三角函数的图象与性质 基础知识自主学习 要点梳理 1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sinx 在[0,D7]上的图象形状时,起关键作用的五 个点是00)、(、( 兀,-1) 2n0).余弦函数呢?
三角函数的图象与性质 要点梳理 1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x 在［0，2 ］上的图象形状时,起关键作用的五 个点是 、 、 、 、 .余弦函数呢？ (0,0) ,1) 2 ( ( ,0) , 1) 2 3 ( − (2 ,0) 基础知识 自主学习
2.三角函数的图象和性质: 函 性数y= sin x y= =cos X y=tanx 质 定义域|R R x|x≠k丌+ (k∈Z 图象 值域
2.三角函数的图象和性质: y=sin x y=cos x y=tan x 定义域 图象 值域 R 函 性 数 质 [-1,1] [-1,1] R R , 2 { | x x k + (k∈Z)
对称轴:k对称轴:=k对称中心 (k∈Z) (k∈Z)对称中 对称性 心(z+,0) 对称中心 ∈ (kz,0(k∈Z) k∈Z) 周期 2丌 2丌 单调增区间单调增区间 kx-72kx+(2kx=x2x单调增区间 (k∈Z); (k∈Z) 单调性 lkT-,kT+ 单调减区间单调减区间 2x+7,2kx+(2x,2x+z]22 3丌 (k∈Z) k∈Z 奇偶性 奇 偶 奇
对称性 周期 单调性 奇偶性 对称轴: x = k ( ) 2 + k Z ； 对称中心: (k ,0)(k Z) 对称轴:x = k (k Z) ； 对称中 心: − + k ,2k 2 [2 (k Z) 对称中心: (k Z) 2 2 单调增区间 ]( ) 2 k Z ； 单调减区间 + + k ,2k 2 [2 ]( ) 2 3 k Z 单调增区间 [2k − ,2k] (k Z) ； 单调减区间 [2k,,2k + ] (k Z) 单调增区间 − + k , k 2 [ 2 (k Z) 奇 偶 奇 ,0) 2 ( k ,0) 2 ( k +
3.一般地对于函数f(x),如果存在一个非零常 数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期 函数,非零常数T叫做这个函数的周期,把所有 周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数 的周期一般指最小正周期).函数y=Asin6x) 或y=Acos(Xto)>0且为常数)的周 期7=2函数 y=Atan(x+)>0)的周期
3.一般地对于函数f（x）,如果存在一个非零常 数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有 周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数 的周期一般指最小正周期).函数y=Asin( x+ ） 或y=Acos（ x+ ）（ >0且为常数）的周 期 函数y=Atan( x+ )( >0)的周期 , 2 T = . T =
基础自测 1.函数y=1-2 Sin XCos X的最小正周期为() A.-丌 B C.2丌 D.4丌 解析 y=1-sn2x,72
基础自测 1.函数y=1-2sin xcos x的最小正周期为（ ） 解析 B. C.2 D.4 2 1 A. . 2 2 1 sin 2 , y = − x T = = B
2.设点P是函数f(x)= sino x a≠0)的图象C的 个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的 最小值是x,则f(x)的最小正周期是(B) A.2丌 B丌 C D 解析由正弦函数的图象知对称中心与对称轴 的距离的最小值为最小正周期的1故f(x)的 最小正周期为T=4xx=z
2.设点P是函数f(x)=sin x ( ≠0)的图象C的 一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的 最小值是 则f(x)的最小正周期是（ ） 解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴 的距离的最小值为最小正周期的 故f（x）的 最小正周期为T= , 4 4 D. 2 A.2 B. C. , 4 1 . 4 4 = B
3.函数ysin(2x+x)的图象(A A.关于点(x0)对称 B关于直线x=x对称 C.关于点 (,0)对称 D关于直线x=x对称 解析验证法:当x=时sm2×x+)=5mx=0 所以y=si(2x+)的图象关于点(,0)对称
3.函数y=sin 的图象（ ） A.关于点 对称 B.关于直线 对称 C.关于点 对称 D.关于直线 对称 解析 验证法： ) 3 (2 x + ,0) 3 ( 4 x = ,0) 4 ( 3 x = ,0) . 3 ) ( 3 sin( 2 ) sin 0, 3 3 ,sin( 2 3 所以 的图象关于点 对称 当 时 = + = + = = y x x A
4.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是(c) ①在(x)上递减 ②以2n为周期; ③是奇函数 A y=tan x B y=cos x C y=-sin x D y=sin Xcos x 解析y=tanx的周期为,故A错. y=cosx为偶函数,故B错 Sin XCOs X 2sin2x的周期为,故D错 y=-sinx的周期为a,是奇函数,由图象知 在(0,)上是递减函数,故C正确
4.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是( ) ①在 上递减； ②以 为周期； ③是奇函数. A.y=tan x B.y=cos x C.y=-sin x D.y=sin xcos x 解析 y=tan x的周期为 ，故A错. y=cos x为偶函数，故B错. y=sin xcos x= sin 2x的周期为 ，故D错. y=-sin x的周期为2 ,是奇函数，由图象知 在 上是递减函数，故C正确. ) 2 (0, 2 2 1 ) 2 (0, C
5.(2009四川文,4)已知函数f(x)=inx-x (x∈R),下面结论错误的是(D) A.函数f(x)的最小正周期为2r B.函数f(x)在区间0上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线X=0对称 D.函数f(x)是奇函数 解析 3)=-c0sx7=2z,A正确; y=cosx在0.上是减函数y=-csx在0.是 增函数,B正确 由图象知y=cosx关于直线x=0对称,C正确 y=cosx是偶函数,D错误
5.（2009·四川文，4）已知函数f(x)=sin (x∈R)，下面结论错误的是（ ） A.函数f(x)的最小正周期为2 B.函数f(x)在区间 上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 D.函数f(x)是奇函数 解析 A正确; 由图象知y=-cos x关于直线x=0对称，C正确. y=-cos x是偶函数，D错误. ) 2 ( x − 2 0, ) cos , 2 , 2 sin( y = x − = − x T = ,B ; 2 , cos 0, 2 cos 0, 增函数 正确 在 上是减函数 在 上是 = − = y x y x D
题型分类深度剖析 题型一与三角函数有关的函数定义域 【例1】求下列函数的定义域 (1)y=lgsin(cos x);(2)yv SIn x-cos x 思维启迪本题求函数的定义域:(1)需注意对数 的真数大于零,然后利用弦函数的图象求解; (2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零 然后利用函数的图象或三角函数线求解 解(1)要使函数有意义,必须使sin(cosx)>0 1≤cosX≤1,0<cosX≤1
题型一 与三角函数有关的函数定义域 求下列函数的定义域： （1）y=lgsin(cos x);(2)y= 本题求函数的定义域:(1)需注意对数 的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解； (2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零， 然后利用函数的图象或三角函数线求解. 解 (1)要使函数有意义,必须使sin(cos x)>0. ∵-1≤cos x≤1,∴0<cos x≤1. 【例1】 sin x −cos x. 思维启迪 题型分类 深度剖析