:到底买27张便宜还是买30张便宜?打开谜团的金钥匙:这里 注意的是30人时,票价少收1元为每张4元:而27人,则需每张5元,按照这一点,分别 算出各为多少钱,便可知道买30张并没有浪费。我们不妨来算一算: 买27张票,要付款5×27=135(元),买30张票,要付款4×30=120元, 显然120<135。 这就是说,买30张票比买27张票付款要少,表面上看是“浪费”了 而实际上 反而节省了 问题延伸:当然,如果去世纪公园的人数较少(例如10个人),显然不值得去买30张 票,还是按实际人数买票为好。现在的问题是:少于30人时,至少要有多少人去世纪公园 解压密码联系q119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 址: JIaoxue5 I taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 第 8 章 一元一次不等式 8.1 认识不等式 梳理知识 1、不等式 用不等号“＞”或“＜”表示 关系的式子，叫做不等式。 例如：－7＜－5，x＋3＜6 都是不等式，其中不等式 x＋3＜6 中含有未知数 x。 2、不等式的解 能使不等式成立的 的值，叫做不等式的解。 例如：x＝2, 0, －0.5……都是 x＋3＜6 的解；而 x＝3, 1 5 2 , 7.8……都不是 x＋3＜ 6 的解。 教材新知识全解 知识点 1 通过实例体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一 问题 1：世纪公园的票价是：每人 5 元；一次购票满 30 张，每张票可少收 1 元。某班 有 27 名少先队员去世纪公园进行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买 27 张票时， 爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买 30 张票，但有的同学不明白，明明我们只有 27 个人，买 30 张票，岂不是“浪费”吗？那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的“浪 费”呢？ 从实际问题出发，在解决实际问题中，让同学们经历知识的形成过程是新课程标准的一 大特征。如何能把实际问题转化为数学模型是我们解决问题的关键。 此题的主要谜团的地方：到底买 27 张便宜还是买 30 张便宜？打开谜团的金钥匙：这里 注意的是 30 人时，票价少收 1 元为每张 4 元；而 27 人，则需每张 5 元，按照这一点，分别 算出各为多少钱，便可知道买 30 张并没有浪费。我们不妨来算一算： 买 27 张票，要付款 5×27＝135（元），买 30 张票，要付款 4×30＝120 元， 显然 120＜135。 这就是说，买 30 张票比买 27 张票付款要少，表面上看是“浪费”了 3 张票，而实际上 反而节省了。 问题延伸：当然，如果去世纪公园的人数较少（例如 10 个人），显然不值得去买 30 张 票，还是按实际人数买票为好。现在的问题是：少于 30 人时，至少要有多少人去世纪公园
免费下载网址htt: JIaoxue5u.ys68com 买30张票反而合算呢? 探索:我们一起来分析上面提出的问题。 设有x人要进世纪公园,如果x5x 不成立 110 120>5x 不成立 115 120>5x 不成立 24120 120=5x 不成立 25125 成立 26 130 120”表示不等式关 系的式子,叫做不等式。2≠3也是不等式。请你再举一些不等式的例子。 特别提醒:要正确理解不等式的意义,需注意以下几点 (1)方程与不等式的区别:方程表示的是相等关系,不等式表示的是不等关系 (2)常用的不等号有“>,<,≤,≥,≠”五咱。 要把握不等式概念的关键是理解各种不等号的意义及正确写法,列表说明如下 1、小于号 左边的量比右边的量小 左边的量比右边的量大 3、小于或等于号≤ ①小于或等于 ②不大于 表示左边“不大于”右边 4、大于或等于号≥ ①大于或等于 ②不小于 表示左边“不小于”右边 解压密码联系q119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 址: JIaoxue5 I taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 买 30 张票反而合算呢？ 探索：我们一起来分析上面提出的问题。 设有 x 人要进世纪公园，如果 x＜30，那么按实际人数买票 x 张，要付款 5x（元）；买 30 张票，要付款 4×30＝120（元）。 如果买 30 张票合算，那么应有 120＜5x。 现在的问题就是：x 取哪些数值时，上式成立？ 前面已经算过，当 x＝27 时，上式成立。让我们再取一些值试一试，结果如下表。 x 5x 比较 120 和 5x 的大小 120＜5x 成立吗 21 105 120＞5x 不成立 22 110 120＞5x 不成立 23 115 120＞5x 不成立 24 120 120＝5x 不成立 25 125 120＜5x 成立 26 130 120＜5x 成立 27 135 120＜5x 成立 28 140 120＜5x 成立 29 145 120＜5x 成立 由上表可见，当 x＝ 25 时，不等式 120＜5x 成立，也就是说，少于 30 人时，至少 要有 25 人进公园，买 30 张票反而合算。 