重点增分专题四三角函数的图象与性质 全国卷3年考情分析 年份 全国卷I 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 三角恒等变换及三角函 2018 三角画数单调性的应用10正切画数的周期T6 数的周期与最值T8 三角函数的周期T3 三角函数的最值·I6 三角函数的最值T13 三角函数的图象变换与已知三角函数图象求解析式T3三角函数图象变 2016 性质·T 三角函数的最值·Tn 换T14 (1)高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质,主要考查图象 的变换,函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值,并常与三角恒等变换交汇命题 (2)庄主要以选择题、填空题的形式考查,难度为中等偏下,大多出现在第3~11或14 15题位置上 考点一三角函数的定义诱导公式及基本关系条合凉 大稳定——常规角度考双基 1三角函数的定义及应用在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,角a 尸的终边分别与单位圆交于 则sin(a+=() 36 48 3 33 解析:选D因为角a,B的终边分别与单位圆交于点 所以sina i30=3,s5,cp=-5,所以sina+p= sin acos p+ cos asin B=i 2 2同角三角函数的关系式及应用诺若tana=2,则sina-cosa的值为() B D 解析:选B∵tana≈! sin'a-cos'a=(sin'atcos'a)(sin'a-cos'a
1 重点增分专题四 三角函数的图象与性质 [全国卷 3 年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 2018 三角恒等变换及三角函 数的周期与最值·T8 三角函数单调性的应用·T10 正切函数的周期·T6 2017 三角函数的周期·T3 三角函数的最值·T6 三角函数的最值·T13 2016 三角函数的图象变换与 性质·T6 已知三角函数图象求解析式·T3 三角函数图象变 三角函数的最值·T11 换·T14 (1)高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质,主要考查图象 的变换,函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值,并常与三角恒等变换交汇命题. (2)主要以选择题、填空题的形式考查,难度为中等偏下,大多出现在第 3~11 或 14~ 15 题位置上. 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 保分考点 练后讲评 [大稳定——常规角度考双基] 1.[三角函数的定义及应用]在平面直角坐标系中,以 x 轴的非负半轴为角的始边,角 α, β 的终边分别与单位圆交于点 12 13, 5 13 和 - 3 5 , 4 5 ,则 sin(α+β)=( ) A.- 36 65 B. 48 65 C.- 3 13 D. 33 65 解析:选 D 因为角 α,β 的终边分别与单位圆交于点 12 13, 5 13 和 - 3 5 , 4 5 ,所以 sin α = 5 13,cos α= 12 13,sin β= 4 5 ,cos β=- 3 5 ,所以 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= 5 13 × - 3 5 + 12 13 × 4 5 = 33 65. 2.[同角三角函数的关系式及应用]若 tan α= 1 2 ,则 sin4α-cos4α 的值为( ) A.- 1 5 B.- 3 5 C. 1 5 D. 3 5 解析:选 B ∵tan α= 1 2 , ∴sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)
