人教版高中数学必修精品教学资料 14三角函数的图象和性质小结 【学习目标】 1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性 2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的 交点等),理解正切函数在区间(z,z)内的单调性 【新知自学】 迟理 1.周期函数及最小正周期 对于函数f(x),如果存在一个非零常数,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 ,则称f(x)为周期函数,T为它的一个周期.若在所有周期中,有一个最小的正数, 则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sin X y-cos X y=tan x 图象 X∈R且x≠- 定义域 x∈R x∈R k,k∈ 值域 上递增,k∈ 上递增,k∈ 上递增,k∈ 单调性 Z:在上递减,k 在 上递减,k∈ Z Z Z (k∈Z) (k∈Z) 最值 无最值 (k∈Z) (k∈Z)
人教版高中数学必修精品教学资料 1.4 三角函数的图象和性质 小结 【学习目标】 1．能画出 y＝sin x,y＝cos x,y＝tan x 的图象,了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的 交点等),理解正切函数在区间 （ ， ） 2 2 - 内的单调性． 【新知自学】 知识梳理： 1．周期函数及最小正周期 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 __________,则称 f(x)为周期函数,T 为它的一个周期．若在所有周期中,有一个最小的正数, 则这个最小的正数叫做 f(x)的最小正周期． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 x∈R x∈R x∈R 且 x≠ π 2 ＋ kπ,k∈Z 值域 ______ ______ ______ 单调性 在______上递增,k∈ Z；在______上递减,k ∈Z 在______上递增,k∈ Z； 在______上递减,k∈ Z 在______上递增,k∈ Z 最值 x＝________(k∈Z) 时,ymax＝1； x＝________(k∈Z) x＝________(k∈Z) 时,ymax＝1；x＝ __________(k∈Z) 无最值
时,Jain=-1 奇偶性 对称中心 称 对称轴 无对称轴 最小正 周期 对点练习 1、函数y=cos(x+,x∈R() A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2.下列函数中 ,π上是增函数的是( A. y=sin x y=cos X 2x D. y=cos 2x 3.函数y=cos2x+ 2图象的一条对称轴方程是( D.x=丌 4.函数r(x)= =tan X(a>0)的图象的相邻的两支截直线y=2所得线段长为,则 值是(). A B 5.已知函数y=sinx的定义域为,值域为-1,a则b-a的值不可能是()
时,ymin＝－1 时,ymin＝－1 奇偶性 ________ ________ ________ 对 称 性 对称中心 ______ ______ ______ 对称轴 ______ ____ 无对称轴 最 小正 周期 ______ ______ ______ 对点练习： 1、函数 y＝cos x＋ π 3 ,x∈R( )． A．是奇函数 B．是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是 偶函数 2．下列函数中,在 π 2 ，π 上是增函数的是( )． A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x 3．函数 y＝cos 2x＋ π 2 的图象的一条对称轴方程是( )． A．x＝－ π 2 B．x＝－ π 4 C．x＝ π 8 D．x＝π 4．函数 f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻的两支截直线 y＝ π 4 所得线段长为π 4 ,则 f π 4 的值是( )． A．0 B．1 C．－1 D． π 4 5．已知函数 y＝sin x 的定义域为,值域为 － 1， 1 2 ,则 b－a 的值不可能是( )．
2 4丌 【合作探究】 典例精析 角函数的定义域与值域 例1、(1)求函数y= Ig sin2x+9-x定义域 2)求函数y=cos2x+sinx≤元)的最大值与最小值 超律总结 1.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象 来求解 2.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法: (1)利用sinx,cosx的值域
A． π 3 B． 2π 3 C．π D． 4π 3 【合作探究】 典例精析： 一、三角函数的定义域与值域 例 1、(1)求函数 y＝lg sin 2x＋ 9－x 2的定义域． (2)求函数 y＝cos 2 x＋sin x |x|≤ π 4 的最大值与最小值． 规律总结： 1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象 来求解． 2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用 sin x,cos x 的值域；