知识点 2 不等式的意义 像上面出现的 120＜135，x＜30，120＜5x 那样用不等号“＜”或“＞”表示不等式关 系的式子，叫做不等式。2≠3 也是不等式。请你再举一些不等式的例子。 特别提醒：要正确理解不等式的意义，需注意以下几点： (1) 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。 (2) 常用的不等号有“＞，＜，≤，≥，≠”五咱。 要把握不等式概念的关键是理解各种不等号的意义及正确写法，列表说明如下： 名 称 符号 读 法 意 义 1、小于号 ＜ 小 于 左边的量比右边的量小 2、大于号 ＞ 大 于 左边的量比右边的量大 3、小于或等于号 ≤ ①小于或等于 ②不大于 表示左边“不大于”右边 4、大于或等于号 ≥ ①大于或等于 ②不小于 表示左边“不小于”右边
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys168c0m/ 5、不等号 不等于 只表示左边“不等于”右边,但不 能确定哪边大 针对性基础经典题 例1用不等号表示下列各数 (-2)2(-2)3 3-2 (4) (5)-12÷33÷(-4) 分析:(2)、(3)、(5)先根据有理数的运算计算出结果,再根据有理数的大小比较法则 可得填空 解:(1);(3)>:(4)5的解 B、3是不等式x+2>5的解 C、所有小于1的数都是x+12有无数个解 解析:因为x=4时,x+3>5成立:x=3时,x+2>5不成立:所有小于1的数都是x +1<2的解,所以A、C、D正确,B不正确。故选择B。 特别提醒:判断一种说法错误,只需要举岀一个反例即可;肯定一种说法,必须在理 论上说明。对于选择题的解法,有时可采用特殊值法比较简捷。 知识点4用不等式表示数量关系(重点) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 址: JIaoxue5 I taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 5、不等号 ≠ 不等于 只表示左边“不等于”右边，但不 能确定哪边大 针对性基础经典题 例 1 用不等号表示下列各数： (1) －3 0； (2) (－2)2 (-2)3； (3) 4 3 5 4 - - ； (4) 1 1 2 3 - - ； (5) －12÷3 3÷(－4). 分析：(2)、(3)、(5)先根据有理数的运算计算出结果，再根据有理数的大小比较法则 可得填空。 解：(1)＜；(2)＞；(3)＞；(4)＜；(5)＜；(6)＜. 特别提醒：本题不仅巩固了不等式定义，而且复习了有理数大小比较。 知识点 3 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 如在上面问题中，x＝25, 26, 27, 28, 29 都是 120＜5x 的解，而 x＝24, 23, 22, 21， 则都不是不等式的解。 特别提醒：和方程的解不同，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一个方程只有一 个或几个解，如方程 2x＝1，x＝ 1 2 ，只有一个解；方程 x 2＝1 有两个解，是 x＝±1（后一 个方程以后再学）。 针对性基础经典题 例 2 下列说法不正确的是（ ） A、4 是不等式 x＋3＞5 的解 B、3 是不等式 x＋2＞5 的解 C、所有小于 1 的数都是 x＋1＜2 的 解 D、不等式 x＋1＞2 有无数个解 解析：因为 x＝4 时，x＋3＞5 成立；x＝3 时，x＋2＞5 不成立；所有小于 1 的数都是 x ＋1＜2 的解，所以 A、C、D 正确，B 不正确。故选择 B。 特别提醒：判断一种说法错误，只需要举出一个反例即可；肯定一种说法，必须在理 论上说明。对于选择题的解法，有时可采用特殊值法比较简捷。 知识点 4 用不等式表示数量关系（重点）
免费下载网址htt: JIaoxue5u.ys68com 例3用适当的符号表示下列关系 (1)a的3倍与b的一的和不大于3 (2)x2是非负数 (3)x的相反数与1的差不小于2 (4)x与17的和比它的5倍小。 思路分析:(1)中不大于就是小于或等于,即“≤”;(2)中的非负数就是大于等于 即“≥”;(3)不小于就是大于等于;(4)中关键词“小”等。 解:(1)3a+_b≤3:;(2)x2≥0;(3)-x-1≥2:(4)x+170;x是负数,则x1,x2≥0等。 ②条件不等式:即在一定条件下才成立的不等式,如x-1>0。 ③矛盾不等式:即在任何条件下都不成立的不等式,如2>3 我们所研究的主要是条件不等式 典型例题 例1陈斌同学和他的爸爸、妈妈准备在国庆节外出旅游。春光旅行社的收费标准为: 大人全价,小孩半价。而华夏旅行社不管大人小孩,一律八折。若这两家旅行社的基本价 样,你认为陈斌一家选哪家旅行社较合算。 