sin2a-cosza sin2a-cos2a= sin?a+cosa tan'a-1 3 tana+1 5 3诱导公式及应用设函数f(x)(x∈R满足f(x+)=fx)+sinx当0≤x<m时,fx)=0, 则 √3 B 解析:选A由已知,得 D)=(2 +sin 6 117 17π 15in)+sin 5i+sin 67+sin (m)+如+s(-a)+出 解题方略 1.同角三角函数基本关系式的应用技巧 知弦求弦利用诱导公式及平方关系sina+cosa=1求解 常通过平方关系、对称式sina+cosa,sina-cosa, sIn acos a建立联系 知弦求切 注意tana 的灵活应用 知切求弦通常先利用商数关系转化为sina= tan acos a的形式,然后用平方关系求解 和积转换法如利用(n00=12100O的关系进行变形、转化 「巧用“1” 1=sin20+cos 0=cos 0 (1+tan2 0)=sin2d1+ 的变换 tan 2.利用诱导公式进行化简求值的步骤 利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负一脱周一化锐.特别注 意函数名称和符号的确定.(注意“奇变偶不变,符号看象限”) 小创新——变换角度考迁移 1与数列交汇设an=1in,,sn=a+a+…+an在S,s3,…,Sm中,正数的个 数是()
2 =sin2α-cos2α= sin2α-cos2α sin2α+cos2α = tan2α-1 tan2α+1 =- 3 5 . 3.[诱导公式及应用]设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sin x.当 0≤x<π 时,f(x)=0, 则 f 23π 6 =( ) A. 1 2 B. 3 2 C.0 D.- 1 2 解析:选 A 由已知,得 f 23π 6 =f 17π 6 +sin 17π 6 =f 11π 6 +sin 11π 6 +sin 17π 6 =f 5π 6 +sin 5π 6 +sin 11π 6 +sin 17π 6 =f 5π 6 +sin π 6 +sin - π 6 +sin π 6 =0+ 1 2 + - 1 2 + 1 2 = 1 2 . [解题方略] 1.同角三角函数基本关系式的应用技巧 知弦求弦 利用诱导公式及平方关系 sin2α+cos2α=1 求解 知弦求切 常通过平方关系、对称式 sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α 建立联系, 注意 tan α= sin α cos α 的灵活应用 知切求弦 通常先利用商数关系转化为 sin α=tan α·cos α 的形式,然后用平方关系求解 和积转换法 如利用(sin θ±cos θ) 2=1±2sin θcos θ 的关系进行变形、转化 巧用“1” 的变换 1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ 1+ 1 tan2θ 2.利用诱导公式进行化简求值的步骤 利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负-脱周-化锐.特别注 意函数名称和符号的确定.(注意“奇变偶不变,符号看象限”) [小创新——变换角度考迁移] 1.[与数列交汇]设 an= 1 n sin nπ 25,Sn=a1+a2+…+an,在 S1,S2,…,S100中,正数的个 数是( ) A.25 B.50
D.100 解析:选D当I≤≤24时,an>0,当26≤n≤49时,an0,但其绝对值要小于1≤n≤24 时相应的值;当51≤≤74时,an>0;当76≤爪≤9时,an0,但其绝对值要小于51≤≤74 时相应的值.故当1≤n≤100时,均有Sn>0 2与算法交汇某一算法程序框图如图所示,则输出的S的值为( <2018? n=n+1 √3 B C.3 解析:选A由已知程序框图可知该程序的功能是计算S=sm2+sm2+sm+ +sin2017 一的值 为如m29,c2-s( √3 sin , sin 3 in =sin 2n=0, N sin =sin(2n+2)=sin n3=sx+3=3,如3=sm(nx+)=mx所以画数值里周期性变化, 周期为6且如m引+如3 4π FSIn 而2017=6×36+1,所以输出的S=36×+如m故选A 3.借助数学文化考查l《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表 作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=2弦 ×矢十矢2,弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢 等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径等于4m的弧田,按照上述经
