三角函数的图形与性质教学设计 正弦、余弦函数的图象 教学目标: 知识目标:(1)利用单位圆中的三角函数线作出y=sinx,x∈R的图象,明确图 象的形状 (2)根据关系cosx=sm(x+2),作出y=cosx,x∈R的图象; (3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些有关 问题; 能力目标:(1)理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法; (2)理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法; 德育目标:通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不苟的学 习和工作精神 教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象; 教学难点:作余弦函数的图象。 教学过程: 、复习引入 1.弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 2.正、余弦函数定义:设a是一个任意角,在a的终边上任取(异于原点的) 点P(x,y) P与原点的距离r(r=时+计=x2+y2>0) ∥xy 则比值2叫做a的正弦记作:sna=y r α 比值_叫做a的余弦记作:cosa x 3.正弦线、余弦线:设任意角a的终边与单位圆相交于点P(x,y),过P 作x轴的垂线,垂足为M,则有 sin a= y= MP. cosa=x=om a的终边 向线段MP叫做角a的正弦线,有向线段OM叫做角a 的余弦线 讲解新课: 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法):为了 作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都 为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线 的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识 (1)函数y=sinx的图象
1 三角函数的图形与性质教学设计 正弦、余弦函数的图象 教学目标： 知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出 y = sin x, x R 的图象，明确图 象的形状； （2）根据关系 ) 2 cos sin( x = x + ，作出 y = cos x, x R 的图象； （3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关 问题； 能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； （2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学 习和工作精神； 教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 教学难点：作余弦函数的图象。 教学过程： 一、复习引入： 1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 2.正、余弦函数定义：设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的） 一点 P（x,y） P 与原点的距离 r( 0 2 2 2 2 r = x + y = x + y ) 则比值 r y 叫做 的正弦 记作： r y sin = 比值 r x 叫做 的余弦 记作： r x cos = 3.正弦线、余弦线：设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x，y)，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，则有 MP r y sin = = ， OM r x cos = = 向线段 MP 叫做角α的正弦线，有向线段 OM 叫做角α 的余弦线． 二、讲解新课： 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了 作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都 为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线 的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识． （1）函数 y=sinx 的图象 r (x,y) P
第一步:在直角坐标系的x轴上任取一点O,以O为圆心作单位圆,从这 个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段 分成n(这里n=12)等份.(预备:取自变量x值一弧度制下角与实数的对应) 第二步:在单位圆中画出对应于角0.z,五,x,…,2π的正弦线正弦线 (等价于“列表”).把角ⅹ的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点ⅹ重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描 点”) 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 =sinx,x∈[0,2π]的图象 根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向右和向左连续 地平行移动,每次移动的距离为2π,就得到y=sinx,x∈R的图象 把角x(x∈R)的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x 重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象 xx氮 2 (2)余弦函数y=cosx的图象 探究1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换 得到余弦函数的图象? 根据诱导公式cosx=sin(x+x),可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移z 单位即得余弦函数y=cosx的图象.(课件第三页“平移曲线”) 正 弦函 的 图象 和余 弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点?
