三角函数的图象与性质 、知识网络 三角函数的图象和性质 三角函数的性质 三角函数的图象 定义域,值域 奇偶性 单调性 周期性 基本三角函数图象 基本变换 正弦型函数图 引申:y=f(ax+型函数 奇偶性 单调性 周期性 由图象写解析式 二、高考考点 (一)三角函数的性质 1、三角函数的定义域,值域或最值问题 2、三角函数的奇偶性及单调性问题:常见题型为:三角函数为奇函数(或偶函数)的 充要条件的应用:寻求三角函数的单调区间:比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性:寻求(a+)型三角函数的周期以及难度较高的含有绝 对值的三角函数的周期 (二)三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换; 2、y=Asn(m+)型三角函数的图象问题;重点是“五点法”作草图的逆用:由给出 的一段函数图象求函数解析式 3、三角函数图象的对称轴或对称中心:寻求或应用;4、利用函数图象解决应用问 (三)化归能力以及关于三角函数的认知变换水平 知识要点 (一)三角函数的性质 1、定义域与值域
三角函数的图象与性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的 充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性； 寻求 型三角函数的周期以及难度较高的含有绝 对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、 型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的逆用：由给出 的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问 题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域
2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性奇函数:y=sinx,y=tanx;偶函数:y=cosx (2)J(a+9)型三角函数的奇偶性 Asin( ax+o (x∈R) g(x)为偶函数g(-x)=g(xx∈A F Asin( ax+=Asin(-ax+p( 0(x∈R) 由此得9=0=k+2(e2) 同理,8(x)=A8n(m+(x∈B)为奇函数兮m9=0兮9=km(∈2) px)=Acos(ax +o(xER) 以(x)=A(a+为偶函数兮9=k(∈2):x)=m+为奇函数 (k∈z 3、周期性 (1)基本公式 (i)基本三角函数的周期y=sinx,y=cosx的周期为2丌 y=tanx, y= cotx的周期为丌 (ii)J(ax+o)+k 型三角函数的周期 2丌 y=Amc+)+k,y=Ac8(am+列+k的周期为 丌 y=Atan(ax+o)+k, y= Acot(ax +p)+k 的周期为 (2)认知 型函数的周期 丌 y=lAin(ar+o)l y=lA cos(@ar+ol 的周期为 y1a(cx+刚y1(+l的周期为
2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性 奇函数：y＝sinx，y＝tanx； 偶函数：y＝cosx. （2） 型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝ （x∈R） g（x）为偶函数 由此得 ； 同理， 为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数 ； 为奇函数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期 y＝sinx，y＝cosx 的周期为 ； y＝tanx，y＝ cotx 的周期为 . （ⅱ） 型三角函数的周期 的周期为 ； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ） 型函数的周期 的周期为 ； 的周期为
(i)y=(a+)+≠0)的周期 y=1ax++y1(++的周期为阿 y=1ac++yAcx++的周期为1 均同它们不加绝对值时的周期相同,即对y=(a++k的解析式施加绝对值后, 该函数的周期不变注意这一点与(i)的区别. (ⅱi)若函数为f(ax+)型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法” (ⅲi〕探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验一一猜想一-证明. (3)特殊情形研究 (i)y=tanx-cotx的最小正周期为2 (i)y=}m对+kx的最小正周期为2 (ii)y=sinx+cos'x的最小正周期为2 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象. 4、单调性 (1)基本三角函数的单调区间(族) 依从三角函数图象识证“三部曲”: ①选周期:在原点附近选取那个包含全部锐角,单调区间完整,并且最好关于原点对称 的一个周期; ②写特解:在所选周期内写出函数的增区间(或减区间): ③获通解:在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函 数的增区间族(或减区间族) 循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 揭示:上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域 (2)y=J(amx+9)型三角函数的单调区间 此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解:令u=+,将所给函数分解为内、外两层:y=f(u),u=an+9 ②套用公式:根据对复合函数单调性的认知,确定出f(u)的单调性,而后利用(1) 中公式写出关于u的不等式 ③还原、结论:将u=《+φ代入②中u的不等式,解出x的取值范围,并用集合或 区间形成结论
