1.1《任意角和弧度制》教案 【教学目标】 1.理解任意角的概念 2.学会建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角,掌握终边相同角的集合的书写 3.了解弧度制,能进行弧度与角度的换算. 4.认识弧长公式,能进行简单应用.对弧长公式只要求了解,会进行简单应用,不必在应用 方面加深 5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系,培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 【导入新课】 复习初中学习过的知识:角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出问题 1.初中所学角的概念 2.实际生活中出现一系列关于角的问题 3.初中的角是如何度量的?度量单位是什么? 4.1°的角是如何定义的?弧长公式是什么? 5.角的范围是什么?如何分类的? 新授课阶段 一、角的定义与范围的扩大 1.角的定义:一条射线绕着它的端点O,从起始位置O4旋转到终止位置OB,形成 一个角a,点O是角的顶点,射线OA,OB分别是角a的终边、始边 说明:在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记为α 2.角的分类 正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角 负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角 说明:零角的始边和终边重合 3.象限角:
1 1.1 《任意角和弧度制》教案 【教学目标】 1.理解任意角的概念. 2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写. 3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. 4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用 方面加深. 5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 【导入新课】 复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出问题： 1．初中所学角的概念. 2．实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？ 4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？ 5.角的范围是什么？如何分类的？ 新授课 阶段 一、角的定义与范围的扩大 1．角的定义：一条射线绕着它的端点 O ，从起始位置 OA 旋转到终止位置 OB ，形成 一个角 ，点 O 是角的顶点，射线 OA OB , 分别是角 的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角 ”或“ ”可以简记为 ． 2．角的分类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：
在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负轴重合,则 (1)象限角:若角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例如:30,390°,-30°都是第一象限角;300°,-60是第四象限角 (2)非象限角(也称象限间角、轴线角):如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属 于任何象限.例如:90,180°,270°等等. 说明:角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.因为 轴的正半轴不包括原点,就不完全包括角的始边,角的始边是以角的顶点为其端点的 射线 4.终边相同的角的集合:由特殊角30看出:所有与30°角终边相同的角,连同30角 自身在内,都可以写成30+k360(k∈2)的形式;反之,所有形如 30+k360(k∈Z)的角都与30角的终边相同从而得出一般规律: 所有与角a终边相同的角,连同角a在内,可构成一个集合 S={B|B=a+k360,k∈2}, 即:任一与角a终边相同的角,都可以表示成角a与整数个周角的和 说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同 例1在0与360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角? (1)-120°;(2)640°;(3)-95012′ 解:(1)-120=240-360, 所以,与-120角终边相同的角是240,它是第三象限角: (2)640=280°+360, 所以,与640°角终边相同的角是280°角,它是第四象限角 (3)-95012′=12948′-3×360°, 2
2 在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如： 30 ,390 , 330 − 都是第一象限角； 300 , 60 − 是第四象限角. （2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属 于任何象限.例如： 90 ,180 ,270 等等. 说明：角的始边“与 x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与 x 轴的正半轴重合”.因为 x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的 射线. 4．终边相同的角的集合：由特殊角 30 看出：所有与 30 角终边相同的角，连同 30 角 自 身 在 内 ， 都 可 以 写 成 30 360 + k (k Z ) 的 形 式 ； 反 之 ， 所 有 形 如 30 360 + k (k Z ) 的角都与 30 角的终边相同.从而得出一般规律： 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S k k Z = = + | 360 , ， 即：任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同. 例 1 在 0 与 360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1） −120 ；（2） 640 ；（3） −950 12 . 解：（1） − = − 120 240 360 ， 所以，与 −120 角终边相同的角是 240 ，它是第三象限角； （2） 640 280 360 = + ， 所以，与 640 角终边相同的角是 280 角，它是第四象限角； （3） − = − 950 12 129 48 3 360
