任意角与弧度制 课时分配 第一课 任意角与弧度制1个课时 第二课 弧度制 1个课时 第三课 复习 1个课时 任意角与弧度制 【教学目标】 (1)推广角的概念、引入大于360°角和负角; (2)理解并掌握正角、负角、零角的定义; (3)理解任意角以及象限角的概念; (4)掌握所有与a角终边相同的角(包括a角)的表示方法; 【教学重点难点】 重点:理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法. 难点:终边相同的角的表示 【学前准备】:多媒体,预习例题电脑、三角板 教学课程 第一课 教学环节 导案学案 师生互动随堂测试备注 1角的概念 1.角的定义?角的取值 【0-360°】 范围如何? 从一个点出发, 、复习引 出的两条射线组成的几 (5分钟) 何图形。这种概念的优 点是形象、直观、容易 理解,但它是从图形形
任意角与弧度制 课时分配 第一课 任意角与弧度制 1 个课时 第二课 弧度制 1 个课时 第三课 复习 1 个课时 任意角与弧度制 【教学目标】 （1）推广角的概念、引入大于 360 角和负角； （2）理解并掌握正角、负角、零角的定义； （3）理解任意角以及象限角的概念； (4)掌握所有与 角终边相同的角（包括 角）的表示方法； 【教学重点难点】 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 【学前准备】：多媒体，预习例题 电脑、三角板 教学课程 第一课 教学环节 导案/学案 师生互动//随堂测试 备注 一、复习引入 （5 分钟） 1.角的概念 【0—360°】 1.角的定义？角的取值 范围如何？ 从一个点出发，引 出的两条射线组成的几 何图形。这种概念的优 点是形象、直观、容易 理解，但它是从图形形
状来定义角,因此角的 范围是[0°,360°],这种 定义称为静态定义,其 2.从实际出发,引入几个实例,说明角/弊端在于“狭隘” 生活中很多实例会不 的范围发生了变化。 在该范围[o°,360°] 体操运动员转体 720°,跳水运动员向内、 向外转体1080° 经过1小时,秒针、分 针各转了多少度? 这些例子不仅不 在范围【0°—360°】, 而且方向不同,有必要 将角的概念推广到任意 角,想想用什么办法才 能推广到任意角? 1.角的概念的推广 思考:为了区分形成角 的两种不同的旋转方 旋转”形成角 向,可以作怎样的规 定?如果一条射线没有 作任何旋转,它还形成 个角吗? φ射线OA逆时针旋转到终止位置OB (3).正角和负角是具 有相反意义的旋转量 射线O4,OB分别是角a的始边和是一种规定。零角无正 二.探究新知 边 (25分钟) 突出“旋转”注意:“顶点“始边”“终 边”,旋转的方向和大小 (2).“正角”,“负角”,“0角 正角:按逆时针方向旋转所形成的角,把 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 当一条射线没有做任何旋转,那么这 个叫是零角.记法:”角a“简记成a 如图,以OA为始边的角a=210°,B=-150
2. 从实际出发，引入几个实例，说明角 的范围发生了变化。 状来定义角，因此角的 范围是 ，这种 定义称为静态定义，其 弊端在于“狭隘” 2.生活中很多实例会不 在该范围 体 操 运 动 员 转 体 720º，跳水运动员向内、 向外转体 1080º 经过 1 小时，秒针、分 针各转了多少度？ 这些例子不仅不 在范围【0°—360°】， 而且方向不同，有必要 将角的概念推广到任意 角，想想用什么办法才 能推广到任意角？ 二..探究新知 （25 分钟） 1.角的概念的推广 ⑴ “旋转”形成角 ❖ 射线 OA 逆时针旋转到终止位置 OB ❖ 射线 OA，OB 分别是角 的始边和 终边 突出“旋转” 注意：“顶点“始边”“终 边”，旋转的方向和大小 ⑵．“正角”,“负角”,“0 角” 正角:按逆时针方向旋转所形成的角，把 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 当一条射线没有做任何旋转，那么这 个叫是零角. 记法：”角 “简记成 . 如图，以 OA 为始边的角α=210º，β=-150 思考：为了区分形成角 的 两 种不 同的 旋转 方 向 ， 可以 作怎 样的 规 定？如果一条射线没有 作任何旋转，它还形成 一个角吗？ （3）.正角和负角是具 有相反意义的旋转量， 是一种规定。零角无正 负。 [0 ,360 ] 0 0 [0 ,360 ] 0 0 A B α O
