任意角和弧度制 、教学目标 (一)知识教学点 条直线与另一条直线所成角的概念及其公式,两直线的夹角公式,能熟练运用公式解 (二)能力训练点 通过课题的引入,训练学生由特殊到一般,定性、定量逐层深入研究问题的思想方法 通过公式的推导,培养学生综合运用知识解决问题的能力. (三)学科渗透点 训练学生由特殊到一般,定性、定量逐步深入地研究问题的习惯. 、教材分析 1.重点:前面研究了两条直线平行与垂直,本课时是对两直线相交的情况作 定量的研究.两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到 教学时要讲请11、12的公式的推导方法及这一公式的应用 2,难点:公式的记忆与应用. 3.疑点:推导11、12的角公式时的构图的分类依据 三、活动设计 分析、启发、讲练结合 四、教学过程 )引入新课 我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况,对于两条相交直线,怎样根 据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题 二)11到12的角正切 两条直线11和12相交构成四个角,它们是两对对顶角.为了区别这些角,我 们把直线11依逆时针方向旋转到与12重合时所转的角,叫做11到12的角图1-27 中,直线11到12的角是01,12到11的角是02(01+02=180°) l1到12的角有三个要点:始边、终边和旋转方向
任意角和弧度制 一、教学目标 (一)知识教学点 一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解 题． (二)能力训练点 通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法； 通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力． (三)学科渗透点 训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯． 二、教材分析 1．重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况作 定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到， 教学时要讲请 l1、l2 的公式的推导方法及这一公式的应用． 2，难点：公式的记忆与应用． 3．疑点：推导 l1、l2 的角公式时的构图的分类依据． 三、活动设计 分析、启发、讲练结合． 四、教学过程 (一)引入新课 我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况，对于两条相交直线，怎样根 据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题． (二)l1 到 l2 的角正切 两条直线 l1 和 l2 相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我 们把直线 l1 依逆时针方向旋转到与 l2 重合时所转的角，叫做 l1 到 l2 的角．图 1-27 中，直线 l1 到 l2 的角是θ1，l2 到 l1 的角是θ2(θ1+θ2=180°)． l1 到 l2 的角有三个要点：始边、终边和旋转方向．
现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线11到12的角,设已知直线的方程分 别是 图1-31 11. y=klx+b1 12. y=k2x+b2 如果1+k1k2=0,那么θ=90° 下面研究1+k1k2≠0的情形. 由于直线的方向是由直线的倾角决定的,所以我们从研究0与11和12的倾角的关系 入手考虑问题 设11、12的倾斜角分别是a1和a2(图1-32),甲图的特征是11到12的角是 11、12和x轴围成的三角形的内角;乙图的特征是11到12的角是11、12与x轴 围成的三角形的外角 tg a 1=kl tg a 2=k2 ∵0=a2-a1(图1-32) 或0=π-(a1-a2)=π+(a2-a1), 0=tg(a2-a1) 或tg=tg[π(a2-a1)]=tg(a2-a1) 可得 D868 te a 1+tga atg a tses k-Yy eg \x( 1+k2x2)
现在我们来求斜率分别为 k1、k2 的两条直线 l1 到 l2 的角，设已知直线的方程分 别是 l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2 如果 1+k1k2=0，那么θ=90°， 下面研究 1+k1k2≠0 的情形． 由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究 θ 与 l1 和 l2 的倾角的关系 入手考虑问题． 设 l1、l2 的倾斜角分别是α1 和α2(图 1-32)，甲图的特征是 l1 到 l2 的角是 l1、l2 和 x 轴围成的三角形的内角；乙图的特征是 l1 到 l2 的角是 l1、l2 与 x 轴 围成的三角形的外角． tgα1=k1， tgα2=k2． ∵θ=α2-α1(图 1-32)， 或 θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)， ∴tgθ=tg(α2-α1)． 或 tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1)． 可得 即 eq \x( )
图1-32 上面的关系记忆时,可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆 (三)夹角公式 从一条直线到另一条直线的角,可能不大于直角,也可能大于直角,但我们常常只需要 考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角,简称夹角)就可以了,这时可以用下面 的公式 k,k2 (四)例题 例1求直线1:y=-2x+3;12:y=x-的夹角 解:k1=-2,k2=1 e 1-(-2) +kk21+1·(-2) 0= arct3≈71°34′ 本例题用来熟悉夹角公式 例2已知直线11:A1x+B1y+C1=0和12:A2x+By+C2=0(B1≠0、B≠0 A1A2+B1B2≠0),11到12的角是0,求证: tg 8 A,B2-A2B A, A2 +B,B 证明:设两条直线11、12的斜率分别为k1、k2,则
