2019-2020年高中数学必修四1.3《三角函数的诱导公式》导学案 【学习目标】 1.诱导公式(一)、(二)的探究、推导借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱 导公式 2.利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明 【导入新课】 1.复习公式一,公式二 2.回忆公式的推导过程 新授课阶段 1.诱导公式二: 思考:(1)锐角a的终边与180+a的终边位置关系如何? (2)写出a的终边与180+a的终边与单位圆交点P,P的坐标 (3)任意角c与180+a呢 结论:任意a与180+a的终边都是关于原点中心对称的.则有P(x,y),P(-x,-y) 由正弦函数、余弦函数的定义可知: SIna=y, COSC=x: sin(180+a)=-y cos(180+a)=-x 从而,我们得到诱导公式二:sin(180+a)=-sina;cos(180+a)=-cosa 说明:①公式中的a指任意角 ②若a是弧度制,即有sin(x+a)=-Sina,cos(n+a)=-cosa ③公式特点:函数名不变,符号看象限 sin(180 +a) -sina ④可以导出正切:tm180+a)=c0s180+a)-Cosa -tan a 诱导公式三: 思考:(1)360-a的终边与-Q的终边位置关系如何?从而得出应先研究-a (2)任何角a与一a的终边位置关系如何? 可以由学生自己结合一个简单的例子思考,从坐标系看20°与20°+180°,20°与 20°-180°的终边的关系.从而易知
2019-2020 年高中数学必修四 1.3 《三角函数的诱导公式》导学案 【学习目标】 1.诱导公式(一)、（二）的探究、推导借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱 导公式． 2.利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明． 【导入新课】 1.复习公式一，公式二 2.回忆公式的推导过程 新授课阶段 1．诱导公式二： 思考：（1）锐角 的终边与 180 + 的终边位置关系如何？ （2）写出 的终边与 180 + 的终边与单位圆交点 P P, ' 的坐标． （3）任意角 与 180 + 呢？ 结论：任意 与 180 + 的终边都是关于原点中心对称的．则有 P x y P x y ( , ), '( , ) − − ， 由正弦函数、余弦函数的定义可知： sin = y ， cos = x ； sin(180 ) + = − y ， cos(180 ) + = − x． 从而，我们得到诱导公式二： sin(180 ) + = −sin ； cos(180 ) + = − cos ． 说明：①公式中的 指任意角； ②若 是弧度制，即有 sin( ) + = −sin ，cos( ) + = − cos ； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切： sin(180 ) sin tan(180 ) tan cos(180 ) cos + − + = = = − + − ． 2．诱导公式三： 思考：（1） 360 − 的终边与 − 的终边位置关系如何？从而得出应先研究− ； （2）任何角 与 − 的终边位置关系如何？ 可以由学生自己结合一个简单的例子思考，从坐标系看 20 与 20 180 + ，20 与 20 180 − 的终边的关系．从而易知
a+r与a-r,a+3,a-3x,…,a+(2k+1)x, 终边相同,所以三角函数值相等.由a与a+丌的终边与单位圆分别相交于P与P', 它们的坐标互为相反数P(x,y),P'(-x,-y)(见课本图1-18),所以有 cos a+(2k+1)T=-cosa sin[a+(2k+z]=-sina。(三) tan[a+2k+)]=tana 结论:同诱导公式二推导可得:诱导公式三:sin(-a)=-sina;cos(-a)=cosa 说明:①公式中的a指任意角 ②在角度制和弧度制下,公式都成立: ③公式特点:函数名不变,符号看象限 ④可以导出正切:tan(-a)=-tana 3.诱导公式四:sin(180-a)=sina; cos(180 -a)=-cosa 4.诱导公式五:sin(360-a)=-sina; cos(360 -a)=cosa 说明:①公式四、五中的a指任意角 ②在角度制和弧度制下,公式都成立: ③公式特点:函数名不变,符号看象限 ④可以导出正切:tan(180-a)=-tana;tan(360-a)=-tana 5.公式六:sn 2Q)=cosa:cO个 a=sin a sin(-+a)=cosa coS(+a)=-sin a 说明:①公式六中的a指任意角 ②在角度制和弧度制下,公式都成立 ③公式特点:函数名变化,符号看象限 结合公式(一)和(三)可以得出下结论: sina,当n为奇数 sin(a +nT) SIn as 当n为偶数
