1.2.1.任意角的三角函数(二) 【学习目标]1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义,能用三角函 数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 问题导学 知识点一.三角函数的定义域 思考.正切函数y=tanx为什么规定x∈R且x≠kx+。,k∈Z? 答案当x=kπ+,k∈z时,角x的终边在y轴上,此时任取终边上一点P0,y),因为 无意义,因而x的正切值不存在所以对正切函数y=tanx,必须要求x∈R且x≠kx+ k∈Z 梳理.正弦函数y=sinx的定义域是R:余弦函数y=cosx的定义域是R:正切函数y=tan 的定义域是{xx∈R且x≠kI+一,k∈Z 知识点二.三角函数线 思考1.在平面直角坐标系中,任意角a的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴,过点 A(1,0)作单位圆的切线,交a的终边或其反向延长线于点T,如图所示,结合三角函数的定 义,你能得到sina,cosa,tana与M,OM,AT的关系吗? 的 A(1,0) 答案.sina=M,cosa=OM,tana=AT. 思考2.三角函数线的方向是如何规定的? 答案.方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值,反之,为负值 思考3.三角函数线的长度和方向各表示什么? 答案.长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负 梳理
... ... 1.2.1.任意角的三角函数(二) 学习目标 .1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函 数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 知识点一.三角函数的定义域 思考.正切函数 y＝tan x 为什么规定 x∈R 且 x≠kπ＋ π 2 ，k∈Z? 答案.当 x＝kπ＋ π 2 ，k∈Z 时，角 x 的终边在 y 轴上，此时任取终边上一点 P(0，yP)，因为 yP 0 无意义，因而 x 的正切值不存在.所以对正切函数 y＝tan x，必须要求 x∈R 且 x≠kπ＋ π 2 ，k∈Z. 梳理.正弦函数 y＝sin x 的定义域是 R；余弦函数 y＝cos x 的定义域是 R；正切函数 y＝tan x 的定义域是{x|x∈R 且 x≠kπ＋ π 2 ，k∈Z}. 知识点二.三角函数线 思考 1.在平面直角坐标系中，任意角 α 的终边与单位圆交于点 P，过点 P 作 PM⊥x 轴，过点 A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定 义，你能得到 sin α，cos α，tan α 与 MP，OM，AT 的关系吗？ 答案. sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT. 思考 2.三角函数线的方向是如何规定的？ 答案. 方向与 x 轴或 y 轴的正方向一致的为正值，反之，为负值. 思考 3.三角函数线的长度和方向各表示什么？ 答案. 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负. 梳理
的终边,y A(1,0) 图示 A(1,0) a的终边 a的终边 角a的终边与单位圆交于点P,过点P作PM垂直于x轴,有向 正弦线 线段M即为正弦线 余弦线有向线段OM即为余弦线 「过点A(,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,设它与 正切线 a的终边或其反向延长线相交于点7,有向线段A7即为正切线 题型探究 类型一.三角函数线 例1.作出一的正弦线、余弦线和正切线 解.如图所示, 5 5π 反思与感悟.(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作 轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线 (2)作正切线时,应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T
... ... 图示 正弦线 角 α 的终边与单位圆交于点 P，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，有向 线段 MP 即为正弦线 余弦线 有向线段 OM 即为余弦线 正切线 过点 A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于 y 轴，设它与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T，有向线段 AT 即为正切线 类型一.三角函数线 例 1.作出－5π 8 的正弦线、余弦线和正切线. 解.如图所示， sin － 5π 8 ＝MP， cos － 5π 8 ＝OM， tan － 5π 8 ＝AT. 反思与感悟.(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点 A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点 T