2 第一步：在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ，以 O1 为圆心作单位圆，从这 个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π这一段 分成 n(这里 n=12)等份.（预备：取自变量 x 值—弧度制下角与实数的对应）. 第二步：在单位圆中画出对应于角 6 0, ， 3 ， 2 ,…，2π的正弦线正弦线 （等价于“列表” ）.把角 x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描 点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数 y=sinx，x∈[0，2π]的图象． 根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续 地平行移动，每次移动的距离为 2π，就得到 y=sinx，x∈R 的图象. 把角 x ( ) x R 的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象. （2）余弦函数 y=cosx 的图象 探究 1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换 得到余弦函数的图象？ 根据诱导公式 cos sin( ) 2 x x = + ,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移 2 单位即得余弦函数 y=cosx 的图象. （课件第三页“平移曲线” ） 正 弦 函 数 y=si nx 的 图 象 和 余 弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ y=cosx y=sinx 2 3 4 5 6 - -2 -5 -4 -3 -6 -6 -5 -4 -3 -2 - 4 5 6 2 3 -1 1 y x -1 1 o x y
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) 正弦函数y=sinx,x∈[0,2x]的图象中,五个关键点是:(0,0)(x,1)(m,0) 余弦函数y= COSX X∈[0,2r]的五个点关键是哪几个?(0,1)(z,0)(π,-1) (,0)(2π,1) 只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时, 常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握 优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以 3、讲解范例: 例1作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2r] (2) y=-COSx 探究2.如何利用y=sinx,x∈(0,2π)的图象,通过图形变换(平移、翻 转等)来得到 (1)y=1+sinx,x∈(0,2π)的图象 (2)y=sin(x-/3)的图象? 小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动 探究3 如何利用y=cosx,x∈(0,2π)的图象,通过图形变换(平移、翻转 等)来得到y=-cosx x∈(0,2π)的图象? 小结:这两个图像关于X轴对称 探究4. 如何利用y=cosx,x∈(0,2π)的图象,通过图形变换(平移、翻转等) 来得到y=2-cosx,x∈(0,2m)的图象? 小结:先作y=cosx图象关于x轴对称的图形,得到y=-cosx的图象, 再将y=-cosx的图象向上平移2个单位,得到y=2-cosx的图象。 探究5 不用作图,你能判断函数y=sin(x-3m/2)和y=cosx的图象有何关系吗?请 在同一坐标系中画出它们的简图,以验证你的猜想。 /sH: sin(x-3 J/2)=sin[(X-3 /2)+2 =sin (x+ I/2)=cosx 这两个函数相等,图象重合。 例2分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的x的集合 (1)sinx≥ (2)cosx≤=,(0<x< 三、巩固与练习 四、小结:本节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦曲线几何画法和五点法 2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系 五、课后作业:练习1,2
3 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数 y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) ( 2 ,1) (,0) ( 2 3 ,-1) (2,0) 余弦函数 y=cosx x[0,2]的五个点关键是哪几个？(0,1) ( 2 ,0) (,-1) ( 2 3 ,0) (2,1) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时， 常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握． 优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 3、讲解范例： 例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx，x∈[0，2π]， （2）y=-COSx 探究 2． 如何利用 y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻 转等）来得到 （1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？ 