3 C.75 D.100 解析:选 D 当 1≤n≤24 时,an>0,当 26≤n≤49 时,an0;当 76≤n≤99 时,an0. 2.[与算法交汇]某一算法程序框图如图所示,则输出的 S 的值为( ) A. 3 2 B.- 3 2 C. 3 D.0 解析:选 A 由已知程序框图可知,该程序的功能是计算 S=sin π 3 +sin 2π 3 +sin 3π 3 +… +sin 2 017π 3 的值. 因为 sin π 3 = 3 2 ,sin 2π 3 =sin π- π 3 =sin π 3 = 3 2 ,sin 3π 3 =sin π=0, sin 4π 3 =sin π+ π 3 =-sin π 3 =- 3 2 , sin 5π 3 =sin 2π- π 3 =-sin π 3 =- 3 2 , sin 6π 3 =sin 2π=0,而 sin 7π 3 =sin 2π+ π 3 =sin π 3 , sin 8π 3 =sin 2π+ 2π 3 =sin 2π 3 ,sin 9π 3 =sin(2π+π)=sin π,所以函数值呈周期性变化, 周期为 6,且 sin π 3 +sin 2π 3 +sin 3π 3 +sin 4π 3 +sin 5π 3 +sin 6π 3 =0. 而 2 017=6×336+1,所以输出的 S=336×0+sin π 3 = 3 2 .故选 A. 3.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表 作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=1 2 (弦 ×矢+矢 2 ),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢” 等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π 3 ,半径等于 4 m 的弧田,按照上述经
验公式计算所得弧田面积约是() A.6m2 B.9 2π 解析:选B如图,由题意可得∠A0B=3,O=4在R△AOD中,可得∠AOD= ∠D40= 6,OD=0=×4=2, 于是矢=4-2=2 由AD=A0sin=4×°=23, 可得弦长AB=2D=2×23=43 所以孤田面积=2(弦X+矢=2X(小3×2+2)=43+2≈9m,故选B 增分考点 考点二三角函数的图象与解析式广度拓展 题型一由“”定“式 1例1(1)已知函数x)=Ain(ax+q)(4>0,o>0,09-m), 其部分图象如图所示,则函数fx)的解析式为() 登翌 f(r)=2si B.fx)=2sn(于x+ C. f(x)=2sin D.f(x)=2sin(2x+ 已知函数9=4a9.eg的图象轴的一个交点(-2,o 其相邻的一条对称轴的距离为若B)-2则函数t士的最小值为() 3 2 解析(1)由题图可知,函数图象上两个相邻的最值点分别为最高 最低点 所以函数的最大值为2,即A=2. 由图象可得,x=-2 为相邻的两条对称轴
4 验公式计算所得弧田面积约是( ) A.6 m2 B.9 m2 C.12 m2 D.15 m2 解析:选 B 如图,由题意可得∠AOB= 2π 3 ,OA=4,在 Rt△AOD 中,可得∠AOD= π 3 ,∠DAO= π 6 ,OD= 1 2 AO= 1 2 ×4=2, 于是矢=4-2=2. 由 AD=AO·sin π 3 =4× 3 2 =2 3, 可得弦长 AB=2AD=2×2 3=4 3. 所以弧田面积=1 2 (弦×矢+矢 2 )= 1 2 ×(4 3×2+2 2 )=4 3+2≈9(m2 ).故选 B. 考点二 三角函数的图象与解析式 增分考点 广度拓展 题型一 由“图”定“式” [例 1] (1)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,00,ω>0,0<φ<π)的图象与 x 轴的一个交点 - π 12,0 到 其相邻的一条对称轴的距离为π 4 ,若 f π 12 = 3 2 ,则函数 f(x)在 0, π 2 上的最小值为( ) A. 1 2 B.- 3 C.- 3 2 D.- 1 2 [解析] (1)由题图可知,函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点 - π 2 ,2 ,最低点 3π 2 ,-2 , 所以函数的最大值为 2,即 A=2. 由图象可得,x=- π 2 ,x= 3π 2 为相邻的两条对称轴
所以函数的周期T=2 {-(2)-m 故一=4π,解得= 所以几x)=2snx+ 北点(,入呀得2x(2)+小 即 所以 2k+,(k∈Z), 解得φ=kn+(∈Z) 又09,所以p=4 所以∫x) 2sin(g*+3a 故选B (2由题意得,画数几(的最小正周期r=4×=n=2,解得0=2 因为点(卫0)在画数/的图象上, 所以Asin2× 解得=h+匹.A∈Z,由0≤丌,可得°6 因为 所以Ain(2 解得=5,所以9=nx+2) 71 sin(2x+ f(x)的最小值为 3 答案](1)B(2)C [解题方略】]由“图”定“式”找“对应”的方法 由三角函数的图象求解析式y=Asin(ox+g)+BA>0,o>0中参数的值,关键是把握函 数图象的特征与参数之间的对应关系,其基本依据就是“五点法”作图 (1)最值定A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为M,最小值为m,则M