即可得到正切线AT 跟踪训练1.在单位圆中画出满足sina=。的角a的终边,并求角a的取值集合 解已知角的正弦值,可知2则P点级坐标为所以在y轴上取点(Q,过这点 作x轴的平行线,交单位圆于B,P两点,则mB,OP是角a的终边,因而角a的取值集 5 合为{a|a=2kx+或a=2k36k∈Z 类型二.利用三角函数线比较大小 例2利用三角函数线比较sin2互和4 2 21 5c0s和c5tan2。和tan5的大小 解.如图,sin om, ta ta 显然|M>MP|,符号皆正, 2 ∴ 4 cM|oMr|,符号皆负,∴cos3)co5 An>Ar|,符号皆负,∴tan="<tan- 反思与感悟.利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:(1)角的位置要“对号 入座”:(2)比较三角函数线的长度;(3)确定有向线段的正负 跟踪训练2.比较sin1155°与sin(-1654°)的大小 解.sin1155°=sin(3×360°+75°)=sin75° sin(-1654°)=sin(-5×360°+146°)=sin14 如图,在单位圆中,分别作出sin75°和sin146°的正弦线MB,MB
... ... 即可得到正切线 AT. 跟踪训练 1.在单位圆中画出满足 sin α＝ 1 2 的角 α 的终边，并求角 α 的取值集合. 解.已知角 α 的正弦值，可知 MP＝ 1 2 ，则 P 点纵坐标为1 2 .所以在 y 轴上取点 0， 1 2 ，过这点 作 x 轴的平行线，交单位圆于 P1，P2 两点，则 OP1，OP2 是角 α 的终边，因而角 α 的取值集 合为{α|α＝2kπ＋ π 6 或 α＝2kπ＋ 5π 6 ，k∈Z}. 类型二.利用三角函数线比较大小 例 2.利用三角函数线比较 sin 2π 3 和 sin 4π 5 ，cos 2π 3 和 cos 4π 5 ，tan 2π 3 和 tan 4π 5 的大小. 解.如图，sin 2π 3 ＝MP，cos 2π 3 ＝OM，tan 2π 3 ＝AT，sin 4π 5 ＝M′P′，cos 4π 5 ＝OM′， tan 4π 5 ＝AT′. 显然|MP|>|M′P′|，符号皆正， ∴sin 2π 3 >sin 4π 5 ； |OM|cos 4π 5 ； |AT|>|AT′|，符号皆负，∴tan 2π 3 <tan 4π 5 . 反思与感悟.利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号 入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负. 跟踪训练 2.比较 sin 1 155°与 sin(－1 654°)的大小. 解.sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°， sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°. 如图，在单位圆中，分别作出 sin 75°和 sin 146°的正弦线 M1P1，M2P2
∵MP>属P2,且符号皆正 sin1155°>sin(-1654°) 类型三.利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1.利用三角函数线解不等式(组) 例3.在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围,并由此写出角a的集合 (2)cosa≤ 解.(1)作直线y=y交单位圆于A,B两点,连接O,B,则与OB围成的区域(如图(1) 所示的阴影部分,包括边界),即为角a的终边的范围 故满足要求的角a的集合为{a|2k+。≤a≤2kI+=。,k∈Z)} (2)作直线x=一交单位圆于C,D两点,连接OC与OD,则OC与OD围成的区域(如图(2)所 示的阴影部分,包括边界),即为角a的终边的范围 故满足条件的角a的集合为{a|2kx+=≤a≤2k+-。,k∈Z} 反思与感悟.用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式,应注意以下两点 (1)先找到“正值”区间,即0~2π内满足条件的角θ的范围,然后再加上周期 (2)注意区间是开区间还是闭区间. 跟踪训练3.已知一≤c0s0<,利用单位圆中的三角函数线,确定角的取值范围 解.图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围,即 2 0|2k一5≤0<2k-。或2kI+<0≤2km+5π,k∈Z 命题角度2.利用三角函数线求三角函数的定义域 例4.求下列函数的定义域