上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆． (三)夹角公式 从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要 考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角，简称夹角)就可以了，这时可以用下面 的公式 (四)例题 解：k1=-2，k2=1． ∴θ=arctg3≈71°34′． 本例题用来熟悉夹角公式． 例 2 已知直线 l1： A1x+B1y+C1=0 和 l2： A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、 A1A2+B1B2≠0)，l1 到 l2 的角是θ，求证： 证明：设两条直线 l1、l2 的斜率分别为 k1、k2，则
A k2= A k2-k, =1+k1k21+ A B2八B AJA2-A2BI AA2+B,B2 这个例题用来熟悉直线11到12的角 例3等腰三角形一腰所在的直线11的方程是x-2y-2=0,底边所在的直线12 的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在直线13的方程 解:先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰到底的角与底到另 腰的角相等,并且与两腰的顺序无关 设11、12、13的斜率分别是k1、k2、k3,11到12的角是01,12到13的角是 02,则 kI kx2=-1 (-1 日 1+kk 1+(-1) 因为11、12、13所围成的三角形是等腰三角形,所以 01=02 tg62=tg01=-3 1+k2=3 k2+1
这个例题用来熟悉直线 l1 到 l2 的角． 例 3 等腰三角形一腰所在的直线 l1 的方程是 x-2y-2=0，底边所在的直线 l2 的方程是 x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线 l3 的方程． 解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一 腰的角相等，并且与两腰的顺序无关． 设 l1、l2、l3 的斜率分别是 k1、k2、k3，l1 到 l2 的角是θ1，l2 到 l3 的角是 θ2，则 ． 因为 l1、l2、l3 所围成的三角形是等腰三角形，所以 θ1=θ2． tgθ2=tgθ1=-3．
解得k3=2. 因为13经过点(-2,0),斜率为2,写出点斜式为 y=2[x-(-2), 这就是直线13的方程 讲此例题时,一定要说明:无须作图,任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等,要为 锐角都为锐角,要为钝角都为钝角 (五)课后小结 (1)到12的角的概念及11与12夹角的概念 (2)到12的角的正切公式; (3)与12的夹角的正切公式 (4)等腰三角形中,一腰所在直线到底面所在直线的角,等于底边所在直线到 另一腰所在直线的角 五、布置作业 (教材第32页,1.8练习第1题)求下列直线l1到12的角与12到11的角: (1)l1:y=x+2,12:y=3x+7 (2)1:z-y=5,12:z+2y-3=0 解:(l)1=2,k2=3,设1到2的角为1,则 3 1+3· ∵θ1=45° 12到1的角62=T 元3
解得 k3=2． 因为 l3 经过点(-2，0)，斜率为 2，写出点斜式为 y=2[x-(-2)]， 即 2x-y+4=0． 这就是直线 l3 的方程． 讲此例题时，一定要说明：无须作图，任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等，要为 锐角都为锐角，要为钝角都为钝角． (五)课后小结 (1)l1 到 l2 的角的概念及 l1 与 l2 夹角的概念； (2)l1 到 l2 的角的正切公式； (3)l1 与 l2 的夹角的正切公式； (4)等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到 另一腰所在直线的角． 五、布置作业 1．(教材第 32 页，1．8 练习第 1 题)求下列直线 l1 到 l2 的角与 l2 到 l1 的角： ∴θ1=45°．
(2k:=,k2=2,设1到1的角为9,则 k-k 12到11的角02=m-01= arct3 2.(教材第32页,1.8练习第2题)求下列直线的夹角: (1y=3y-1,y=-=z+4 (3)5x-3y=9,6x+10y+7=0. 解:(1)k1=,k2、1 ∵k1·k2=-1, 11与12的夹角是90° (2)k1=1,k2=0 两直线的夹角为45° 5 kk 2 3(引 ∴11与12的夹角是90° 3.(习题三第10题)已知直线1经过点P(2,1),且和直线5x+2y+3=0的夹角 为450,求直线1的方程 解:已知直线的斜率k1=2,设所求直线的斜率为2,依题意有
l2 到 l1 的角θ2=π-θ1=arctg3． 2．(教材第 32 页，1．8 练习第 2 题)求下列直线的夹角： ∵k1·k2=-1， ∴l1 与 l2 的夹角是 90°． (2)k1=1， k2=0． 两直线的夹角为 45°． ∴l1 与 l2 的夹角是 90°． 3．(习题三第 10 题)已知直线 l 经过点 P(2，1)，且和直线 5x+2y+3=0 的夹角 为 45o，求直线 l 的方程．
即 解之右、1必23 所以直线方程为 y-1=-或y-1=(x-2) 即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0 4.等腰三角形一腰所在的直线11的方程是2x-y+4=0,底面所在的直线12的 方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在的直线13的方程 解:这是本课例3将11与13互换的变形题,解法与例3相同,所求方程为: 六、板书设计 §1.10两直线所成的角 1·1到1的角 2.1到1的角的正切公式 例2
即 3x+7y-13=0 或 7x-3y-11=0． 4．等腰三角形一腰所在的直线 l1 的方程是 2x-y+4=0，底面所在的直线 l2 的 方程是 x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在的直线 l3 的方程． 解：这是本课例 3 将 l1 与 l3 互换的变形题，解法与例 3 相同，所求方程为： x-2y-2=0． 六、板书设计