小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。 探究３． 如何利用 y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转 等）来得到 y＝-cosx ， ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：这两个图像关于 X 轴对称。 探究４． 如何利用 y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等） 来得到 y＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：先作 y=cos x 图象关于 x 轴对称的图形，得到 y＝-cosx 的图象， 再将 y＝-cosx 的图象向上平移 2 个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。 探究５． 不用作图，你能判断函数 y=sin( x - 3π/2 )和 y=cosx 的图象有何关系吗？请 在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。 小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx 这两个函数相等，图象重合。 例 2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的 x 的集合： 1 (1) sin ; 2 x 1 5 (2) cos , (0 ). 2 2 x x 三、巩固与练习 四、小 结：本节课学习了以下内容： 1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系 五、课后作业：练习 1，2
正弦、余弦函数的性质(1) 教学目的: 知识目标:要求能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义 能力目标:掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最 小正周期。 德育目标:让学生自己根据函数图像而导出周期性,领会从特殊到一般的数学思 想,体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣 教学重点:正、余弦函数的周期性 教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用 教学过程: 、复习引入: 1.问题:(1)今天是星期一,则过了七天是星期几?过了十四天呢?… (2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢? 2.观察正(余)弦函数的图象总结规律 自变量-2x3--2/0z|3z 2丌 函数值 0 10 °规律是:每隔2π重复出现一次(或者说每隔2kπ,k∈Z重复出 现) 3°这个规律由诱导公式sin(2k元+x)=sinx可以说明 结论:象这样一种函数叫做周期函数 文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得 符号语言:当x增加2kr(k∈Z)时,总有 f(x+2kr)=sin(x+2kT)=sinx=f(x) 也即:(1)当自变量x增加2kπ时,正弦函数的值又重复出现 (2)对于定义域内的任意x,sin(x+2kx)=sinx恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 、讲解新课 1.周期函数定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的每一个值时,都有:f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期 问题:(1)对于函数y=mx,x∈R相b3smn2,能否说是它的
4 正弦、余弦函数的性质（1） 教学目的： 知识目标：要求能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义； 能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最 小正周期。 德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊到一般的数学思 想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 教学重点：正、余弦函数的周期性 教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 教学过程： 一、复习引入： 1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律： 自变量 x −2 3 2 − − 2 − 0 2 3 2 2 函数值 sin x 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 正弦函数 f x x ( ) sin = 性质如下： （观察图象） 1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； 2 规律是：每隔 2重复出现一次（或者说每隔 2k,kZ 重复出 现） 3 这个规律由诱导公式 sin(2k+x)=sinx 可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言：当 x 增加 2k （ k Z ）时，总有 f x k x k x f x ( 2 ) sin( 2 ) sin ( ) + = + = = ． 也即：（1）当自变量 x 增加 2k 时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意 x ，sin( 2 ) sin x k x + = 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课： 1．周期函数定义：对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义 域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数， 非零常数 T 叫做这个函数的周期。 问题：（1）对于函数 y x = sin ，x R 有 2 sin( ) sin 6 3 6 + = ，能否说 2 3 是它的 – – 2 2 − −5 −2 − O 2 5 x y 1 −1
