精品文档 2019-2020年高考数学三角函数的图像与性质导学案新人教版一、课 标、考纲解读 1、能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象, 2、了解三角函数的周期性 3、借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2丌,正切函数在(-兀2,/2) 上的性质(如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等); 4、命题走向近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函 数的图象与性质的考查,因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习 高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际问题的工具,因此三角函 数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想,把图象与 性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,或由单位圆上线段表示 的三角函数值来获得函数的性质,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图 象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方 学习重点、难点 三角函数的性质,特别是单调性和周期性以及最值是重中之重。 、基础知识梳理 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像(请自己在对应图像后面画出 任意一个周期的图象) 功 2 2 小结:用“五点法”作正弦、余弦函数的图象. 精品文档
精品文档 精品文档 2019-2020 年高考数学 三角函数的图像与性质导学案 新人教版一、课 标、考纲解读 1、能画出 y=sinx，y=cosx，y=tanx 的图象， 2、了解三角函数的周期性. 3、借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2） 上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与 x 轴交点等）； 4、命题走向 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函 数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习 高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函 数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与 性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示 的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图 象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方 法. 5、学习重点、难点 三角函数的性质，特别是单调性和周期性以及最值是重中之重。 二、基础知识梳理 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像（请自己在对应图像后面画出 任意一个周期的图象） 1 -1 y=sinx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -2 - 2 3 4 o y x 1 -1 y=cosx -32 -52 -72 72 52 32 2 - 2 -4 -3 -2 4 3 2 - o y x y=tanx 32 2 -32 - -2 o y x 小结：用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．
精品文档 “五点法”作图实质上是选取函数的一个 将其四等分,分别找到图象的 点及“平衡点”由这五个点大致确定函数的位置与形状 2、三角函数的性质 函数 y=SInx y=cosx y=tanx 定义域 值域 奇偶性 对称性 有界性 周期性 单调性 最大(小)值 探究函数y=sinx的对称性与周期性的关系 (1)若相邻两条对称轴为x=a和x=b,则T= (2)若相邻两对称点(a,0)和(b,0),则T= (3)若有一个对称点(a,0)和它相邻的一条对称轴x=b,则T= 那么该结论可以推广到其它函数吗? 三、典例精析 1.根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的x的取值集合: (1)sinx≥(x∈R); (2)√2+2osx≥0(x∈R) 精品文档
精品文档 精品文档 “五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状． 2、三角函数的性质 函 数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 值 域 奇偶性 对称性 有界性 周期性 单调性 最大(小)值 探究 函数 y＝sinx 的对称性与周期性的关系． ⑴ 若相邻两条对称轴为 x＝a 和 x＝b，则 T＝ ． ⑵ 若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则 T＝ ． ⑶ 若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴 x＝b，则 T＝ ． 那么该结论可以推广到其它函数吗？ 三、典例精析