(2)化为y=Asin(ax+φ)+k的形式,逐步分析ax+φ的范围,根据正弦函数单调性写 出值域 (3)换元法:把 或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题 变式簇习L (1)求函数y=√sinx-cosx的定义域 已知函数=0(2-3)+21(-1).sn(+)求函数动在区间 工,正上的最大值与最小值 、三角函数的单调性 例2、(1)已知函数f(x)=2sin(ax+中),x∈R,其中a>0,一π<φ≤π.若f(x)的最 小正周期为6π,且当x=。时,f(x)取得最大值,则()
(2)化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式,逐步分析 ωx＋φ 的范围,根据正弦函数单调性写 出值域； (3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 变式练习 1： (1)求函数 y＝ sin x－cos x的定义域． (2) 已 知函 数 f(x)＝ cos 2x－ π 3 ＋ 2sin x－ π 4 ·sin x＋ π 4 , 求函数 f(x) 在区间 － π 12， π 2 上的最大值与最小值． 二、三角函数的单调性 例 2、（1）已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ),x∈R,其中 ω＞0,－π＜φ≤π.若 f(x)的最 小正周期为 6π,且当 x＝ π 2 时,f(x)取得最大值,则( )．
A.f(x)在区间上是增函数 B.f(x)在区间上是增函数 C.f(x)在区间上是减函数 D.f(x)在区间上是减函数 11 4,24」的最大值和最小值 超律总 1.熟记y=sinx,y=cosx,y=tanx的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础 2.求形如y=in(r+中)+k的单调区间时,只需把x+中看作一个整体代入y=sin 的相应单调区间即可,注意A的正负以及要先把a化为正数 变式然习2 (1)若函数y=2cosωx在区间上递减,且有最小值1,则a的值可以是( (2)函数f(x)=sin-2x+。的单调减区间为
A．f(x)在区间 上是增函数 B．f(x)在区间上是增函数 C．f(x)在区间上是减函数 D．f(x)在区间上是减函数 （2）设 a∈R,f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos 2 π 2 －x 满足 f － π 3 ＝f(0),求函数 f(x) 在 π 4 ， 11π 24 上的最大值和最小值． 规律总结： 1．熟记 y＝sin x,y＝cos x,y＝tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础． 2．求形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的单调区间时,只需把 ωx＋φ 看作一个整体代入 y＝sin x 的相应单调区间即可,注意 A 的正负以及要先把 ω 化为正数． 变式练习 2： （1）若函数 y＝2cosωx 在区间上递减,且有最小值 1,则 ω 的值可以是( ) A. 2 B. 1 2 C. 3 D. 1 3 （2）函数 f(x)＝sin －2x＋ π 3 的单调减区间为_____________．
三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性 例3、设函数f(x)=sin2ax+23 sln wX. cos x-cos2x+A(x∈R)的图象关于直 线x=x对称,其中,为常数且 (1)求函数f(x)的最小正周期 (2)若y=(的图象经过点(,0,求函数n()的值域 超律总 求三角函数周期的方法: (1)利用周期函数的定义 (2)公式法:y=sin(ox+中)和y=os(ax+中)的最小正周期为,y=tan(ax+φ)
三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性 例 3、设函数 f(x)＝sin2ωx＋2 3sin ωx·cos ωx－cos 2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直 线 x＝π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈ 1 2 ，1 . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 y＝f(x)的图象经过点 π 4 ，0 ,求函数 f(x)的值域． 规律总结： 求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义； (2)公式法：y=Asin(ωx＋φ)和 y=Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 2π |ω| ,y=tan(ωx＋φ)
的最小正周期为 变式篑习3:已知函数f(x)=(sinx-cosx)sinx,x∈R,则f(x)的最小正周期是 【课堂小结】 【当堂达标】 1.若函数f(x)=sin (中∈)是偶函数,则中=() 3π 2.函数y=1n(sinx-cosx)的定义域为 3.函数r=2sn(x-4)的单调递增区间为 4.设函数f(x)=cos2x+。+sin2x (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期 (2)设,BC为△ABC的三个内角,若cB3,1,)=4且C为锐角,求sinA 5.已知函数f(x)=sinx(osx-sinx) (1)求函数f(x)的最小正周期