周期? (2)正弦函数y=sinx,x∈R是不是周期函数,如果是,周期是多少? (2k丌,k∈Z且k≠0) (3)若函数f(x)的周期为T,则kT,k∈z也是f(x)的周期吗?为什 么 (是,其原因为:f(x)=f(x+T)=f(x+27)=…=f(x+kT) 2、说明:1°周期函数x∈定义域M,则必有x+T∈M,且若T>0则定义域无上界; T<0则定义域无下界 2。“每一个值”只要有一个反例,则f(x)就不为周期函数(如f(x0+t)≠f (x) 3T往往是多值的(如y=sinx2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期)周 期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正 周期) y=sinx,y=cosx的最小正周期为2π(一般称为周期) 从图象上可以看出y=sinx,x∈R;y=cosx,x∈R的最小正周期为2r 判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期?(f(x)=c没有最小 正周期) 3、例题讲解 例1求下列三角函数的周期:①y=3cosx②y=sn2x(3) y=2sin(x-2),x∈R 解:(1)∵3cos(x+2丌)=3cosx ∴自变量x只要并且至少要增加到x+2丌,函数y=3cosx,x∈R的值才能 重复出现, 所以,函数y=3cosx,x∈R的周期是2丌 (2). sin(2x+2r)=sin 2(x+r)=sin 2x, ∴自变量x只要并且至少要增加到x+丌,函数y=sin2x,x∈R的值才能重 复出现 所以,函数y=sin2x,x∈R的周期是 (3). 2sin(x-+2x)=2sin[-(x+r)-]=2sinGx--) ∴自变量x只要并且至少要增加到x+x,函数y=sin2x,x∈R的值才能
5 周期？ （2）正弦函数 y x = sin ， x R 是不是周期函数，如果是，周期是多少？ （ 2k ， k Z 且 k 0 ） （3）若函数 f x( ) 的周期为 T ，则 kT ， * k Z 也是 f x( ) 的周期吗？为什 么？ （是，其原因为： f x f x T f x T f x kT ( ) ( ) ( 2 ) ( ) = + = + = = + ） 2、说明：1周期函数 x定义域 M，则必有 x+TM, 且若 T>0 则定义域无上界； T<0 则定义域无下界； 2“每一个值”只要有一个反例，则 f (x)就不为周期函数（如 f (x0+t)f (x0)） 3T 往往是多值的（如 y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周 期 T 中最小的正数叫做 f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正 周期） y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2 （一般称为周期） 从图象上可以看出 y x = sin ，x R ； y x = cos ，x R 的最小正周期为 2 ； 判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （ f x c ( ) = 没有最小 正周期） 3、例题讲解 例 1 求 下 列 三 角 函 数 的 周 期 ： ① y = 3cos x ② y = sin 2x （ 3 ） 1 2 sin( ) 2 6 y x = − ， x R ． 解：（1）∵ 3cos( 2 ) 3cos x x + = ， ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x + 2 ，函数 y x = 3cos ， x R 的值才能 重复出现， 所以，函数 y x = 3cos ， x R 的周期是 2 ． （2）∵ sin(2 2 ) sin 2( ) sin 2 x x x + = + = ， ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x + ，函数 y x = sin 2 ，x R 的值才能重 复出现， 所以，函数 y x = sin 2 ， x R 的周期是 ． （3）∵ 1 1 1 2sin( 2 ) 2sin[ ( ) ] 2sin( ) 2 6 2 6 2 6 x x x − + = + − = − ， ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x + ，函数 y x = sin 2 ， x R 的值才能