, 3 3 k z) + − + − + 与 ， ， ， （2k+1）， ( 终边相同，所以三角函数值相等．由 与 + 的终边与单位圆分别相交于 P 与 P´， 它们的坐标互为相反数 P( x，y)，P´(-x，-y) （见课本图 1-18），所以有 cos (2 1) -cos + + = k sin (2 1) -sin + + = k （三） tan (2 1) tan + + = k 结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三： sin( ) sin − = − ； cos( ) cos − = ． 说明：①公式中的 指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切： tan( ) tan − = − ． 3．诱导公式四： sin(180 ) sin − = ； cos(180 ) cos − = − ． 4．诱导公式五： sin(360 ) sin − = − ； cos(360 ) cos − = ． 说明：①公式四、五中的 指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切： tan(180 ) tan − = − ； tan(360 ) tan − = − 5．公式六： ) cos 2 sin( − = ) sin 2 cos( − = ) cos 2 sin( + = ) sin 2 cos( + = − 说明：①公式六中的 指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名变化，符号看象限． 结合公式（一）和（三）可以得出下结论： sin , sin( ) sin a n n a n − + = 当 为奇数 ， 当 为偶数
oSa,当n为奇数 cos(a+nT) COS a 当n为偶数 tan(a+n)=tana,n∈z 由a与丌-a和单位圆分别交于点P’与点P,由诱导公式(二)和(三)或P与点P 关于y轴对称,可以得到a与丌-a只见的三角函数关系(见课本图1-19) sin( -a=sin a cos(T-a)=-cosa 例1下列各三角函数值: 120 coS135 S( 解 例2将下列三角函数化为0到45之间角的三角函数 in 68 cos 75 tan 126 解 例3求下列三角函数值:(1)sin960:(2)cos(--) 解: 例4(1)化简 cot a cos((r+a)sin2(3x+a) os3(--a) (2)sin120·cos330+sin(-690)cos(-660)+tan675+cot765 解:
cos , cos( ) cos a n n a n − + = 当 为奇数 ， 当 为偶数 tan( ) tan , + = n n Z 由 与 − 和单位圆分别交于点 P´与点 P，由诱导公式（二）和（三）或 P´与点 P 关于 y 轴对称，可以得到 与 − 只见的三角函数关系（见课本图 1-19） sin( −）= sin cos( −）= -cos 例1 下列各三角函数值： 2 19 sin120 cos135 tan cos( ) 3 4 − 解： 例2 将下列三角函数化为 0 到 45 之间角的三角函数： sin 68 cos 75 tan126 解： 例 3 求下列三角函数值：（1） sin 960 ；（2） 43 cos( ) 6 − ． 解： 例 4 （1）化简 2 3 cot cos( ) sin (3 ) tan cos ( ) + + − − ； （2） sin120 cos330 sin( 690 )cos( 660 ) tan 675 cot 765 + − − + + . 解： （1）
(2) 例5已知:tana=3,求 2cos(r-a)-3sin(丌+a) 的值 4cos(-a)+sin(2丌-a) 解: 例6已知sina=-,且a是第四象限角,求 tan a cos(3r-a)-sin(5丌+a)的值 解: 例7化简Sma+m)+sma=mz) (n∈Z) sin(a+n)cos(a-nr) 解: 课堂小结 1.五组公式可概括如下:a+k·360(k∈Z),-a,180±a,360-a的三角函数值, 等于a的同名函数值,前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号: 2.要化的角的形式为k·90°±a(k为常整数); 3.记忆方法:“奇变偶不变,符号看象限”;(k为奇数还是偶数 4.利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.其化简方向 仍为:“负化正,大化小,化到锐角为终了” 作业 课本第32页习题B组第1、2题
（2） 例 5 已知： tan 3 = ，求 2cos( ) 3sin( ) 4cos( ) sin(2 ) − − + − + − 的值． 解： ． 例 6 已知 3 sin 5 = − ，且 是第四象限角，求 tan [cos(3 ) sin(5 )] − − + 的值． 解： 例 7 化简 sin( ) sin( ) ( ) sin( )cos( ) n n n Z n n + + − + − ． 解： 课堂小结 1．五组公式可概括如下： + − − k k Z 360 ( ), ,180 ,360 的三角函数值， 等于 的同名函数值，前 面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号； 2．要化的角的形式为 o k 90 （ k 为常整数）； 3．记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k 为奇数还是偶数）； 4．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向 仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”． 作业 课本第 32 页习题 B 组第 1、2 题
