1任意角的三角
1.21任意角的三角函数 复习回顾在初中我们是如何定义锐角三角函数的? SIn a= C cos al b tan a
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ sin = cos = tan = c a c b b a 复习回顾 O a b M P c 1.2.1任意角的三角函数
新课导入 1在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
O a b M P y x 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 新课 导入
新课导入 1在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数? 其中: MP b OM=a sin a OP MP=b OM cos a OP=r=va2+b OP P(a,b) MP b tan a OM M x
2 2 : OP r a b MP b OM a = = + = = 其中 y x 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ r a OP OM cos = = r b OP MP sin = = a b OM MP tan = = 新课 导入 ﹒P(a,b) ﹒M o
诱思探究 如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗? △OMP∽△OMP MP Mp SIn d= OP P(a OP′ OMOM C coSC= OP OP′ MM MP MP tan a= OMOM′
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？ ﹒ P M OP MP sin = OP OM cos = OM MP tan = OMP ∽ OMP OP M P = = OP OM OM M P = 诱思 探究 O M y x P(a,b)
若OP=r=1,则 MP smnc三 OP b OM C cosC M OP MP anc三 OM
OP MP sin = OP OM cos = OM MP tan = O M Y X P(a,b) 若OP = r =1，则 = b = a a b =
2任意角的三角函数定义 设C是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y) 那么:(1)y叫做C的正弦,记作Sn,即sina=y; (2)x叫做O的余弦,记作COSO即cosa=x; (3)叫做C的正切,记作tana,即tana=2(x≠0) 所以,正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域
2.任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x, y) 那么:（1） y 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin = y ； （2） x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos = x ； （3） 叫做 的正切，记作 ，即 。 x y tan x y tan = 所以，正弦，余弦，正切都 是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数. O A(1,0) y x P(x, y﹒) (x 0) 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域
实例剖析 5丌 例1求 的正弦、余弦和正切值 解:在直角坐标系中,作AOB=5z,易知∠OB 的终边与单位圆的交点坐标为(2 5丌 所以sn 5丌 丌 COS tan 思考:若把角改为 1兀呢? 5丌 7丌 SIn 2 7x√3 CoS- 2 7x√3 tan 3
例1 求 的正弦、余弦和正切值. 3 5 3 5 解：在直角坐标系中，作 AOB = ，易知 AOB 的终边与单位圆的交点坐标为 ) 2 3 , 2 1 ( − 所以 2 3 3 5 sin − = 2 1 3 5 cos = 3 3 5 tan = − 思考：若把角 改为 呢? 3 5 6 7 , 2 1 6 7 sin = − ， ， , 2 3 6 7 cos − = 3 3 6 7 tan = 实例 剖析 x y o ﹒ ﹒A B 3 5
例2已知角C的终边经过点P(-3,-4),求角O的正弦、余 弦和正切值 解由已知可得OP=√(-3)2+(-4)2=5 设角C的终边与单位圆交于P(x,y 分别过点P、P作x轴的垂线 MRM.Po Mo/M l=40M=-x OM=3 MP △OMP△OM0B P(3-4) MP M. 于是,sma=y=1-OP OP 0 OM OM cosa=x OP OP tan a=y-sin a 4 x cos a 3
例2 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余 弦和正切值 . ( 3, 4) P0 − − ( 3) ( 4) 5 2 2 解:由已知可得 OP0 = − + − = 设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ， 分别过点 P 、 P0 作 x 轴的垂线 MP 、 M0 P0 4 0 0 M P = 于是， ; 5 | | 4 1 sin 0 0 0 = − = − − = = = OP M P OP y MP y 3 MP = −y OM0 = OM = −x OMP ∽ OM0 P0 ; 5 3 1 cos 0 0 = − = − − = = = OP OM OP x OM x 3 4 cos sin tan = = = x y ( 3, 4) P0 − − M0 O y x M P(x, y)
定义推广: 设角a是一个任意角,P(x,y)是终边上的任意一点, 点P与原点的距离r=√x2+y2>0 那么①当叫做α的正弦,即sina=y ②叫做的余弦,即cosa=x 叫做α的正弦,即tna=2(x≠0) 任意角C的三角函数值仅与C有关,而与点P在角的 终边上的位置无关
设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点， 点 与原点的距离 P(x, y) 0 2 2 P r = x + y 那么① 叫做 的正弦，即 r y r y sin = ② r 叫做 的余弦，即 x r x cos = ③ x 叫做 的正弦，即 y tan = (x 0) x y 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的 终边上的位置无关. P 定义推广：