重复出现 所以,函数y=sin2x,x∈R的周期是x 练习1。求下列三角函数的周期 y=sin(x+) os2x3°y=3sin(x+z) 解:10令z=x+z而sin(2π+z)=sinz即:f(2x+z)=f(z) f[(x+2)+x]=f(x+z)∴周期T=2r ∴f(x)=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+x)] 即:f(x+x)=f( 3°令z=x+x则:f(x)=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(x+x+2π) x+4丌 ∴T=4π 思考:从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量 有关? 说明:(1)一般结论:函数y=Asin(Ox+q)及函数y=Acos(ox+q),x∈R(其 中A,O,q为常数,且A≠0,o>0)的周期T 丌 (2)若O<0,如:①y=3cos(-x):②y=sin(-2x);③y=2sin( 26 x∈R 则这三个函数的周期又是什么?一般结论:函数y=Asin(Ox+g)及函数 y=Acos(ox+),x∈R的周期T= 思考:求下列函数的周期:1°y=sin(2x+2)+2cos(3x-z)2°y=|sinx 解:1°y=sin(2x+)最小正周期T=π y2=2cos(3x-z)最小正 周期T=2z ∴T为T,T2的最小公倍数2x∴T=2兀20T=π作图 三、巩固与练习1,2,3 四、小结:本节课学习了以下内容: 周期函数的定义,周期,最小正周期 五、课后作业:练习册一一正弦函数图象和性质
6 重复出现， 所以，函数 y x = sin 2 ， x R 的周期是 ． 练习 1。求下列三角函数的周期： 1 y=sin(x+ 3 ) 2 y=cos2x 3 y=3sin( 2 x + 5 ) 解：1 令 z= x+ 3 而 sin(2+z)=sinz 即：f (2+z)=f (z) f [(x+2)+ 3 ]=f (x+ 3 ) ∴周期 T=2 2令 z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)] 即：f (x+)=f (x) ∴T= 3令 z= 2 x + 5 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin( 2 x + 5 +2) =3sin( 2 5 4 + x + )=f (x+4) ∴T=4 思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量 有关？ 说明：（1）一般结论：函数 y A x = + sin( ) 及函数 y A x = + cos( ) ，x R （其 中 A, , 为常数，且 A 0， 0 ）的周期 2 T = ； （2）若 0 ，如：① y x = − 3cos( ) ； ② y x = − sin( 2 ) ； ③ 1 2sin( ) 2 6 y x = − − ， x R ． 则这三个函数的周期又是什么？一般结论：函数 y A x = + sin( ) 及函数 y A x = + cos( ) ， x R 的周期 2 | | T = 思考： 求下列函数的周期： 1y=sin(2x+ 4 )+2cos(3x- 6 ) 2 y=|sinx| 解：1 y1=sin(2x+ 4 ) 最小正周期 T1= y2=2cos(3x- 6 ) 最小正 周期 T2= 3 2 ∴T 为 T1 ,T2的最小公倍数 2 ∴T=2 2 T= 作图 三、巩固与练习 1，2，3 四、小 结：本节课学习了以下内容： 周期函数的定义，周期，最小正周期 五、课后作业：练习册——正弦函数图象和性质 y o x 1 - 1 − - 2 3
正弦、余弦函数的性质(2 教学目的: 知识目标:要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性; 能力目标:掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数的单调 区间 德育目标:激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍 不拔的意志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 教学重点:正、余弦函数的奇、偶性和单调性 教学难点:正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 教学过程 、复习引入:偶函数、奇函数的定义,反映在图象上,说明函数的图象有 怎样的对称性呢? 讲解新课 奇偶性 请观察正、余弦函数图形,说出函数图象有怎样的对称性?其特点是什么? (1)余弦函数的图形:当自变量取一对相反数时,函数y取同一值 例如:f(x)=1,f(x)=1,即f(-x)=f( 由于cos(-x)=cosx 3232 3 以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数y=cosx的图象上的任 点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上,这时,我们 说函数y=cosx是偶函数。 (2)正弦函数的图形:观察函数y=sinx的图象,当自变量取一对相反数时, 它们对应的函数值有什么关系? 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关 于原点对称。 也就是说,如果点(x,y)是函数y=sinx的图象上任一点,那么与它关于原 点对称的点(-x,-y)也在函数y=sinx的图象上,这时,我们说函数y=sinx是 奇函数。 2单调性:从y=sinx,x∈[-z,]的图象上可看出 当x∈[一z,z]时,曲线逐渐上升,sinx的值由-1增大到1 当x∈[,3]时,曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到-1 结合上述周期性可知:正弦函数在每一个闭区间[-2+2k +2k (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[z+2km,z+ 2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到一1 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增加到1