5 所以函数的周期 T=2× 3π 2 - - π 2 =4π, 故 2π ω =4π,解得 ω= 1 2 . 所以 f(x)=2sin 1 2 x+φ . 把点 - π 2 ,2 代入可得 2sin 1 2 × - π 2 +φ =2, 即 sin φ- π 4 =1, 所以 φ- π 4 =2kπ+ π 2 (k∈Z), 解得 φ=2kπ+ 3π 4 (k∈Z). 又 00,ω>0)中参数的值,关键是把握函 数图象的特征与参数之间的对应关系,其基本依据就是“五点法”作图. (1)最值定 A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为 M,最小值为 m,则 M
M+m M-m =A+B,m=-A+B,解得B= 2 A=2 (定o;由周期的求解公式r=,可得 (3)点坐标定g:一般运用代入法求解φ值,注意在确定p值时,往往以寻找“五点法” 中的某一个点为突破口,即“峰点”“谷点”与三个“中心点” 题型二三角函数的图象变换 例2(1)(2019暑高三湘东互校联考将函数八x)= )的图象上各点的横坐标伸 长到原来的2倍,纵坐标不变,所得图象的一条对称轴的方程可能是() B. xs m2 D (2)208婚州草一次质量测试诺若将函数x)=,in(2x+图象上的每一个点都向左平 移2个单位长度,得到g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为() k∈D kπ+kk∈z) k∈Z 解析(1)依题意知将函数几x)=snx+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变,得画数8)=e2+9的图,+-2+如,∈得=2m+,k ∈Z,当k=0时,所得函数图象的一条对称轴的方程为x=2故选D (2)将函数x)=,i2x+2)图象上的每一个点都向左平移个单位长度,得到函数gx) 2-(++]+32+=2m2x的图象,今2+22≤2+m∈2可 得十如≤≤打+∈D,周此画数8的单调递增区间网为{如+,如切]ken,故 答案](1)D(2)A
6 =A+B,m=-A+B,解得 B= M+m 2 ,A= M-m 2 . (2)T 定 ω:由周期的求解公式 T= 2π ω ,可得 ω= 2π T . (3)点坐标定 φ:一般运用代入法求解 φ 值,注意在确定 φ 值时,往往以寻找“五点法” 中的某一个点为突破口,即“峰点”“谷点”与三个“中心点”. 题型二 三角函数的图象变换 [例 2] (1)(2019届高三·湘东五校联考)将函数 f(x)=sin x+ π 6 的图象上各点的横坐标伸 长到原来的 2 倍,纵坐标不变,所得图象的一条对称轴的方程可能是( ) A.x=- π 12 B.x= π 12 C.x= π 3 D.x= 2π 3 (2)(2018·郑州第一次质量测试)若将函数 f(x)= 1 2 sin 2x+ π 3 图象上的每一个点都向左平 移 π 3 个单位长度,得到 g(x)的图象,则函数 g(x)的单调递增区间为( ) A. kπ+ π 4 ,kπ+ 3π 4 (k∈Z) B. kπ- π 4 ,kπ+ π 4 (k∈Z) C. kπ- 2π 3 ,kπ- π 6 (k∈Z) D. kπ- π 12,kπ+ 5π 12 (k∈Z) [解析] (1)依题意知,将函数 f(x)=sin x+ π 6 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变,得函数 g(x)=sin 1 2 x+ π 6 的图象.令1 2 x+ π 6 = π 2 +kπ,k∈Z,得 x=2kπ+ 2π 3 ,k ∈Z,当 k=0 时,所得函数图象的一条对称轴的方程为 x= 2π 3 ,故选 D. (2)将函数 f(x)= 1 2 sin 2x+ π 3 图象上的每一个点都向左平移π 3 个单位长度,得到函数 g(x) = 1 2 sin 2 x+ π 3 + π 3 = 1 2 sin(2x+π)=- 1 2 sin 2x 的图象,令π 2 +2kπ≤2x≤ 3π 2 +2kπ(k∈Z),可 得 π 4 +kπ≤x≤ 3π 4 +kπ(k∈Z),因此函数 g(x)的单调递增区间为 kπ+ π 4 ,kπ+ 3π 4 (k∈Z),故 选 A. [答案] (1)D (2)A