所以,-95012′角终边相同的角是12948′角,它是第二象限角 例2若a=k·360-1575,k∈Z,试判断角a所在象限 解:∵a=k·360-1575=(k-5)360+225,(k-5)∈Z ∴与225终边相同,所以,a在第三象限 例3写出下列各边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360≤B≤720的元素B 写出来:(1)60;(2)-21;(3)36314′ 解:(1)S={B1B=60+k360,k∈2} S中适合-360≤B≤720的元素是 60-1×360=-300, 60+0×360=60°, 60+1×360=420 (2)S={B|B=21+k360,k∈2} S中适合-360≤B≤720的元素是 21+0×360=-21, 21+1×360=339, -21+2×260°=699 (3)S={B|B=36314+k·360,k∈2} S中适合-360≤B≤720的元素是 36314′-2×360=-35646′ 36314-1×360°=314 36314′+0×360°=36314′ 例4写出第一象限角的集合M 分析:(1)在360内第一象限角可表示为0<a<90° (2)与0,90终边相同的角分别为0+k360,90+k.360°,(k∈Z); (3)第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合,我们表示为 M={B1k360<B<90+k360,k∈2
3 所以， −950 12 角终边相同的角是 129 48 角，它是第二象限角. 例 2 若 = − k k Z 360 1575 , ，试判断角 所在象限. 解：∵ = − = − + k k 360 1575 ( 5) 360 225 , ( 5) k Z − ∴ 与 225 终边相同， 所以， 在第三象限. 例3 写出下列各边相同的角的集合 S ，并把 S 中适合不等式 − 360 720 的元素 写出来：（1） 60 ；（2） −21 ；（3） 363 14 ． 解：（1） S k k Z = = + | 60 360 , ， S 中适合 − 360 720 的元素是 60 1 360 300 , 60 0 360 60 , 60 1 360 420 . − = − + = + = （2） S k k Z = = − + | 21 360 , ， S 中适合 − 360 720 的元素是 21 0 360 21 , 21 1 360 339 , 21 2 260 699 − + = − − + = − + = （3） S k k Z = = + | 363 14 360 , S 中适合 − 360 720 的元素是 363 14 2 360 356 46 , 363 14 1 360 3 14 , 363 14 0 360 363 14 . − = − − = + = 例 4 写出第一象限角的集合 M ． 分析：（1）在 360 内第一象限角可表示为 0 90 ； （2）与 0 ,90 终边相同的角分别为 0 360 ,90 360 ,( ) + + k k k Z ； （3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为： M k k k Z = + | 360 90 360 , ．
学生讨论,归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法 P={190+k360<B<180+k360,k∈2} N={B190+k·360<B4180+k360,k∈2} Q={B1270+k360<B<360+k360,e2} 说明:区间角的集合的表示不唯 例5写出y=±x(x≥0)所夹区域内的角的集合 解:当a终边落在y=x(x20)上时,角的集合为{a1=45+k360,k∈2} 当a终边落在y=-x(x20)上时,角的集合为{a1a=-45+k360,∈2} 所以,按逆时针方向旋转有集合:S={(a|-45+k360<a<45+k·360,k∈ 二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的换算: 2π(rad), ∴180°=πrad l87ad≈001745rad (180=57 R Ir 7.30=5718 2.弧长公式:|=r(a 由公式:l=→l=rla 比公式l 180 弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积 3.扇形面积公式S=R,其中1是扇形弧长,R是圆的半径 注意几点 1.今后在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略,如:3表示3rad sinπ表示πrad角的正弦 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住: 角度0 45° 180° 弧度 角度210°|225°240°270°300°315°330°360°
4 学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法： P k k k Z = + + | 90 360 180 360 , ； N k k k Z = + + | 90 360 180 360 , ； Q k k k Z = + + | 270 360 360 360 , ． 说明：区间角的集合的表示不唯一. 例 5 写出 y x x = ( 0) 所夹区域内的角的集合. 解：当 终边落在 y x x = ( 0) 上时，角的集合为 | 45 360 , = + k k Z ； 当 终边落在 y x x = − ( 0) 上时，角的集合为 | 45 360 , = − + k k Z ； 所以，按逆时针方向旋转有集合： S k k k Z = − + + | 45 360 45 360 , ． 二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的换算： ∵360=2（rad）， ∴180= rad. ∴ 1= 0.01745 . 180 rad rad 180 1 57.30 57 18'. rad = = 2．弧长公式： l = r . 由公式： = r l l = r . 比公式 180 n r l = 简单. 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 3．扇形面积公式 S lR 2 1 = ，其中 l 是扇形弧长， R 是圆的半径. 注意几点： 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略，如：3 表示 3rad ， sin表示rad 角的正弦； 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° o R S l