提出问题: (1)在坐标系中,对角 的顶点和始边有什么要 2)对角的终边落在 坐标轴上,则此角不属 于任何一个象限,怎么 理解? (3)分别举出几个第 四象限角 例子 注:任意角:正角,负角,和零角 2.象限角 我们常在直角坐标系内讨论角,并使角的 顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负 半轴重合,那么对一个任意角,角的终边|3.观察分析: 落在哪个象限,就是第几象限角,角的终(1)终边相同的角有 何特点? 边落在坐标轴,则此角不属于任何一个象 (2)尝试表示出与30 结论:象限角只能反映角的终边所在象角相同的角 限,不能反映角的大小 (3)k∈Z,a是任意 小练习 角,终边相同不一定相 在直角坐标系中分别作出下列各角,并等,终边相同的角有无 指出它们是第几象限的角: 数多个,它们相差360 (1)60° (2)-210° 的整数倍 (3)225°: (4)-300° 3.终边相同的角 30°,390°,-330 (1)观察:390,3300的角,它们的终 边都与30°角的终边相同 (2)探究:终边相同的角都可以表示成 个0到360的角与k(k∈2)个周角的
º，γ=660º， 注：任意角：正角，负角，和零角. 2. 象限角 我们常在直角坐标系内讨论角,并使角的 顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负 半轴重合，那么对一个任意角，角的终边 落在哪个象限，就是第几象限角，角的终 边落在坐标轴，则此角不属于任何一个象 限 结论：象限角只能反映角的终边所在象 限，不能反映角的大小. 小练习： 在直角坐标系中分别作出下列各角， 并 指出它们是第几象限的角： ⑴ 60°； ⑵ －210°； ⑶ 225°； ⑷ －300°. 3. 终边相同的角 0 0 0 30 390 -330 ， ， （1）观察： 0 0 390 -330 ， 的角，它们的终 边都与 0 30 角的终边相同. （2）探究：终边相同的角都可以表示成 一个 0 0 到 0 360 的角与 k(k Z) 个周角的 2.提出问题： （1）在坐标系中，对角 的顶点和始边有什么要 求？ （2）对角的终边落在 坐标轴上，则此角不属 于任何一个象限，怎么 理解? （3）分别举出几个第 一，二，三，四象限角 的例子. 3.观察分析： （1）终边相同的角有 何特点？ （2）尝试表示出与 0 30 角相同的角. （3） k Z , 是任意 角，终边相同不一定相 等，终边相同的角有无 数多个，它们相差 0 360 的整数倍。 2100 -1500 6600
和. 390°=30°+360° 30°-360° 0°=30°+0×360° 1470°=30+4×360°(k=4 1770°=30°-5×36 (3)结论:所有与角a终边相同的角, 连同角a在内可以构成一个集合: S=B=a+k·360,k∈Z}(4) 注意以下四点: (1)k∈z (2)a是任意角 (3)k·360与a之间是“+”号, 如k·360°-30°,应看成k.360° (4)终边相同的角不一定相等,但相等的 角,终边一定相同,终边相同的角有无数 多个,它们相差360°的整数倍 1:在0°~360°范围内,找出与-950912角终边相同的角,并判定它是第 几象限角 三巩固练习 (20分钟) 2:写出终边在y轴上的角的集合 任意角的概念 谈收获 正角:射线按逆时针方向旋转所形成的 负角:射线按顺时针方向旋转形成的角