拓展提升 1.若sn(z+a)=cos(x-a),则a的取值集合为 k∈Z} ala=kxk∈2} 2.已知tan(-x)=a,那么sn1992°= A. B 3.设角a=-35 6x,则2sn(x+a)cos(x-a)-cos(x+a)的值等于 4.当k∈Z时,smkr-a) cos(kT+a)的值为 sin(k+I)T+a]cos[(k+1)T+a] B.1 与a取值有关 5.设f(x)=asm(m+a)+bcoa+B)+4(a,b,a,B为常数),且 f(2000)=5,那么f(2004)= √3 6.已知sin(+a)=,则sin(-a)值为() A D. 2 2 2 7.cos(x+a)=_19a(27,sin(2丌-a)值为 8.化简 2)·cos(丌-2)得() A. sin 2+cos 2 B. cos 2-sin 2 C. sin 2-cos 2 D.±cos2-sin2 9.已知tana=√3,x<a<,那么cosa-sna的值是()
拓展提升 1．若 ) cos( ) 2 sin( + = − ，则 的取值集合为 （ ） A． } 4 { | = 2k + k Z B． } 4 { | = 2k − k Z C．{ | = k k Z} D． } 2 { | = k + k Z 2．已知 ) , 15 14 tan(− = a 那么 sin1992 = （ ） A． 2 1 | | a a + B． 2 1 a a + C． 2 1 a a + − D． 2 1 1 + a − 3．设角 ,则 6 35 = − 1 sin sin( ) cos ( ) 2sin( ) cos( ) cos( ) 2 2 + + − − + + − − + 的值等于 （ ） A． 3 3 B．－ 3 3 C． 3 D．－ 3 4．当 k Z 时， sin[( 1) ]cos[( 1) ] sin( ) cos( ) + + + + − + k k k k 的值为 （ ） A．－1 B．1 C．±1 D．与 取值有关 5．设 f (x) = asin(x +) +bcos(x + ) + 4 (a,b,, 为常数），且 f (2000) = 5, 那么 f (2004) = （ ） A．1 B．3 C．5 D．7 6．已知 3 sin( ) 4 2 + = ，则 3 sin( ) 4 − 值为（ ） A. 2 1 B. — 2 1 C. 2 3 D. — 2 3 7．cos ( +α)= — 2 1 ， 2 3π <α< 2 ,sin( 2 -α) 值为（ ） A. 2 3 B. 2 1 C. 2 3 D. — 2 3 8．化简： 1+ 2sin( − 2) • cos( − 2) 得（ ） A. sin 2 cos 2 + B. cos 2 sin 2 − C . sin 2 cos 2 − D.± cos 2 sin 2 − 9．已知 tan = 3 ， 2 3 ，那么 cos −sin 的值是（ ）
B 1+√3 10.已知sna+3cosa=0,则sna-cosa sin a+ cos a 11.如果 tan asin a<0,且0<sina+cosa<1,那么a的终边在第 象限 12.求值:2sin(-110)-sin960°+√2cos(-2259)+cos(-210°) 13.设f(6) cos'6-sin(0+r)-2cos(-0-T) ,求∫()的值 2+2cos2(7x+)+cos(-0) 14.已知方程sin( 3)=2cos( 4),求 si(r-a)+5cos(2丌-a) 2si(--a)-sn(-a) 值 参考答案 解:Sin120=sn(30+90)=cos30√3 cos135=cos(45+90)=-Sin45=- ta 3stan(2+2)=-cot2=-3 19丌 )=cos cos(+4x)=c0s(+-) 例2解:略 例3 解:(1)sin960=sin(960-720)=sin240°(诱导公式一) =sin(180+60)=-sin60°(诱导公式二)
A． 2 1+ 3 − B． 2 −1+ 3 C． 2 1− 3 D． 2 1+ 3 10．已知 sin + 3cos = 0, 则 = + − sin cos sin cos . 11．如果 tan sin 0, 且 0 sin + cos 1, 那么 的终边在第 象限 12．求值：2sin(－1110º) －sin960º+ 2 cos(−225) + cos(−210) ＝ ． 13．设 f ( ) = 2 2cos (7 ) cos( ) 2cos sin ( ) 2cos( ) 1 2 3 2 + + + − − + − − − + ，求 ( ) 3 f 的值． 14．已知方程 sin( 3 ) = 2cos( 4 )，求 ) sin( ) 2 3 2sin( sin( ) 5cos(2 ) − − − − + − 的 值． 参考答案 例 1 解： 3 sin120 sin(30 90 ) cos 30 2 = + = = 2 cos135 cos(45 90 ) sin 45 2 = + = − = − 2 tan tan( ) cot 3 3 6 2 6 = + = − = − 19 19 3 2 cos( ) cos cos( 4 ) cos( ) sin 4 4 4 4 2 4 2 − = = + = + = − = − 例 2 解：略． 例 3 解：（1） sin 960 sin(960 720 ) sin 240 = − = （诱导公式一） = + = − sin(180 60 ) sin 60 （诱导公式二）