精品文档 例2.已知函数f(x)=(sinx-cos) (1)求它的定义域和值域 (2)求它的单调区间 (3)判断它的奇偶性 (4)判定它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期 考点一、三角函数的定义域问题 1.与三角函数有关的函数的定义域 (1)与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取 值范围 (2)求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式 变式训练:求函数y=y-2co2x+3cosx-1+1g(36-x2)的定义域: 【分析】本题求函数的定义域.(1)需注意对数的真数大于零,然后利用弦函 数的图象求解.(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零,然后利用函数 的图象或三角函数线求解 【解析】(函数定义域即下面不等式组的解集 2cos2x+3cosx-1≥0 36 0 解得:-6x≤-3或x或≤xa(cosx>a)的方法 (1)找出使sinx= a(cos x=a)的两个x值的终边所在位置 (2)根据变化趋势,确定不等式的解集 2、用三角函数的图象解sinx>a(cosx>a,tanx>a)的方法 (1)作直线y=a,在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是0,2π]在直线 a上方的图象 (2)确定sinx=a(cosx=a,tanx=a)的x值,写出解集 考点二、三角函数单调区间的求法 1.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2π]上的性质(如单调性、最大值和 最小值以及与x轴的交点等,理解正切函数在区间(-,内的单调性 2.准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础 精品文档
精品文档 精品文档 例 2. 已知函数 f (x)＝(sinx－cosx) ⑴ 求它的定义域和值域； ⑵ 求它的单调区间； ⑶ 判断它的奇偶性； ⑷ 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期． 考点一、三角函数的定义域问题 1．与三角函数有关的函数的定义域 (1)与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取 值范围． (2)求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式． 变式训练： 求函数 y＝ －2cos2x＋3cos x－1＋lg(36－x 2 )的定义域： 【分析】 本题求函数的定义域．(1)需注意对数的真数大于零，然后利用弦函 数的图象求解．(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，然后利用函数 的图象或三角函数线求解． 【解析】 (1)函数定义域即下面不等式组的解集： －2cos2x＋3cos x－1≥0 36－x 2＞0 解得：－6＜x≤－ 5 3 π 或－π 3 ≤x≤ π 3 或 5π 3 ≤x＜6； 所以函数定义域为(－6，－ 5 3 π]∪[－ π 3 ， π 3 ]∪[ 5π 3 ，6 小结：1、用三角函数线解 sin x＞a(cos x＞a)的方法 (1)找出使 sin x＝a(cos x＝a)的两个 x 值的终边所在位置． (2)根据变化趋势，确定不等式的解集． 2、用三角函数的图象解 sin x＞a(cos x＞a，tan x＞a)的方法． (1)作直线 y＝a，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是[0,2π])在直线 y＝a 上方的图象． (2)确定 sin x＝a(cos x＝a，tan x＝a)的 x 值，写出解集． 考点二、三角函数单调区间的求法 1．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和 最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间(－ π 2 ， π 2 )内的单调性． 2．准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础．
精品文档 变式训练:已知函数(x)=sin2x+2 sin xcos x+3cos2x,x∈R求 (1)函数fx)的最大值及取得最大值的自变量x的集合; (2)函数(x)的单调增区间 COS 2X 3(1+cos2x) 【解析】(1)法一∵f(x) t sin 2x+ =2+sin 2x+cos 2x=2+\2sin(2x+ :当1+2·即x=+∈Z时,取得最大值2+V2 因此,Jx取得最大值的自变量x的集合是{xx=+,k∈Z 法二∵fx)=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x I+sin 2x+1+cos 2x=2+\2s 当2x+=2x+,即x=km+3k∈Z时,(x取得最大值2+ 因此,x取得最大值的自变量x的集合是{x=x+Q,k∈E (2)(x)=2+y2sin(2x 由题意得 2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z) 即[ kπ+a](k∈Z 因此,x的单调增区间是{xx-8≤X≤+8分 小结:1、形如y=Asin(ox+g(4>0,o>0)的函数的单调区间,基本思 路是把ax+g看作一个整体,由-+2k≤ax+p≤+2k(∈Z)求得函数的 增区间,由+2k≤ox+q≤+2km(k∈Z)求得函数的减区间 2、形如y=Asi(-ox+p)4>0,o>0)的函数,可先利用诱导公式把x 的系数变为正数,得到y=-Asin(ax-q),由-+2x≤ox-9≤2+2km(∈Z 3丌 得到函数的减区间,由+2kx≤0x-9-212kmk∈得到函数的增区间 精品文档