和. 390=30+360 −330=30−360 30=30+0×360 1470=30+4×360 −1770=30−5×360 （3）结论：所有与角 终边相同的角， 连同角 在内可以构成一个集合： S = = + k •360 , k Z 0 （4） 注意以下四点： (1) (2) 是任意角； (3) 与之间是“+”号， 如 -30º，应看成 +(-30º)； (4)终边相同的角不一定相等，但相等的 角，终边一定相同，终边相同的角有无数 多个，它们相差 360º的整数倍 三.巩固练习 （20 分钟） 1：在 0 0 0 ~ 360 范围内，找出与 0 ' - 950 12 角终边相同的角，并判定它是第 几象限角. 2：写出终边在 y 轴上的角的集合. 四．小结 谈收获 任意角的概念 (k = 1) (k = −1) (k = 0) (k = 4) (k = −5) k Z 0 k 3600 k 360 0 k 360 正角：射线按逆时针方向旋转所形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角
2象限角 a.置角的顶点于原点 b.始边重合于X轴的非负半轴 c.终边落在第几象限就是第几 3终边与角a相同的角 a+K×360°,KEZ 五布置作业 完成课后习题 教学反思 弧度制 教学目标】 1.理解1弧度的角、弧度制的定义。 2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算。 3.熟记特殊角的弧度数 【教学重难点】 教学重点:弧度制的概念,弧度制与角度制的互化: 教学难点:弧度制概念的建立与理解 【学前准备】多媒体,预习例题 教学课程 第一课 币生互动∥随堂测 教学环节 导案学案 1.有一个扇形的篱笆,半径为3m,圆心角为 135°,则篱笆的弧长和面积分别是多少? 、复习引2有一个扇形的篱笆,若已知其周长为10m (5分钟)/求扇形的面积最大时圆心角的大小? 探究新知1在角度制下,扇形的弧长公式l="看上 (25分钟) 180 去有点繁琐,能不能想办法简化?
2.象限角 3.终边与角 α 相同的角 α+K×360°，KϵZ 五.布置作业 完成课后习题 六．教学反思 弧度制 【教学目标】 1．理解 1 弧度的角、弧度制的定义。 2．掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算。 3．熟记特殊角的弧度数 【教学重难点】 教学重点：弧度制的概念，弧度制与角度制的互化； 教学难点：弧度制概念的建立与理解． 【学前准备】：多媒体，预习例题 教学课程 第一课 教学环节 导案/学案 师生互动//随堂测 试 备注 一、复习引入 （5 分钟） 1. 有一个扇形的篱笆，半径为 3m，圆心角为 135°，则篱笆的弧长和面积分别是多少？ 2. 有一个扇形的篱笆，若已知其周长为 10m， 求扇形的面积最大时圆心角的大小？ 二..探究新知 （25 分钟） 1.在角度制下，扇形的弧长公式 180 n R l = 看上 去有点繁琐，能不能想办法简化？ a. 置角的顶点于原点 b. 始边重合于 X 轴的非负半轴 c. 终边落在第几象限就是第几 象限
形成概念,构建知识 2.这样我们就有180=丌,依次类推 丌 360=2x,90=,60 z,…,我们发现了衡量 2 角度大小的另一种单位.那么这种度量角的公 式是怎么样的? R 3.这样定义合理吗,这个角会不会随着圆的半 径变化而变化呢? 数形结合 R 即P·同时会思考,这样一个定义的合理 性,对于这个问题,通过代数上的公式变形及 几何上的相似比的显示,都可以验证定理的合 理性 那么1弧度的角是怎样定义的呢?它有什么 特殊含义? 1=R 若R=1,即单位圆的圆心角的弧度数跟弧长 月丌R 045359m8类比 180 9m2=m 1 即04535磅=1kg G 180 l=n,R 有什么关系?