（ⅱ） 的周期 的周期为 ； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 y＝ 的解析式施加绝对值后， 该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 （ⅰ）y＝tanx－cotx 的最小正周期为 ； （ⅱ） 的最小正周期为 ； （ⅲ）y＝sin4 x＋cos 4 x 的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 4、单调性 （1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称 的一个周期； ②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函 数的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y＝ 型三角函数的单调区间 此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令 u＝ ，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝ ； ②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f（u）的单调性，而后利用（1） 中公式写出关于 u 的不等式； ③还原、结论：将 u＝ 代入②中 u 的不等式，解出 x 的取值范围，并用集合或 区间形成结论
(二)三角函数的图象 1、对称轴与对称中心 (1)基本三角函数图象的对称性 (i)正弦曲线y=s1nx的对称物为=k丌+(∈2) 正弦曲线y=sinx的 对称中心为(k丌,0)(∈2) (ⅱi)余弦曲线y=cosx的对称轴为x=kk∈2):余弦曲线y=c0sx的对称 (k丌+-,0)(k∈z) ,0(k∈z) (ⅲi)正切曲线y=tanx的对称中心为2 正切曲线y=tanx无对称 认知 ①两弦函数的共性: x=元为两弦函数f(x)对称轴台f(为最大值或最小值;(,0)为两弦函数f(x) 对称中心兮f( ②正切函数的个性 (,0)为正切函数f(x)的对称中心兮()=0或f()不存在 (2) 型三角函数的对称性(服从上述认知) (i)对于g(x)=Ain(ax+a) g(x)=Acos(ax+) 的图象 x=为g(x)对称轴分g()为最值(最大值或最小值):(,0)为两弦函数g(x) 对称中心兮g()=0 (i)对于g(x)=Aan(+)的图象(,0)为两弦函数g(x)的对称中心分g() 0或 g(x)不存在 基本变换 (1)对称变换(2)振幅变换(纵向伸缩)(3)周期变换(横向伸缩)(4)相位变换 (左右平移)(5)上、下平移 Asin( ax+D 的图象 (1)五点作图法
（二）三角函数的图象 1、对称轴与对称中心 （1）基本三角函数图象的对称性 （ⅰ） 正弦曲线 y＝sinx 的对称轴为 ； 正弦曲线 y＝sinx 的 对称中心为（ ，0） . （ⅱ） 余弦曲线 y＝cosx 的对称轴为 ； 余弦曲线 y＝cosx 的对称 中心 （ⅲ）正切曲线 y＝tanx 的对称中心为 ； 正切曲线 y＝tanx 无对称 轴. 认知： ①两弦函数的共性： x＝ 为两弦函数 f（x）对称轴 为最大值或最小值；（ ，0）为两弦函数 f（x） 对称中心 ＝0. ②正切函数的个性： （ ，0）为正切函数 f（x）的对称中心 ＝0 或 不存在. （2） 型三角函数的对称性（服从上述认知） （ⅰ）对于 g（x）＝ 或 g（x）＝ 的图象 x＝ 为 g（x）对称轴 为最值（最大值或最小值）；（ ，0）为两弦函数 g（x） 对称中心 ＝0. （ⅱ）对于 g（x）＝ 的图象（ ，0）为两弦函数 g（x）的对称中心 ＝0 或 不存在. 2、基本变换 （1）对称变换 （2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换 （左右平移）（5）上、下平移 3、y＝ 的图象 （1）五点作图法
(2)对于A,T,@,φ的认知与寻求:①A:图像上最高点(或最低点)到平衡 位置的距离 2A:图像上最高点与最低点在y轴上投 影间的距离 ②2:图象的相邻对称轴(或对称中心)间的距离:4:图象的对称轴与相邻对称中 心间的距离 由T 得出. 解法一:运用“代点法”求解,以图象的最高点(或最低点)坐标代入为上策,若以图 象与x轴交点坐标代入函数式求φ,则须注意检验,以防所得φ值为增根 解法二:逆用“五点作图法”的过程(参见经典例题) 四、经典例题 例1、求下列函数的值域 2 sin xcos x (1) 1+sinx 2)2+snx(3)y=(4-3sinx)(4-3csx) (4) sinx+cos xl (5) y=lsin x+sin x cos xl+sin2x 分析:对于形如(1)(2)(3)的函数求值域,基本策略是(i)化归为Asn(a+ 的值域:(i)转化为sinx(或cosx)的二次函数:对于(4)(5)(6)之类含有绝对值 的函数求值域,基本策略则是(i)在适当的条件下考察y2;(i)转化为分段函数来处理 (ⅲi)运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化. 解 sin XCos x sin x(l-sinx 1+sin x 1+sin x 2sin x(1-sin x)(s 兮y=-2(sinx-2)2+-(sinx≠-1)-1<sinx≤1.0≤(sinx-2)2 y∈(-4,。] 即所求函数的值域为 得 yin x-√3cosx=-2 (2)由 2+sin x