精品文档 精品文档 变式训练：已知函数 f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x，x∈R.求： (1)函数 f(x)的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合； (2)函数 f(x)的单调增区间． 【解析】 (1)法一 ∵f(x)＝ 1－cos 2x 2 ＋sin 2x＋ 3(1＋cos 2x) 2 ＝2＋sin 2x＋cos 2x＝2＋ 2sin(2x＋ π 4 )． ∴当 2x＋ π 4 ＝2kπ＋ π 2 ，即 x＝kπ＋ π 8 (k∈Z)时，f(x)取得最大值 2＋ 2. 因此，f(x)取得最大值的自变量 x 的集合是{x|x＝kπ＋ π 8 ，k∈Z}． 法二 ∵f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋sin 2x＋2cos2x ＝1＋sin 2x＋1＋cos 2x＝2＋ 2sin(2x＋ π 4 )． ∴当 2x＋ π 4 ＝2kπ＋ π 2 ，即 x＝kπ＋ π 8 (k∈Z)时，f(x)取得最大值 2＋ 2. 因此，f(x)取得最大值的自变量 x 的集合是{x|x＝kπ＋ π 8 ，k∈Z}． (2)f(x)＝2＋ 2sin(2x＋ π 4 )．由题意得 2kπ－ π 2 ≤2x＋ π 4 ≤2kπ＋ π 2 (k∈Z)， 即[kπ－ 3π 8 ，kπ＋ π 8 ](k∈Z)． 因此，f(x)的单调增区间是{x|kπ－ 3π 8 ≤x≤kπ＋ π 8 (k∈Z)} 小结：1、形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，基本思 路是把 ωx＋φ 看作一个整体，由－π 2 ＋2kπ≤ωx＋φ≤ π 2 ＋2kπ(k∈Z)求得函数的 增区间，由π 2 ＋2kπ≤ωx＋φ≤ 3π 2 ＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间． 2、形如 y＝Asin(－ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数，可先利用诱导公式把 x 的系数变为正数，得到 y＝－Asin(ωx－φ)，由－π 2 ＋2kπ≤ωx－φ≤ π 2 ＋2kπ(k∈Z) 得到函数的减区间，由π 2 ＋2kπ≤ωx－φ≤ 3π 2 ＋2kπ(k∈Z)得到函数的增区间．
精品文档 2019-2020年高考数学三角函数的性质导学案新人教版 课标、考纲解读 1、三角函数的值域与最值以及性质的综合应用 2、重点:三角函数的最值以及性质的综合应用 典例精析 考点三、三角函数的值域与最值 例3求下列函数的值域:(要注意总结方法) (1)y=2cos'x+2cos x (2)y=3cos x (ly=sin x tcos x+sin xcos x 【解析】(1)=2cos2x+2cosx=2(cosx+ 当且仅当cosx=1时得ymax=4, 当且仅当c0sx=-时得ymm= 故函数值域为-1,4 (2)=3csx-smx=25 cos x - SIn T S(x+∠)≤1 该函数值域为[-2V3,23] ()y=sin xcos x + sin x+cosx sin xt cOS x T =sin2(x+)+√2sin(x+n 所以当sn(x+)=1时, y取最大值1+-1=1+1 当sn(x+42=-2时,y取最小值-1 ∴该函数值域为-1,+2] 求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为: 精品文档
精品文档 精品文档 2019-2020 年高考数学 三角函数的性质导学案 新人教版 一、课标、考纲解读 1、三角函数的值域与最值以及性质的综合应用 2、重点：三角函数的最值以及性质的综合应用 二、典例精析： 考点三、三角函数的值域与最值 例 3 求下列函数的值域：（要注意总结方法） (1)y＝2cos2x＋2cos x； (2)y＝3cos x－ 3sin x； (3)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x. 【解析】 (1)y＝2cos2x＋2cos x＝2(cos x＋ 1 2 ) 2－ 1 2 . 当且仅当 cos x＝1 时得 ymax＝4， 当且仅当 cos x＝－ 1 2 时得 ymin＝－ 1 2 ， 故函数值域为[－ 1 2 ，4]． (2)y＝3cos x－ 3sin x＝2 3( 3 2 cos x－ 1 2 sin x) ＝2 3cos(x＋ π 6 )． ∵|cos(x＋ π 6 )|≤1， ∴该函数值域为[－2 3，2 3]． (3)y＝sin xcos x＋sin x＋cos x ＝ (sin x＋cos x) 2－1 2 ＋ 2sin(x＋ π 4 ) ＝sin2 (x＋ π 4 )＋ 2sin(x＋ π 4 )－ 1 2 ＝[sin(x＋ π 4 )＋ 2 2 ] 2－1， 所以当 sin(x＋ π 4 )＝1 时， y 取最大值 1＋ 2－ 1 2 ＝ 1 2 ＋ 2. 当 sin(x＋ π 4 )＝－ 2 2 时，y 取最小值－1， ∴该函数值域为[－1， 1 2 ＋ 2]． 求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为：