7 正弦、余弦函数的性质(2) 教学目的： 知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性； 能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调 区间。 德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍 不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性； 教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 教学过程： 一、 复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有 怎样的对称性呢？ 二、讲解新课： 1. 奇偶性 请观察正、余弦函数图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？ (1)余弦函数的图形：当自变量取一对相反数时，函数 y 取同一值。 例如：f(- 3 )= 2 1 ,f( 3 )= 2 1 ,即f(- 3 )=f( 3 )；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数 y=cosx 的图象上的任一 点,那么,与它关于 y 轴的对称点(-x,y)也在函数 y=cosx 的图象上，这时，我们 说函数 y=cosx 是偶函数。 (2)正弦函数的图形：观察函数 y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时， 它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关 于原点对称。 也就是说，如果点（x,y）是函数 y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原 点对称的点（-x,-y）也在函数 y=sinx 的图象上，这时，我们说函数 y=sinx 是 奇函数。 2.单调性：从 y＝sinx，x∈［－ 2 3 , 2 ］的图象上可看出： 当 x∈［－ 2 ， 2 ］时，曲线逐渐上升，sinx 的值由－1 增大到 1. 当 x∈［ 2 ， 2 3 ］时，曲线逐渐下降，sinx 的值由 1 减小到－1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－ 2 ＋2kπ， 2 ＋2kπ］ (k∈Z)上都是增函数，其值从－1 增大到 1；在每一个闭区间［ 2 ＋2kπ， 2 3 ＋ 2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从 1 减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1 增加到 1；
在每一个[2kπ,(2k+1)](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到1 3.有关对称轴:观察正、余弦函数的图形,可知y=sinx的对称轴为x=kr+z ∈Zy=cosx的对称轴为x=kxk∈Z 练习1写出y=3sm2x对称轴;2.y=sn(x+2)的一条对称轴是(C) (A)x轴,(B)y轴,(C)直线x=2,(D)直线x= 4.例题讲解 例1判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)= 1+sin x+cos x ( 2)f(x)=lg(sin x+V1+sin'x) 例2函数f(x)=sinx图象的对称轴是 对称中心是 例3.不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0 ① )-cos(-丌) 思考:你能求y=sn 32x)x∈-2n2n}的单调递增区间吗 练习2:练习 三、小结:本节课学习了以下内容:正弦、余弦函数的性质 1.单调性2.奇偶性3.周期性 五、课后作业:练习册 正切函数的性质与图象 教学目的: 知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象 2.用正切函数图象解决函数有关的性质 能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法; 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象 教学难点:正切函数的性质。 教学过程: 、复习引入: 问题:1、正弦曲线是怎样画的?2、练习:画出下列各角的正切线 的终边a的终边 的终边 下面我们来作正切函数的图象 二、讲解新课
8 在每一个［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从 1 减小到－1. 3.有关对称轴：观察正、余弦函数的图形，可知 y=sinx 的对称轴为 x= 2 k + k ∈Z y=cosx 的对称轴为 x= k k∈Z 练习 1.写出 y = 3sin 2x 对称轴；2. ) 4 sin( y = x + 的一条对称轴是（ C ） (A) x 轴， (B) y 轴， (C) 直线 4 x = ， (D) 直线 4 x = − 4.例题讲解 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1) 1 sin cos ( ) ; 1 sin cos x x f x x x + − = + + (2) 2 f x x x ( ) lg(sin 1 sin ); = + + 例 2 函数 f(x)＝sinx 图象的对称轴是 ；对称中心是 . 例 3．不通过求值，指出下列各式大于 0 还是小于 0； ① ) 10 ) sin( 18 sin( − − − ② ) 4 17 ) cos( 5 23 cos(− − − 思考：你能求 ) [ 2 ,2 ] 2 1 3 sin( y = − x x − 的单调递增区间吗？ 练习 2：练习 三、小 结：本节课学习了以下内容：正弦、余弦函数的性质 1． 单调性 2． 奇偶性 3． 周期性 五、课后作业：练习册。 正切函数的性质与图象 教学目的： 知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象； 2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法； 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。 教学过程： 一、复习引入： 问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线： 下面我们来作正切函数的图象． 二、讲解新课：