【精析】要比较两家旅行社收费多少,需设定一个基本价,计算出两家旅行社对陈斌 一家的总收费,然后进行比较 【解】设每人的基本价为a元 则春光旅行社的总收费为:2a+a×50%=2.5a(元) 而华夏旅行社的总收费为:3a×80%=2.4a(元) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 址: JIaoxue5 I taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 例 3 用适当的符号表示下列关系： (1) a 的 3 倍与 b 的 1 5 的和不大于 3； (2) x2 是非负数； (3) x 的相反数与 1 的差不小于 2； (4) x 与 17 的和比它的 5 倍小。 思路分析：(1)中不大于就是小于或等于，即“≤”；(2)中的非负数就是大于等于零， 即“≥”；(3)不小于就是大于等于；(4)中关键词“小”等。 解：(1)3a＋ 1 5 b≤3；(2)x2≥0；(3)－x－1≥2；(4)x＋17＜5x。 特别提醒：(1) 用不等式表示不等关系是研究不等式的基础，在表示时一定要抓住关键 词语，弄清不等关系。同时，还要掌握一些常用文字语言与数学符号语言的转换：如 x 是 正数，则 x＞0；x 是负数，则 x＜0；x 是非负数，则 x≥0；x 是非正数，则 x≤0；x 不小于 3，则 x≥3 等。 (2) 常见不等式有以下几种： ① 绝对不等式：即在任何条件下不等式都成立。如 2＞1，x 2≥0 等。 ② 条件不等式：即在一定条件下才成立的不等式，如 x－1＞0。 ③ 矛盾不等式：即在任何条件下都不成立的不等式，如 2＞3。 我们所研究的主要是条件不等式。 典型例题 例 1 陈斌同学和他的爸爸、妈妈准备在国庆节外出旅游。春光旅行社的收费标准为： 大人全价，小孩半价。而华夏旅行社不管大人小孩，一律八折。若这两家旅行社的基本价一 样，你认为陈斌一家选哪家旅行社较合算。 【精析】 要比较两家旅行社收费多少，需设定一个基本价，计算出两家旅行社对陈斌 一家的总收费，然后进行比较。 【解】 设每人的基本价为 a 元. 则春光旅行社的总收费为：2a＋a×50%＝2.5a（元）. 而华夏旅行社的总收费为：3a×80%＝2.4a（元）
免费下载网址ht: jiaoxue5u. ysl168.c0m/ 因为 所以 2.5a>2.4a 因为,陈斌一家选华夏旅行社较合算 例2某中学新建了一栋4层的教学大楼,每层楼有8间教室,进出这栋大楼共有4 道门,其中2道正门大小相同,2道侧门大小也相同。安全检查中,对4道门进行了测试: 当同时开启1道正门和2道侧门时,2分钟可以通过560名学生;当同时开启1道正门和1 道侧门时,4分钟内容可以通过800名学生。检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的 效率将降低20%,安全检查规定,在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过4道安全撤 离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,问:建造的这4道门是否符合安全规定? 试说明理由 【精析】要知道紧急情况下全大楼的学生在5分钟内能否通过这4道安全撤离,首先 我们应求出:正常情况下每道正门和每道侧门通过的人数,然后将紧急情况下出门效率降低 20%后5分钟4道门能通过的总人数与大楼内学生总数进行比较,若前者大于后者,则建造 的4道门符合安全规定,否则建造的4道门就不符合安全规定。 【解】设平均每分钟1道正门可以通过x名学生,1道侧门可以通过y名学生。 2(x+2y)=560 由题意得 4(x+y)=80 解得 因此平均每分钟1道正门可以通过学生120名,1道侧门可以通过学生80名。这栋楼 最多有学生4×8×45=1440名,而拥紧时5分钟四道门能通过学生5×2(120+80)(1-20%) 1600(名) ∴1600>1440 建造的4道门符合安全规定。2 例3用不等式表示下列关系,并写出两个满足各不等式的有理数 (1)x的一半不大于1:(2)y与4的和大于0.5:(3)a为负数:(4)b为非负 数 【精析】列出不等式的关键要读懂题意,并注意一些常用术语如非负数(即≥0),不大 于(即≤),不小于(即≥)等含义,才能正确解答。对于写出两个满足不等式的数,可通 过尝试代入,验证来找。初次接触,这样的做法合情合理,应勇于试验,不怕麻烦。 解压密码联系q119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 址: JIaoxue5 I taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 因为 a＞0， 所以 2.5a＞2.4a. 因为，陈斌一家选华夏旅行社较合算。 例 2 某中学新建了一栋 4 层的教学大楼，每层楼有 8 间教室，进出这栋大楼共有 4 道门，其中 2 道正门大小相同，2 道侧门大小也相同。安全检查中，对 4 道门进行了测试： 当同时开启 1 道正门和 2 道侧门时，2 分钟可以通过 560 名学生；当同时开启 1 道正门和 1 道侧门时，4 分钟内容可以通过 800 名学生。