形成概念，构建知识 2. 这 样 我 们 就 有 180 = ，依次类推 360 =2 90 = 60 = 2 3 ， ， ， ，我们发现了衡量 角度大小的另一种单位．那么这种度量角的公 式是怎么样的？ 3. 这样定义合理吗，这个角会不会随着圆的半 径变化而变化呢？ 4、 即 1 l n R = ．同时会思考，这样一个定义的合理 性，对于这个问题，通过代数上的公式变形及 几何上的相似比的显示，都可以验证定理的合 理性． 那么 1 弧度的角是怎样定义的呢？它有什么 特殊含义？ 若 R =1 ，即单位圆的圆心角的弧度数跟弧长 有什么关系？
1把67°30化成弧度 解:6730=67 ∴6730=md×6713 180 2把mad化成度 解:二m 3 三巩固练习 3用弧度制表示: (20分钟) 1终边在x轴上的角的集合 2终边在y轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 解:1终边在x轴上的角的集合S1={B|B=kx,k∈2} 2终边在y轴上的角的集合S2={B1B=kx+,k∈z 3终边在坐标轴上的角的集合S={B1B=kx,k∈ 1.弧度制定义 四.小结 谈收获 2.与弧度制的互化 3.特殊角的弧度数 完成课后习题 1.下列各对角中终边相同的角是() A.和-+2kr(k∈Z) B.-x和22 7 和 11丌 五布置作业/D.20r122x 2.若a=-3,则角a的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若a是第四象限角,则x一a一定在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
三.巩固练习 （20 分钟） 1 把 67 30' 化成弧度 解： = 2 1 67 30' 67 ∴ rad rad 8 3 2 1 67 180 67 30' = = 2 把 rad 5 3 化成度 解： 180 108 5 3 5 3 rad = = 3 用弧度制表示： 1 终边在 x 轴上的角的集合 2 终边在 y 轴上的角的集合 3 终边在坐标轴上的角的集合 解：1 终边在 x 轴上的角的集合 S1 = | = k,k Z 2 终边在 y 轴上的角的集合 S = = k + , k Z 2 | 2 3 终边在坐标轴上的角的集合 = = k Z k S , 2 | 3 四．小结 谈收获 1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 3．特殊角的弧度数 五.布置作业 完成课后习题 1．下列各对角中终边相同的角是（ ） A． 2k 2 2 和− + （ｋ∈Ｚ） B．－ 3 和 3 22 π C ． － 9 7 和 9 11 D． 9 122 3 20 和 2．若α＝－3，则角α的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若α是第四象限角，则π－α一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D.第四象限 (用弧度制表示)第一象限角的集合为,第一或第 三象限角的集合为 5.7弧度的角在第象限,与7弧度角终边相同的最小正 角为 6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长,则其圆心角的 弧度数为 7.求值:sn-tan+ tan-cos- tan-coS 8.已知集合A={a|2k丌≤a≤丌+2kx,k∈Z},B ={a|-4≤a≤4},求A∩B. 9.现在时针和分针都指向12点,试用弧度制表示15分钟后, 时针和分针的夹角 参考答案 4.t aI 2k<a<2+2K I, keZ z Ik<a<=+ k丌,k∈Z 7-2x6.√37.2 8.AnB={a|-4≤a≤-或0≤a≤丌 11丌 六.教学反思 教学课程 第一课 教学环节 导案学案 师生互动随堂测试备注 复习引 (5分钟)
D．第四象限 4．(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第 三象限角的集合为 。 5．7 弧度的角在第 象限，与 7 弧度角终边相同的最小正 角为 。 6．圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的 弧度数为 。 7．求值： 2 cos 4 tan 6 cos 6 tan 3 tan 3 sin + − 。 8．已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求 A∩B． 9．现在时针和分针都指向 12 点，试用弧度制表示 15 分钟后， 时针和分针的夹角。 参考答案： 1．C 2．C 3．C 4．｛α｜2kπ＜α＜ 2 ＋2kπ，k∈Z } ｛α｜kπ＜α＜ 2 ＋kπ，k∈Z｝ 5．一 7－2π 6． 3 7．2 8．A∩B＝｛α｜－4≤α≤－π或 0≤α≤π｝ 9． 24 11 六．教学反思 教学课程 第一课 教学环节 导案/学案 师生互动//随堂测试 备注 一、复习引入 （5 分钟）
探究新知 (25分钟) 三巩固练习 (20分钟) 谈收获 五布置作业 完成课后习题
二..探究新知 （25 分钟） 三.巩固练习 （20 分钟） 四．小结 谈收获 五.布置作业 完成课后习题 六．教学反思