[解题方略]关于三角函数的图象变换的方法 沿x轴 沿y轴 平移变换由户=变为厂=x+o时,“左加右由=A变为=八x)+k时,“上加 减”,即φ>0,左移;g0,上移;k0,所以0<≤2② 由①②得o=2,故选A
7 [解题方略] 关于三角函数的图象变换的方法 沿 x 轴 沿 y 轴 平移变换 由 y=f(x)变为 y=f(x+φ)时,“左加右 减”,即 φ>0,左移;φ0,上移;k0,所以 0<ω≤2.② 由①②得 ω= 3 2 ,故选 A
法一:/)=(0x-如mx=-2imx-4 当x-2[2孔卿xt 单调過增 f(x)= -5-1) 训递减 [;如几在原点附近的半调减区闻, 结合条件得0,a- =故选 法二:∫(x)=-sinx-cosx=-V2 于是,由题设得(≤0,即如+≥0在区闻0,叫上恒威立 ∈,.a时,x+E吧a 3π 所以a+,≤丌,即a≤ 故所求a的最大值是故选 「谷案](1)B(2)A(3) [解题方略] 1.求三角函数单调区间的方法 (1)代换法:求形如y=Asin(ox+q域y=Acos(ox+q)(4o,g为常数,A≠0,o>0) 的单调区间时,令ox+p=z,得y=Asin或y= Acos z),然后由复合函数的单调性求得 (2)图象法:画出三角函数的图象,结合图象求其单调区间 2.判断对称中心与对称轴的方法 利用函数y=Asin(x+g)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是 函数的零点这一性质,通过检验八(x)的值进行判断 3.求三角函数周期的常用结论 (1)y=Asi(ax+9和y=Acos(ax+的最小正周期为,y=tan(ox+p的最小正周期 (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期,相邻的
8 (3)法一:∵f(x)=cos x-sin x=- 2sin x- π 4 , ∴当 x- π 4 ∈ - π 2 , π 2 ,即 x∈ - π 4 , 3π 4 时, y=sin x- π 4 单调递增, f(x)=- 2sin x- π 4 单调递减, ∴ - π 4 , 3π 4 是 f(x)在原点附近的单调减区间, 结合条件得[0,a]⊆ - π 4 , 3π 4 , ∴a≤ 3π 4 ,即 amax= 3π 4 .故选 C. 法二:f′(x)=-sin x-cos x=- 2sin x+ π 4 . 于是,由题设得 f′(x)≤0,即 sin x+ π 4 ≥0 在区间[0,a]上恒成立. 当 x∈[0,a]时,x+ π 4 ∈ π 4 ,a+ π 4 , 所以 a+ π 4 ≤π,即 a≤ 3π 4 , 故所求 a 的最大值是3π 4 .故选 C. [答案] (1)B (2)A (3)C [解题方略] 1.求三角函数单调区间的方法 (1)代换法:求形如 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ))(A,ω,φ 为常数,A≠0,ω>0) 的单调区间时,令 ωx+φ=z,得 y=Asin z(或 y=Acos z),然后由复合函数的单调性求得. (2)图象法:画出三角函数的图象,结合图象求其单调区间. 2.判断对称中心与对称轴的方法 利用函数 y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是 函数的零点这一性质,通过检验 f(x0)的值进行判断. 3.求三角函数周期的常用结论 (1)y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π |ω| ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期 为 π |ω| . (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是1 2 个周期,相邻的
对称中心与对称轴之间的距离是个周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期 多练强化 若函数几8=50x++20)的图关中心对称,则函数 [手上的最小值是() B D 解析:选B几x)=2sn(2x+叶+2,又图象关于{,0)中心对称, 所以2×+b- k∈Z, 所以0=mx-7(k∈2,又0,所以D= 所以2=-2m2,国为∈[-,4 所以2x∈ 八x)∈|-√3,2|, 所以八(x)的最小值是一3. 2(2赤模已知函数几=++5ar+,m号)的最小正周 期为n,且/-小)=,则) A./在上单调递减 B.在(,2 上单调递增 C.f在(o,)上单调递增 D.在()上单调递减 解析:选D因为几x= sin(ox-+9)+3ax+叫=2 2sin(ox+p+2)的最小正周期为 r,所以m-m所以0=2国为/-)=m,斯以直一2是圈象的一条对称柚,所 以2×632+kx,∈Z,所以一+,k∈2,因为lr,所以96分 ∫x)=2si(2x+}当x∈ 2)时,2+2e 6x)先增后减,当x∈