检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的 效率将降低 20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在 5 分钟内通过 4 道安全撤 离。假设这栋教学大楼每间教室最多有 45 名学生，问：建造的这 4 道门是否符合安全规定？ 试说明理由。 【精析】 要知道紧急情况下全大楼的学生在 5 分钟内能否通过这 4 道安全撤离，首先 我们应求出：正常情况下每道正门和每道侧门通过的人数，然后将紧急情况下出门效率降低 20%后 5 分钟 4 道门能通过的总人数与大楼内学生总数进行比较，若前者大于后者，则建造 的 4 道门符合安全规定，否则建造的 4 道门就不符合安全规定。 【解】 设平均每分钟 1 道正门可以通过 x 名学生，1 道侧门可以通过 y 名学生。 由题意得 2( 2 ) 560 4( ) 800 x y x y ìï + = ïï í ï + = ï ïî 解得 120 80 x y ?ï ï í ï = ïî 因此平均每分钟 1 道正门可以通过学生 120 名，1 道侧门可以通过学生 80 名。这栋楼 最多有学生 4×8×45＝1440 名，而拥紧时 5 分钟四道门能通过学生 5×2(120＋80)(1－20%) ＝1600（名）. ∵ 1600＞1440， ∴ 建造的 4 道门符合安全规定。2 例 3 用不等式表示下列关系，并写出两个满足各不等式的有理数。 (1) x 的一半不大于 1； (2) y 与 4 的和大于 0.5；(3) a 为负数；(4) b 为非负 数. 【精析】列出不等式的关键要读懂题意，并注意一些常用术语如非负数（即≥0），不大 于（即≤），不小于（即≥）等含义，才能正确解答。对于写出两个满足不等式的数，可通 过尝试代入，验证来找。初次接触，这样的做法合情合理，应勇于试验，不怕麻烦
免费下载网址ht: jiaoxue5u. ysl168.c0m/ 【全解】(1)x≤1,如x=2,1 (2)y+4>一,如y=0,1 (3)a9x-15 以及方程8x=9x-15由猜测估算求出人数的具体范围,是对不等式的解的概念的丰富与发 展,是一个很好的不等式的应用题。 【解】(1)8x,9x-18 (2)x=18 (3)由8x9x-18及x在10-25之间可知 x在10-18之间,即10≤x<18 解压密码联系q119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 址: JIaoxue5 I taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 【全解】(1) 1 2 x≤1，如 x＝2, 1； (2) y＋4＞ 1 2 ，如 y＝0, 1； (3) a＜0，如 a＝－π, －1； (4) b≥0，如 b＝ 2 , 1 2 . 【说明】判断一些数是否为不等式的解，只要把该数代入不等式，看它是否成立，成立 即为它的解，反之，则不是它的解。 例 4 2004 年国庆长假期间，锡惠公园赏花团体票价可实行两种优惠方案。第一种， 10 人以下给予每位游客八折优惠，第二种方案，10 人以上给予每位游客九折优惠，且其中 2 人可以免票。已知每张门票的价格为 10 元。某班班长小明组织少先队员去参观游玩，人 数估计在 10－25 人之间，聪明的小李提出以下总是，怎样选择优惠方案可使参观费用较少？ 小李是这样思考的：(1) 为计算总费用，须知道人数，但现在人数未确定，可先设参观 游玩的人数为 x，则第一种优惠方案的总费用为 元，第二种优惠方案的总费用 为 元。 (2) 当两种优惠总费用一样时，x＝ 人 (3) 由此可知当人数在 之间时，第一种方案总费用较少，用不等式表示 为 。当人数在 之间时，第二种方案总费用较少，用不等式表示 为 。 【精析】 这是一个现实生活中用不等式知识解决的好素材。符合数学源于生活又服务 于生活的新课程理念。小李的解题思路也符合新课改提倡的“实际问题－建立模型－应用解 释拓展的过程”。由于实际人数未知，通过设元，列出不等式：8x＜9x－15 和 8x＞9x－15 以及方程 8x＝9x－15 由猜测估算求出人数的具体范围，是对不等式的解的概念的丰富与发 展，是一个很好的不等式的应用题。 【解】 (1) 8x, 9x－18； (2) x＝18； (3) 由 8x＜9x－18 及 x 在 10－25 之间可知， x 在 18－25 之间，即 18＜x≤25， 由 8x＞9x－18 及 x 在 10－25 之间可知： x 在 10－18 之间，即 10≤x＜18
免费下载网址ht: jiaoxue5u. ysl168.c0m/ 【说明】不等式的应用在中考中应适当加强,新课程中已明确指出:应加强学生应用数学 解决实际问题能力的考查,要引起足够重视 解压密码联系q119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 址 :Jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 【说明】 不等式的应用在中考中应适当加强，新课程中已明确指出：应加强学生应用数学 解决实际问题能力的考查，要引起足够重视