√3 43丌 (2)cos(--) (诱导公式三) 6 =cos(+6x)=cos(诱导公式一) =cos(2+x)=-csz(诱导公式二) √3 例4 解:(1)原式=Cota:(-cosa)sin2(x+a) tana·cos'(x+a) cota·(-cosa)(_sina cota·(-cosa)·sin2a sIn a cos a (2)原式=sin(180-60)co(360-30)+sin(720-690)cos(720-660) +tan(675-720°)+cot(765°-720°) sin 60 cos 30 +sin 30 cos 60+tan(-45)+cot 45 √33 +-×--tan45+1 1+1=1 例5 解:∵tana=3, ∴原式==2a+3na=2+3ana=7 4 cosa-sin a 例6 解: tana[cos(3n-a)-sin5丌+a)
3 2 = − ． （2） 43 43 cos( ) cos 6 6 − = （诱导公式三） 7 7 cos( 6 ) cos 6 6 = + = （诱导公式一） cos( ) cos 6 6 = + = − （诱导公式二） 3 2 = − ． 例 4． 解：（1）原式 2 3 cot ( cos ) sin ( ) tan cos ( ) − + = + 2 3 cot ( cos ) ( sin ) tan ( cos ) − − = − 2 3 cot ( cos ) sin tan ( cos ) − = − 2 2 2 2 cos sin 1 sin cos = = ． （2）原式 = − − + − − sin(180 60 ) cos(360 30 ) sin(720 690 )cos(720 660 ) + − + − tan(675 720 ) cot(765 720 ) = + + − + sin 60 cos30 sin 30 cos 60 tan( 45 ) cot 45 3 3 1 1 tan 45 1 2 2 2 2 = + − + 3 1 1 1 1 4 4 = + − + = 例 5 解：∵ tan 3 = ， ∴原式 2cos 3sin 2 3tan 7 4cos sin 4 tan − + − + = = = − − ． 例 6 解： tan [cos(3 ) sin(5 )] − − +
tan alcos(T-a)-sin(T+a)]=tan a(cos a+sina) =tanasina-tan cosa=sin a(tan a-D) 由已知得:coa==,tana=.3 原式。21 例7 解:①当n=2k,k∈Z时 原式=Sin(a+2kz)+sin(a-2kz)2 sin(a+2kr )cos(a-2kr) cosa 1,k∈Z时 原式 l[a+(2k+1)丌]+sin{a-(2k+1)n] sin[a+(2k+1)]cos{a-(2k+1)] 拓展提升 1.D2.C3.C4.A5.C6.C7.A8.C9.B 10.211,二12,-2 2c0s38-sin 20+2c0s0+1 2c0s-6+cos0 2cos8-(1-CoS 0)+2 cos+1 2+2c0s-6+cos 2c0s 0+cos20 +2 cos 0 2+2cos20 6(2cos 0+cos0+2) 0+cos 6+2 14.解:∵ sin(3 且 ∴原式= sin a+s cos a 2 cosa+5cos a 3 cosa 2cosa+sin a -2 cosa -4 cos a 4
= − − + tan [cos( ) sin( )] = − + tan ( cos sin ) = − tan sin tan cos = − sin (tan 1) 由已知得： 4 3 cos , tan 5 4 = = − ， ∴原式 21 20 = ． 例 7 解：①当 n k k Z = 2 , 时， 原式 sin( 2 ) sin( 2 ) 2 sin( 2 ) cos( 2 ) cos k k k k + + − = = + − ． ②当 n k k Z = + 2 1, 时， 原式 sin[ (2 1) ] sin[ (2 1) ] 2 sin[ (2 1) ]cos[ (2 1) ] cos k k k k + + + − + = = − + + − + 拓展提升 1．D 2．C 3．C 4．A 5．C 6．C 7．Ａ 8．C 9．B 10．2 11．二 12．－2 13．解： 2 2cos cos 2cos sin 2cos 1 ( ) 2 3 2 + + − + + f = = 2 2cos cos 2cos (1 cos ) 2cos 1 2 3 2 + + − − + + = 2 2cos cos 2cos cos 2cos 2 3 2 + + + + = cos 2cos cos 2 cos (2cos cos 2) 2 2 = + + + + ∴ ( ) 3 f ＝ cos 3 ＝ 2 1 14．解： ∵sin( 3 ) = 2cos( 4 ) ∴ sin(3 ) = 2cos(4 ) ∴ sin( ) = 2cos( ) ∴sin = 2c os 且 cos 0 ∴ 4 3 4cos 3cos 2cos 2cos 2cos 5cos 2cos sin sin 5cos = − − = − − − + = − + + = 原式