（2）对于 A，T， ， 的认知与寻求： ①A：图像上最高点（或最低点）到平衡 位置的距离； 2A：图像上最高点与最低点在 y 轴上投 影 间的距离. ② ：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离； ：图象的对称轴与相邻对称中 心间的距离. ： 由 T＝ 得出. ③ ： 解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图 象与 x 轴交点坐标代入函数式求 ，则须注意检验，以防所得 值为增根； 解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）. 四、经典例题 例 1、求下列函数的值域： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为 的值域；（ⅱ）转化为 sinx（或 cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值 的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察 y 2；（ⅱ）转化为分段函数来处理； （ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化. 解： （1） ∵ ∴ ， 即所求函数的值域为 . （2）由
y2+3sn(x+)=-2y(其中②为辅助角 +3 注意到这里x∈R, sn(x+|≤1 2+3 4y2 ≤1 所求函数的值域为[一1,1] (3)这里少=16-12(sinx+cosx)+9 sin xcosX令sinx+cosx=t则有 Sin cost t=√2am(x+得te[-、2,2] 且由 (2-1)(-√2≤t≤√2) 于是有 94、2.7 √2≤t≤√2,0≤3(t 122 12√2 因此,所求函数的值域为2 (4)注意到这里y>0,且 +m2:m21:1)22:.1sy≤5/2即所求 函数的值域为 (5)注意到所给函数为偶函数,又当x20时,y=}m对+汕x 同理,当不≤0时,亦有0y≤2.:所求函数的值域为(9此0y≤2 60f()m十对+m2x则见r(x)为俱函数,且(x+2)=(x) 2是f(x)的一个正周期.①只需求出f(x)在一个周期上的取值范围 当x∈[,22,f(x)=mx+Cx x)=f(r) 又注意到
∴ ∴ 注意到这里 x∈R， ， ∴ ∴所求函数的值域为[－1，1]. （3 ）这 里 令 sinx＋ cosx＝ t 则 有 且由 于是有 ∵ ∴ 因此，所求函数的值域为 . （4）注意到这里 y>0，且 ∵ ∴ 即所求 函数的值域为 . （5）注意到所给函数为偶函数，又当 ∴此时 同理，当 亦有 . ∴所求函数的值域为 . （6）令 则易见 f（x）为偶函数，且 ∴ 是 f（x）的一个正周期. ① 只需求出 f（x）在一个周期上的取值范围. 当 x∈[0， ]时， 又注意到
为f(x)图象的一条对称轴② 只需求出f(x)在[0,4]上的最大值 丌 sinx+cosx=√2sn(x+ 而在[0,4]上 4递增.③in42x=(im2x)4 亦 递增④ 由③④得f(x)在[0,4]上单调递增 Jf①0)≤f(x)≤f( 1≤(x)≤1+2 于是由①、②、⑤得所求函数的值域为11+2] 点评:解(1)(2)运用的是基本化归方法:解(3)运用的是求解关于sinx+cosx 与 SInxcosX的函数值域的特定方法;解(4)借助平方转化;解(5)(6)则是利用函数性 质化繁为简,化暗为明.这一点在解(6)时表现得淋漓尽致 例2、求下列函数的周期 y=2sin'x+4sin xcos x+3cos"x:(2) y=sinx+cosx y (3) 6 (4).=sin x+2 sin x (5) y=lsin xlo Cosx 分析:与求值域的情形相似,求三角函数的周期,首选是将所给函数化为Aam(ax+ +k的形式,而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数,在不能利用已有认知的情况 下,设法转化为分段函数来处理 y=(1-cos 2x)+2sin 2x+3 1+cos 2x (2sin 2x+-cos 2x)+- 解:(1) 75n2x++5(其中辅助角= arctan1 T 丌 所求最小正周期 1-cos 2x 2 1+cos 2x Cos22x+ 11+co:4x、3 4
∴x＝ 为 f（x）图象的一条对称轴 ② ∴只需求出 f（x）在[0， ]上的最大值. 而在[0， ]上， 递增. ③ 亦 递增④ ∴由③④得 f（x）在[0， ]上单调递增. ∴ 即 ⑤ 于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 . 点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于 sinx＋cosx 与 sinxcosx 的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性 质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致. 例 2、求下列函数的周期： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为 ＋k 的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况 下，设法转化为分段函数来处理. 解： （1） ＝ ＝ ∴所求最小正周期 . （2） ＝ ＝ ＝