... ... ∵M1P1>M2P2，且符号皆正， ∴sin 1 155°>sin(－1 654°). 类型三.利用三角函数线解不等式(组) 命题角度 1.利用三角函数线解不等式(组) 例 3.在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围，并由此写出角 α 的集合. (1)sin α≥ 3 2 ；.(2)cos α≤－ 1 2 . 解.(1)作直线 y＝ 3 2 交单位圆于 A，B 两点，连接 OA，OB，则 OA 与 OB 围成的区域(如图(1) 所示的阴影部分，包括边界)，即为角 α 的终边的范围. 故满足要求的角 α 的集合为{α|2kπ＋ π 3 ≤α≤2kπ＋ 2π 3 ，k∈Z}. (2)作直线 x＝－ 1 2 交单位圆于 C，D 两点，连接 OC 与 OD，则 OC 与 OD 围成的区域(如图(2)所 示的阴影部分，包括边界)，即为角 α 的终边的范围. 故满足条件的角 α 的集合为{α|2kπ＋ 2π 3 ≤α≤2kπ＋ 4π 3 ，k∈Z}. 反思与感悟.用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即 0～2π 内满足条件的角 θ 的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间. 跟踪训练 3.已知－1 2 ≤cos θ< 3 2 ，利用单位圆中的三角函数线，确定角 θ 的取值范围. 解.图中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围，即 {θ|2kπ－ 2 3 π≤θ<2kπ－ π 6 或 2kπ＋ π 6 <θ≤2kπ＋ 2 3 π，k∈Z}. 命题角度 2.利用三角函数线求三角函数的定义域 例 4.求下列函数的定义域
(1)y=v2sin x-\3 2)y=1(simx-￥2+√-20s5元 解(1)自变量x应满足2sinx-V≥0, 即sinx≥ 3 图中阴影部分就是满足条件的角x的范围,即{x|2k+ ≤2k+一,k∈Z 是多 「1-2cosx≥0 (2)由题意知,自变量x应满足不等式组 sin x->0 cosx≤ sIn 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示 {x2k+≤x2k+ 反思与感悟.(1)求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解 不等式或不等式组求得,对于三角函数的定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限 (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以取特殊值把不固 定的集合写成若干个固定集合再求交集 跟踪训练4.求函数f()= /2sin x-1的定义域
... ... (1)y＝ 2sin x－ 3； (2)y＝lg(sin x－ 2 2 )＋ 1－2cos x. 解.(1)自变量 x 应满足 2sin x－ 3≥0， 即 sin x≥ 3 2 . 图中阴影部分就是满足条件的角 x 的范围，即{x|2kπ＋ π 3 ≤x≤2kπ＋ 2π 3 ，k∈Z}. (2)由题意知，自变量 x 应满足不等式组 1－2cos x≥0， sin x－ 2 2 >0， 即 cos x≤ 1 2 ， sin x> 2 2 . 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴{x|2kπ＋ π 3 ≤x<2kπ＋ 3π 4 ，k∈Z}. 反思与感悟.(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解 不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限 制. (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固 定的集合写成若干个固定集合再求交集. 跟踪训练 4.求函数 f(x)＝ 2sin x－1的定义域
解.要使函数f(x)有意义,必须使2sinx-1≥0, 如图,画出单位圆,作x轴的平行直线y=, 角的终边 交单位圆于点B,B,连接OB,OBP 分别过点B,B作x轴的垂线,画出如图所示的两条正弦线 易知这两条正弦线的长度都等于 在[0,2x)内,sin6=sin6=2 因为sinx≥2,所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界) 所以函数r()的定义域为{x+2k≤5项+2km,k∈2 3当堂训练 1.下列四个命题中: ①当a一定时,单位圆中的正弦线一定 ②在单位圆中,有相同正弦线的角相等 ③a和a+π有相同的正切线 ④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上 则错误命题的个数是() A.0B.1C.2D.3 答案 解析.由三角函数线的定义知①③④正确,②不正确. 2.如图在单位圆中,角a的正弦线、正切线完全正确的是() A.正弦线为PM,正切线为AT