的最小正周期为 π |ω| ； 变式练习 3：已知函数 f(x)＝(sin x－cos x)sin x,x∈R,则 f(x)的最小正周期是________． 【课堂小结】 【当堂达标】 1．若函数 f(x)＝sin x＋φ 3 (φ∈)是偶函数,则 φ＝( )． A． π 2 B． 2π 3 C． 3π 2 D． 5π 3 2．函数 y＝ln(sin x－cos x)的定义域为__________． 3．函数 y＝2sin x－ π 4 的单调递增区间为__________． 4．设函数 f(x)＝cos 2x＋ π 3 ＋sin2 x. (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期． (2)设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,若 cos B＝ 1 3 , ) 2 C f( =- 1 4 ,且 C 为锐角,求 sin A. 5．已知函数 f(x)＝sin x(cos x－ 3sin x)． (1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)将函数y=sin2x的图象向左平移A00)的两个相邻零点之间的距离为12则o的值为() A.3B.6 C.12D.24 5.函数f(x)=cos(2x+)(x∈R),下面结论不正确的是() A.函数f(x)的最小正周期为丌
(2)将函数 y＝sin 2x 的图象向左平移 a 00)的两个相邻零点之间的距离为π 12,则ω的值为( ) A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 5.函数 f(x)＝cos(2x＋ 3π 2 )(x∈R),下面结论不正确的是( ) A. 函数 f(x)的最小正周期为 π
B.函数f(x)的对称中心是(。,0) C.函数f(x)的图象关于直线x=对称 D.函数f(x)是偶函数 6、若0<0<2,g()=sin(2x+4+a是偶函数,则a的值为 7、函数y=2sin(3x+中)中|< 条对称轴为x=1,则中= 8、函数y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形.则φ= 9若函数f(x)=2tan(kx+-)的最小正周期T满足1<R2,则自然数k的值为 10.设二次函数f(x)=x2+bx+c(bc∈R),已知不论a、B为何实数恒有f(sina)≥0和f(2+cos B)≤0 (1)求证:b+c=-1 (2)求证c≥3 (3)若函数f(sina)的最大值为8,求b,c的值 11、有一块半径为R,中心角为45°的扇形铁皮材料,为了获取面积最大的矩形铁皮,工人师傅 常让矩形的一边在扇形的半径上,然后作其最大内接矩形,试问:工人师傅是怎样选择矩形的 四点的?并求出最大面积值
B. 函数 f(x)的对称中心是( π 2 ,0) C. 函数 f(x)的图象关于直线 x＝ π 4 对称 D. 函数 f(x)是偶函数 6、若 0＜α＜ π 2 ,g (x)＝sin 2x＋ π 4 ＋α 是偶函数,则 α 的值为________． 7、函数 y＝2sin(3x＋φ) |φ|＜ π 2 的一条对称轴为 x＝ π 12,则 φ＝________. 8、函数 y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则 φ＝________. 9.若函数 f(x)＝2tan(kx＋ π 3 )的最小正周期 T 满足 1<T<2,则自然数 k 的值为________． 10. 设二次函数 f(x)=x 2 +bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有 f(sinα)≥0和 f(2+cos β)≤0. (1)求证：b+c=－1； (2)求证 c≥3； (3)若函数 f(sinα)的最大值为 8,求 b,c 的值. 11、有一块半径为 R,中心角为 45°的扇形铁皮材料,为了获取面积最大的矩形铁皮,工人师傅 常让矩形的一边在扇形的半径上,然后作其最大内接矩形,试问：工人师傅是怎样选择矩形的 四点的？并求出最大面积值
12、是否存在实数a,使得函数=s1 n'rta. cosx5a-3在闭区间[0,x]上的最大值是12 若存在,求出对应的a值:若不存在,试说明理由 【延伸探究】 设(=2计2其中也若=(一切恒成 ①12 ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数 ④f()的单调递增区间是k丌+6,hx2(k∈Z)
12、是否存在实数 a,使得函数 y=sin2 x+a·cosx+ 8 5 a－ 2 3 在闭区间［0, 2 ］上的最大值是 1？ 若存在,求出对应的 a 值；若不存在,试说明理由. 【延伸探究】 设 f(x)＝asin 2x＋bcos 2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤ f π 6 对一切 x∈R 恒成立, 则 ①f 11π 12 ＝0 ② f 7π 10 ＜ f π 5 ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数 ④f(x)的单调递增区间是 kπ＋ π 6 ，kπ＋ 2π 3 (k∈Z)