精品文档 (l)= sasin+bosx型可引用辅助角化为y=√a2+b3i(x+9其中t (2)y=asin2x+ bsin xcos x+ccos2x型可通过降次整理化为y=Asin2x+Bcos2x (3y=asin2x+ bcos x+c型可换元转化为二次函数 (4) ) sin xcos x与 sin xcos x同时存在型可换元转化 asin x (5)y ccosx+d 型,可用分离常数法或由inx≤1来解决 cSIn x asin+ (6)y 型,可用斜率公式来解决 CCoS x 变式训练:已知函数fx)=2asin(2x-2)+b的定义域为 2 函数的最大 值为1,最小值为-5,求a和b的值 考点四、三角函数性质的综合问题 已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,-1,mn=1,且A为锐角 (1)求角A的大小 (2)求函数x)=cos2x+4 cos asin x(x∈R)的值域. 小结:1.从内容上看,主要有三种类型:①自身综合,即将三角公式、图象和 性质结合在一起.②三角函数与其他函数,如二次函数、指数函数等结合在 起.③与实际问题结合在一起,综合向量、几何等知识解决实际问题 2.从题型上看,一般为解答题,难度为中档 3.从能力要求上看,要求学生具备一定的知识迁移能力与解决综合问题的能力 三、当堂检测 1.(x高考天津卷)设函数)=s2x-2),x∈R,则x)是 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为三的偶函数 【解析】x)=sn(2x-2)=-c0s2x ∴爪x)是最小正周期为π的偶函数,故选B 2.下列函数,在后,可上是增函数的是() A. y=sin x B CoS x 精品文档
精品文档 精品文档 (1)y＝asin x＋bcos x 型可引用辅助角化为 y＝ a 2＋b 2 sin(x＋φ)(其中 tan φ＝ b a )． (2)y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x 型可通过降次整理化为 y＝Asin 2x＋Bcos 2x. (3)y＝asin2x＋bcos x＋c 型可换元转化为二次函数． (4)sin xcos x 与 sin x±cos x 同时存在型可换元转化． (5)y＝ asin x＋b csin x＋d 或y＝ acos x＋b ccos x＋d 型，可用分离常数法或由|sin x|≤1 来解决． (6)y＝ asin x＋b ccos x＋d 型，可用斜率公式来解决． 变式训练：已知函数 f(x)＝2asin(2x－ π 3 )＋b 的定义域为[0， π 2 ]，函数的最大 值为 1，最小值为－5，求 a 和 b 的值． 考点四、三角函数性质的综合问题 已知向量 m＝(sin A，cos A)，n＝( 3，－1)，m·n＝1，且 A 为锐角． (1)求角 A 的大小； (2)求函数 f(x)＝cos 2x＋4cos Asin x(x∈R)的值域． 小结：1.从内容上看，主要有三种类型： ①自身综合，即将三角公式、图象和 性质结合在一起．②三角函数与其他函数，如二次函数、指数函数等结合在一 起．③与实际问题结合在一起，综合向量、几何等知识解决实际问题． 2．从题型上看，一般为解答题，难度为中档 3．从能力要求上看，要求学生具备一定的知识迁移能力与解决综合问题的能力． 三、当堂检测 1．(xx·高考天津卷)设函数 f(x)＝sin(2x－ π 2 )，x∈R，则 f(x)是 ( ) A．最小正周期为 π 的奇函数 B．最小正周期为 π 的偶函数 C．最小正周期为π 2 的奇函数 D．最小正周期为π 2 的偶函数 【解析】 f(x)＝sin(2x－ π 2 )＝－cos2x. ∴f(x)是最小正周期为 π 的偶函数，故选 B. 2．下列函数，在[ π 2 ，π]上是增函数的是( ) A．y＝sin x B．y＝cos x
精品文档 【答案】D 3.(xx福建省厦门外国语学校第三次月考下列命题正确的是 A.y=sm(2x+3)在区间(一,乃)内单调递增 B.y=cos4x-sin2x的最小正周期为2 C.y=cos(x+,)的图象是关于点G,0对称 D.y=tan(x+2)的图象是关于直线x=一对称 【解析】可验证y=m(2x+在区间36不单调 y=cos4x-sinx的最小正周期为π y=tan(x+的图象不关于任问直线对称 经验证C对 4.比较大小,sm(-18)sm(- 【解析】因为y=six在-,0上为增函数且-江>-正,故 sin( 5.函数y=3-2cos(x-的最大值为 此时x= 【解析】当x4=2+a(k∈), 即x=2+(∈Z时,y的最大值5 求函数y=-m(2-3)的单调区间 已知函数y=f(x)的图象如图所示,试回答下列问题: (1)求函数的周期; (2)画出函数y=f(x+1)的图象 (3)你能写出函数y=f(x)的解析式吗? 精品文档
精品文档 精品文档 C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x 【答案】 D 3．(xx·福建省厦门外国语学校第三次月考)下列命题正确的是 ( ) A．y＝sin(2x＋ π 3 )在区间(－ π 3 ， π 6 )内单调递增 B．y＝cos4x－sin4x 的最小正周期为 2π C．y＝cos(x＋ π 3 )的图象是关于点( π 6 ，0)对称 D．y＝tan(x＋ π 3 )的图象是关于直线 x＝ π 6 对称 【解析】 可验证 y＝sin(2x＋ π 3 )在区间(－ π 3 ， π 6 )内不单调； y＝cos4x－sin4x 的最小正周期为 π； y＝tan(x＋ π 3 )的图象不关于任何直线对称； 经验证 C 对． 4．比较大小，sin(－ π 18)________sin(－ π 10)． 【解析】 因为 y＝sin x 在[－ π 2 ，0]上为增函数且－ π 18 ＞－ π 10，故 sin(－ π 18) ＞sin(－ π 10)． 5．函数 y＝3－2cos(x－ π 4 )的最大值为________，此时 x＝________. 【解析】 当 x－ π 4 ＝2kπ＋π(k∈Z)， 即 x＝2kπ＋ 5π 4 (k∈Z)时，y 的最大值 5