... ... 解.要使函数 f(x)有意义，必须使 2sin x－1≥0， 则 sin x≥ 1 2 . 如图，画出单位圆，作 x 轴的平行直线 y＝ 1 2 ， 交单位圆于点 P1，P2，连接 OP1，OP2， 分别过点 P1，P2 作 x 轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线， 易知这两条正弦线的长度都等于1 2 . 在[0,2π)内，sin π 6 ＝sin 5π 6 ＝ 1 2 . 因为 sin x≥ 1 2 ，所以满足条件的角 x 的终边在图中阴影部分内(包括边界)， 所以函数 f(x)的定义域为{x| π 6 ＋2kπ≤x≤ 5π 6 ＋2kπ，k∈Z}. 1.下列四个命题中： ①当 α 一定时 ，单位圆中的正弦线一定； ②在单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α 和 α＋π 有相同的正切线； ④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上. 则错误命题的个数是(..) A.0 B.1 C.2 D.3 答案.B 解析.由三角函数线的定义知①③④正确，②不正确. 2.如图在单位圆中，角 α 的正弦线、正切线完全正确的是(..) A.正弦线为 PM，正切线为 A′T′
B.正弦线为M,正切线为A′T C.正弦线为M,正切线为AT D.正弦线为PM,正切线为AT 答案.C 2 3设a=sin2,b=co57 则(.) A ak-2:(2)tana≤ √3 解(1)(a12kx-3x 3丌 <a<2k+ <a≤kπ+ 6’h∈z
... ... B.正弦线为 MP，正切线为 A′T′ C.正弦线为 MP，正切线为 AT D.正弦线为 PM，正切线为 AT 答案.C 3.设 a＝sin 2π 7 ，b＝cos 2π 7 ，c＝tan 2π 7 ，则(..) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 答案.D 解析.∵ π 4 < 2π 7 < π 2 ，作 2π 7 的三角函数线，则 sin 2π 7 ＝MP，cos 2π 7 ＝OM，tan 2π 7 ＝AT， ∴OM<MP<AT， ∴b<a<c，故选 D. 4.函数 y＝ 2cos x－1的定义域为 . 答案. － π 3 ＋2kπ， π 3 ＋2kπ ，k∈Z 5.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角 α 的区域，并写出角 α 的集合： (1)cos α＞－ 2 2 ；(2)tan α≤ 3 3 ；(3)|sin α|≤1 2 . 解.(1){α|2kπ－ 3π 4 ＜α＜2kπ＋ 3π 4 ，k∈Z}. (2){α|kπ－ π 2 <α≤kπ＋ π 6 ，k∈Z}
(3)|sina|≤, In ≤kπ+,k∈Z 规律与方法 1.三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值,三角函数线 的长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负.具体地说,正弦线、正切线 的方向同y轴一致,向上为正,向下为负:余弦线的方向同x轴一致,向右为正,向左为负 三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来,使得问题更形象直观,为从几何途径解决问题 提供了方便 2.三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线,同时也给出了角a的三角函数线的画 法,即先找到P,MT点,再画出MP,OM,A 注意三角函数线是有向线段,要分清始点和终点,字母的书写顺序不能颠倒. 3.三角函数线是三角函数的几何表示,它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义 结合起来,可以从数与形两方面认识三角函数的定义,并使得对三角函数的定义域、函数值 符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了 课时作业 选择题 1.下列说法不正确的是(. A.当角a的终边在x轴上时,角a的正切线是一个点
... ... (3)|sin α|≤1 2 ，即－1 2 ≤sin α≤ 1 2 ， {α|kπ－ π 6 ≤α≤kπ＋ π 6 ，k∈Z}. 1.三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线 的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线 的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负. 三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题 提供了方便. 2.三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角 α 的三角函数线的画 法，即先找到 P，M，T 点，再画出 MP，OM，AT. 注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒. 3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义 结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值 符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了. 课时作业 一、选择题 1.下列说法不正确的是(..) A.当角 α 的终边在 x 轴上时，角 α 的正切线是一个点