9 对称中心与对称轴之间的距离是1 4 个周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是1 2 个周期. [多练强化] 1.若函数 f(x)= 3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(00,|φ|< π 2 的最小正周 期为 π,且 f π 3 -x =f(x),则( ) A.f(x)在 0, π 2 上单调递减 B.f(x)在 π 6 , 2π 3 上单调递增 C.f(x)在 0, π 2 上单调递增 D.f(x)在 π 6 , 2π 3 上单调递减 解析:选 D 因为 f(x)=sin(ωx+φ)+ 3cos(ωx+φ)=2sin ωx+φ+ π 3 的最小正周期为 π,所以2π ω =π,所以 ω=2.因为 f π 3 -x =f(x),所以直线 x= π 6 是 f(x)图象的一条对称轴,所 以 2× π 6 +φ+ π 3 = π 2 +kπ,k∈Z,所以 φ=- π 6 +kπ,k∈Z,因为|φ|< π 2 ,所以 φ=- π 6 ,所以 f(x)=2sin 2x+ π 6 .当 x∈ 0, π 2 时,2x+ π 6 ∈ π 6 , 7π 6 ,f(x)先增后减,当 x∈ π 6 , 2π 3 时,2x
+∈(,2,s单调递减,故选D 3.(2018北寒高今)已知函数(x)=snx+3 sin xcosx (1)求f(x)的最小正周期; (若八在区间-3m上的最大值为2,求m的最小值 M:(1)/r)=sinx+\3sinxcosx CoS 所以x)的最小正周期为T==π 2由(=2-2+ 由题意知一≤x≤m, 所以一5≤2x-≤2m- 要使八在区间一3,m的最大值为2 即si -2)在区 ,m上的最大值为1. 3 所以2m-乙≥,即m≥2 所以m的最小值为 考点四三角函数图象与性质的综合应用讲练冲关 典例已知函数/x)=2 sIn oxcos ox+2in2ox-√3(o>0)的最小正周期为n (1)求函数fx)的单调递增区间; (2将函数八x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y= x)的图象,若y=g(x)在间0,bb>0)上至少含有10个零点,求b的最小值 解!(1)(x)=2 sin oxcos ox+√32in2ox-1) =sin2ox一 box 由最小正周期为π,得=1, 所以=2(-
10 + π 6 ∈ π 2 , 3π 2 ,f(x)单调递减.故选 D. 3.(2018·北京高考)已知函数 f(x)=sin2x+ 3sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 f(x)在区间 - π 3 ,m 上的最大值为3 2 ,求 m 的最小值. 解:(1)f(x)=sin2x+ 3sin xcos x = 1 2 - 1 2 cos 2x+ 3 2 sin 2x =sin 2x- π 6 + 1 2 , 所以 f(x)的最小正周期为 T= 2π 2 =π. (2)由(1)知 f(x)=sin 2x- π 6 + 1 2 . 由题意知-π 3 ≤x≤m, 所以-5π 6 ≤2x- π 6 ≤2m- π 6 . 要使 f(x)在区间 - π 3 ,m 上的最大值为3 2 , 即 sin 2x- π 6 在区间 - π 3 ,m 上的最大值为 1. 所以 2m- π 6 ≥ π 2 ,即 m≥ π 3 . 所以 m 的最小值为π 3 . 考点四 三角函数图象与性质的综合应用 增分考点 讲练冲关 [典例] 已知函数 f(x)=2sin ωxcos ωx+2 3sin2ωx- 3(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)将函数 f(x)的图象向左平移π 6 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到函数 y= g(x)的图象,若 y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值. [解] (1)f(x)=2sin ωxcos ωx+ 3(2sin2ωx-1) =sin 2ωx- 3cos 2ωx=2sin 2ωx- π 3 . 由最小正周期为 π,得 ω=1, 所以 f(x)=2sin 2x- π 3