弧度 3.应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合 与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 正零负 实数 任意角的集合实数集R 例6把下列各角从度化为弧度: (1)252;(2)1115;(3)30°;(4)67030 解:(1)7 丌(2)0.0625x(3) 0.375丌 变式练习:把下列各角从度化为弧度: (1)22°30′;(2)-210°;(3)1200° 解:(1)丌:(2)、1x:(3)2丌 例7把下列各角从弧度化为度 (1)3z;(2)3.5;(3)2:(4)z 解:(1)108°:(2)200.5°;(3)114.6°;(4)45° 变式练习:把下列各角从弧度化为度: (1);2)-x (3) 3 10 解:(1)15°;(2)-240°;(3)54° 例8知扇形的周长为8cm,圆心角a为2rad,求该扇形的面积 解:因为2R+2R=8,所以R=2,S=4 课堂小结 1.弧度制的定义; 弧度制与角度制的转换与区别; 3.牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用
5 弧度 3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合 与实数的集合之间建立一种一一对应的关系. 任意角的集合 实数集 R 例 6 把下列各角从度化为弧度： (1) 252 ；（2） 0 / 11 15 ；(3) 0 30 ；(4) 6730' . 解：(1) 5 7 （2） 0.0625 (3) 6 1 (4) 0.375 变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22º30′；（2）-210º；(3)1200º. 解：(1) 8 1 ；（2） 6 7 − ；(3) 3 20 . 例 7 把下列各角从弧度化为度： （1） 3 5 ；(2) 3.5；(3) 2；(4) 4 . 解：（1）108 º；(2)200.5º；(3)114.6º；(4)45º. 变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1） 12 ；（2）- 3 4 ；（3） 10 3 . 解：（1）15 º；（2）-240º；（3）54º. 例 8 知扇形的周长为 8 cm，圆心角 为 2rad，，求该扇形的面积. 解：因为 2R+2R=8,所以 R=2,S=4. 课堂小结 1．弧度制的定义； 2．弧度制与角度制的转换与区别； 3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用； 正角 零角 负角 正实数 零 负实数
4.象限角与相衔接集奧的写法,终边相同的角的写法 作业习题A组135 见《同步练习》 拓展提升 1.若时针走过2小时40分,则分针走过的角是多少? 下列命题正确的是 (A)终边相同的角一定相等 (B)第一象限的角都是锐角 (C)锐角都是第一象限的角. (D)小于90°的角都是锐角 3.若a是第一象限的角,则a是第 象限角 4.一角为30,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为 5.集合M={a=k·90°,k∈公}中,各角的终边都在() A.x轴正半轴上, B.y轴正半轴上 x轴或y轴上 x轴正半轴或轴正半轴上 6设E={小于90°的角}F={锐角},G={第一象限的角}, M-小于9但不小于的角,那么有( A. FGE E.FBGC.M(E∩G )D.G∩M=F 设4-p-+k360+45,k∈Z,B-p+k30+22∈z a|a=k180°+45°.k∈Z) D={a|=k:360-135,k∈z E-{ak=k:360·+45或a=k360°+225,k∈z 则相等的角集合为 8.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=3:5:7,求A,B,C弧度数 9.直径为20cm的滑轮,每秒钟旋转45°,则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少?
6 4．象限角与相衔接集奥的写法，终边相同的角的写法. 作业 习题 A 组 1 3 5 见《同步练习》 拓展提升 1. 若时针走过 2 小时 40 分，则分针走过的角是多少？ 2. 下列命题正确的是： （ ） （A）终边相同的角一定相等. （B）第一象限的角都是锐角. （C）锐角都是第一象限的角. （D）小于 0 90 的角都是锐角. 3. 若 a 是第一象限的角，则 2 a − 是第 象限角. 4.一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _． 5.集合 M＝{α=k o 90 ，k∈Z}中，各角的终边都在（ ） A． 轴正半轴上， B． 轴正半轴上， C． 轴或 轴上， D． 轴正半轴或 轴正半轴上 6.设 E = {小于90o的角｝ F = {锐角｝，G＝{第一象限的角｝， ，那么有（ ）． A． B． C． （ ） D． 7.设 ， ， C＝{α|α= k180 o +45o ,k∈Z} ， ， . 则相等的角集合为_ _． 8．在 ABC 中，若 = A B C : : 3:5:7 ，求 A，B，C 弧度数. 9．直径为 20cm 的滑轮，每秒钟旋转 45 ，则滑轮上一点经过 5 秒钟转过的弧长是多少？
10.选做题 如图,扇形OAB的面积是4cm2,它的周长是8cm,求扇形的中心角及弦AB的长 11.在0~360间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角 (1)-120°;(2)660°;(3)-950°08
7 O A B 10．选做题 如图，扇形 OAB 的面积是 2 4cm ，它的周长是 8cm ，求扇形的中心角及弦 AB 的长. 11．在 ～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角： （1） ；（2） ；（3） ．
参考答案 1.解:2小时40分=8小时,:-180×8=480.故分针走过的角为480 2.C3.一或三4.11105.c 6.C 7. B=D, C=E 7丌 8.答案:A=一;B=;C 10.答案:a=2,AB=4sn1 110解:(1)∵-120°=240°-360° 与-120°角终边相同的角是240°角,它是第三象限的角; (2)∵660°=300°+360° ∴与660终边相同的角是300,它是第四象限的角 (3)-950°08=12952-3×360° 所以与-95008角终边相同的角是12952,它是第二象限角
8 参考答案 1. 解：2 小时 40 分= 3 8 小时， 480 3 8 −180' = − .故分针走过的角为 480. . 2. C 3. 一或三 4. 5. C 6.C 7. B＝D，C＝E 8．答案：A= 5 ；B= 3 ；C= 15 7 9．答案： 2 25 10．答案： = 2, AB = 4sin 1 11.解：（1）∵ ， ∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角； （2）∵ ， ∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角； （3） ， 所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角．