B.当角a的终边在y轴上时,角a的正切线不存在 C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D.余弦线和正切线的始点都是原点 答案.D 解析.根据三角函数线的概念,A、B、C是正确的,只有D不正确,因为余弦线的始点在原 点,而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上 2.利用正弦线比较sin1,sin1.2,sin1.5的大小关系是(.) A sin i>sin 1. 2>sin 1.5 B sin i>sin 1. 5>sin 1. 2 C sin 1. 5>sin 1. 2>sin 1 D sin 1. 2>sin i>sin 1. 5 答案.C 解析.1,1.2,1.5均在0, 正弦线在0,内随a的增大而逐渐增大,∴sin 1.5>sin1.2>sin1 3.若0<a<2x,且sina<y,csay 则角a的取值范围是(..) B.0 3 D.0 3 答案.D 解析.角a的取值范围为图中阴影部分, 4.若角a的余弦线是单位长度的有向线段,那么角a的终边在(.) 轴上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.直线y=-x上 答案.B 解析.由题意得|cosa|=1,即cosa=±1,则角a的终边在x轴上.故选B 5在下列各组的大小比较中,正确的是()
... ... B.当角 α 的终边在 y 轴上时，角 α 的正切线不存在 C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D.余弦线和正切线的始点都是原点 答案.D 解析.根据三角函数线的概念，A、B、C 是正确的，只有 D 不正确，因为余弦线的始点在原 点，而正切线的始点在单位圆与 x 轴正半轴的交点上. 2.利用正弦线比较 sin 1，sin 1.2，sin 1.5 的大小关系是(..) A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5 答案.C 解析.∵1,1.2,1.5 均在 0， π 2 内，正弦线在 0， π 2 内随 α 的增大而逐渐增大，∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1. 3.若 0 1 2 ，则角 α 的取值范围是(..) A. － π 3 ， π 3 B. 0， π 3 C. 5π 3 ，2π D. 0， π 3 ∪ 5π 3 ，2π 答案.D 解析.角 α 的取值范围为图中阴影部分， 即 0， π 3 ∪ 5π 3 ，2π . 4.若角 α 的余弦线是单位长度的有向线段，那么角 α 的终边在(..) A.y 轴上 B.x 轴上 C.直线 y＝x 上 D.直线 y＝－x 上 答案.B 解析.由题意得|cos α|＝1，即 cos α＝±1，则角 α 的终边在 x 轴上.故选 B. 5.在下列各组的大小比较中，正确的是(..)
A. sin->sin- B. Cos->cos C tan>tan-- singan 答案.B 6.有三个命题:①和5的正弦线长度相等:②和4正的正切线相同:③开和5工的余弦 线长度相等 其中正确说法的个数为() A.1B.2C.3D.0 答案.C 解析.。和。的正弦线关于y轴对称,长度相等:和。两角的正切线相同 的余 弦线长度相等.故①②③都正确,故选C 7.点P(sin3-cos3,sin3+cos3)所在的象限为(.) A.第一象限 B.第二象限 第三象限 D.第四象限 答案.D 解析.因为一π0 因为M0的解集是 答案.{a|k a<k+一,k∈Z 解析.不等式的解集如图所示(阴影部分)
... ... A.sin π 7 >sin π 5 B.cos 4π 7 >cos 5π 7 C.tan 9π 8 >tan 9π 7 D.sin π 5 >tan π 5 答案.B 6.有三个命题：① π 6 和 5π 6 的正弦线长度相等；② π 3 和 4π 3 的正切线相同；③ π 4 和 5π 4 的余弦 线长度相等. 其中正确说法的个数为(..) A.1 B.2 C.3 D.0 答案.C 解析. π 6 和 5π 6 的正弦线关于 y 轴对称，长度相等；π 3 和 4π 3 两角的正切线相同；π 4 和 5π 4 的余 弦线长度相等.故①②③都正确，故选 C. 7.点 P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为(..) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案.D 解析.因为5 6 π＜3＜π，作出单位圆如图所示. 设 MP，OM 分别为 a，b. sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0， 所以 sin 3－cos 3＞0. 因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|， 所以 sin 3＋cos 3＝a＋b＜0. 故点 P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限. 二、填空题 8.不等式 tan α＋ 3 3 >0 的解集是 . 答案.{α|kπ－ π 6 <α<kπ＋ π 2 ，k∈Z} 解析.不等式的解集如图所示(阴影部分)