4x+ ∴所求周期 sin 2x-(sin 2xcos --cos 2xsin 丌 1(1--)sin2 2x+叫其中为辅助角 6-√2 (2x+q) 注意到2 的最小正周期为丌,故 丌 所求函数的周期为 3sinz,sinz≥0 nx,51nx<0.注意到3sinx及-1nx的周期为2丌 sInX (或sinx<0)的解区间重复出现的最小正周期为27 ∵所求函数的周期为27 sin2z.sinz≥0 z≥0; --sin 2x. sinx <0 sIn& COS&, 注意到s1n2x的最小正周期21=7,又sinx≥0(或sinx0)的解区间重复出现的最 小正周期2=27,这里,2的最小公倍数为2x 所求函数的周期T=2丌 点评,对于(5),令f(2)=nx03x,则由/(x+27)=f()知,2z是r(x) 的一个正周期① E(x+)=n(x+mos(x+m=-1 sinx cosx+f(x):丌不是f(x)的最小 正周期.② 于是由①②知,f(x)的最小正周期为2x 在一般情况下,探求上述一类分段函数的周期,仅考虑各段函数 11 的最小正周期的最小公倍数是不够的,还要考虑各分支中的条件区间 重复出现的最小正周期.双方结合,方可能获得正确结果
∴所求周期 . （3） ＝ ＝ ＝ .注意到 的最小正周期为 ，故 所求函数的周期为 . （4） 注意到 3sinx 及-sinx 的周期为 2 ，又 sinx≥0 （或 sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期为 2 . ∴所求函数的周期为 2 . （5） 注意到 sin2x 的最小正周期 ，又 sinx≥0（或 sinx<0）的解区间重复出现的最 小正周期 ，这里 的最小公倍数为 . ∴所求函数的周期 . 点评：对于（5），令 则由 知， 是 f（x） 的一个正周期.① 又 ∴ 不是 f（x）的最小 正周期. ② 于是由①②知，f（x）的最小正周期为 . 在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数 的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间 重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果
请大家研究()=m小 ≥0 的最小正 周期,并总结自己的有关感悟与经验 例3、已知函数的部分图象, (1)求9的值:(2)求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标 解 (1)令y=2m∝+),则由题意得f(0)=1分2amp=1 丌 f(x)=2 sin( @x+ 注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为 1,故逆用“五点作图法”得,012+6=27由此解得a=2 所求a=2 f(x)=2sin( 2x 2x+-=k丌+-(k∈2) (2)由(1)得 解得 +-(k∈z k丌 X (k∈2)2 k丌(k∈2 ∴函数f(x)图象的对称轴方程为 解 (k∈Z) 函数f(x)图象的对称中心坐标为21210(k∈z) 点评:前事不忘,后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内 图象的列表、描点过程,便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式: 9=0wx2 cmnx3+φ=丌Yx4+9=-; y=log cos(--2x) 例4、(1)函数 的单调递增区间为 f(x)=2sm(g+)在区间[,司 (2)若函数 上为单调函数,则a的最大值
请大家研究 的最小正 周期，并总结自己的有关感悟与经验. 例 3、已知函数的部分图象， （1）求 的值； （2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标. 解： （1）令 ，则由题意得 f（0）＝1 ∵ ∴ 注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为 ，故逆用“五点作图法” 得： 由此解得 ∴所求 ， . （ 2 ）由（ 1 ） 得 令 ，解得 ， ∴函数 f（x）图象的对称轴方程为 ；令 解 得 ， ∴函数 f（x）图象的对称中心坐标为 . 点评：前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内 图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式： 例 4、 （1）函数 的单调递增区间为 。 （2）若函数 上为单调函数，则 a 的最大值
y=5sn(3x--) (3)函数 4的图象的对称中心是 函数 y=sin2+co36′的图象中相邻两条对称轴的距离为 (4)把函数少=√3csx-8inx的图象向左平移m(m>0)个单位,所得的图象关于y轴 对称,则m的最小正值为 f(x)=sin( ax+p)(a>0, ld< 5)对于函数 2,给出四个论断 ①它的图象关于直线x=12对称:②它的图象关于点(3,0)对称 ③它的周期为丌:④它在区间(-6,0)上单调递增. 以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它 分析: (1)这里 的递增区间兮an(-2x)的正号递减区间兮u=sin2x 递增且sn2x<0 今2k丌--≤x<2km(k∈) k丌--≤x<k(k∈2 ∴应填442) [k丌 ∈ 丌 2k丌一一≤x+≤2丌+(∈2) (2)由f(x)递增得 3丌 今2k丌-≤x≤2k丌+=(k∈z 易见,2(2n3n 547+ k∈z 2k丌+-≤x+≤2+(∈Z) 由f(x)递减得
为 。 （3） 函数 的图象的对称中心是 。 函数 的图象中相邻两条对称轴的距离为 。 （4）把函数 的图象向左平移 m（m>0）个单位，所得的图象关于 y 轴 对称，则 m 的最小正值为 。 （5）对于函数 ，给出四个论断： ①它的图象关于直线 x＝ 对称； ②它的图象关于点（ ,0）对称； ③它的周期为 ； ④它在区间〔－ ，0〕上单调递增. 以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它 是 。 分析： （1）这里 的递增区间 的正号递减区间 递增且 ∴应填 （2）由 f（x）递增得 易见， 由 f（x）递减得