1.正切函数y=tanx的定义域是什么 x|x≠+kr,k∈ 2.正切函数是不是周期函数?:tan(x+m)=tanx|x∈R且x≠kx+n,k∈ 是y=mx(x∈R且x本kx+k∈=)的一个周期 丌是不是正切函数的最 小正周期?下面作出正切函 数图象来判断。 3作ymnx,xE(-52 的图象 2 说明:(1)正切函数的最小 正周期不能比丌小,正切函 数的最小正周期是x; (2)根据正切函数 的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数 y=anxx∈R,且x≠x+kz(ke)的图象,称“正切曲线”。 y 订曲线是由应平行的+号(所开的无穷 多支曲线组成的 4.正切函数的煙质 导学生观察,共伺获得 (1)定义域:{xxx+kx,k∈ (2)值域:R观察:当x从小于kx+(k∈),x一→k+时,tanx-)+ 当x从大于z+kr(k∈:),x-→x+kz时,amnx→-。 (3)周期性:T=z;(4)奇偶性:由an(-x)=-tanx知,正切函数是奇函数 (5)单调性:在开区间|-z+kx,x+kxk∈z内,函数单调递增。 讲解范例1比叫()与(y)的大小
9 1．正切函数 y x = tan 的定义域是什么？ x x + k , k z 2 | 2．正切函数是不是周期函数？ tan tan , , ( ) 2 x x x R x k k z + = + 且 ， ∴ 是 tan , , 2 y x x R x k k z = + 且 的一个周期。 是不是正切函数的最 小正周期？下面作出正切函 数图象来判断。 3．作 y x = tan ，x − 2 , 2 的图象 说明：（1）正切函数的最小 正周期不能比 小，正切函 数的最小正周期是 ； （2）根据正切函数 的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 y = tan x x R ，且 x + k (k z) 2 的图象，称“正切曲线”。 （3）正切曲线是由被相互平行的直线 ( ) 2 x k k Z = + 所隔开的无穷 多支曲线组成的。 4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域： x x + k , k z 2 | ； （2）值域：R 观察：当 x 从小于 k + (k z) 2 ， 2 x ⎯→k + 时， tan x ⎯⎯→ + 当 x 从大于 + k (k z) 2 ， x ⎯→ + k 2 时， tan x ⎯→− 。 （3）周期性： T = ；（4）奇偶性：由 tan(− x) = −tan x 知，正切函数是奇函数； （5）单调性：在开区间 k k k z − + + 2 , 2 内，函数单调递增。 5.讲解范例：例 1 比较 − 4 13 tan 与 − 5 17 tan 的大小 奎屯 王新敞 新疆 O 0 2 3 − 2 − 2 2 3 y y
=-tan =-tan ,y=tanx在0 内单调递增 2丌 2丌 tan -tan 17x例2:求下 列函数的周期: (1)y=3 tan x+ 答:T=丌。(2)y=tan3x-2答:T=z 说明:函数y=m(ox+)(4≠00≠0)的周期T=x 例3:求函数y=mn{3x-x}的定义域、值域,指出它的周期性、单调性, 解:1、由3x-x≠k+得x≠k+5,定义域为 x|x∈R,且x≠ 2、值域为R,周期T=x,3、在( k I k5)(k∈)上为增。 318318 练习1:求函数y=an{zx+引}的定义域、周期性、单调性 解:定义域:{x1x∈R且x≠kx+互,k∈:值域:R在(kx-3x,kx+)上是增 函数练习2:教材2、3、4、5、6题 解:画出y=tanx在(-z,z)上的图象,此区间上满足tanx>0的x的范围 为:0< 在x∈R,且x≠k+x上满足的x的取值范围为(km,kx+x)(k∈Z) 思考2:你能用图象求函数y=√anx-√3的定义域吗? 解:由tanx-√3≥0得tanx≥√3,利用图象知,所求定义域为 k∈Z z
10 解： tan 4 13 tan = − − 4 ， 5 2 tan 5 17 tan = − − ， = 2 , tan 0, 5 2 4 0 y x在 内单调递增 − − − − 5 17 tan 4 13 , tan 5 2 tan 4 , tan 5 2 tan 4 tan 即 例 2：求下 列函数的周期： （1） 3tan 5 y x = + 答： T = 。（2） tan 3 6 y x = − 答： 3 T = 。 说明：函数 y A x A = + tan 0, 0 ( )( ) 的周期 T = ． 例 3：求函数 = − 3 tan 3 y x 的定义域、值域，指出它的周期性、单调性， 解：1、由 3 2 3 x − k + 得 18 5 3 + k x ，定义域为 + k z k x x R x , 18 5 3 | , 且 2、值域为 R，周期 3 T = ， 3、在 (k z) k k − + 18 5 3 , 3 18 上为增。 练习 1：求函数 = + 2 3 tan y x 的定义域、周期性、单调性。 解：定义域： x x R x k + , k z 4 | 且 值域：R 在 ) 4 , 4 3 ( k − k + 上是增 函数 奎屯 王新敞 新疆 练习 2：教材 2、3、4、5、6 题 解：画出 y＝tanx 在(－ 2 ， 2 )上的图象，此区间上满足 tanx＞0 的 x 的范围 为：0＜x＜ 2 在 x∈ R，且 x≠kπ＋ 2 上满足的 x 的取值范围为(kπ，kπ＋ 2 )(k∈Z) 思考 2：你能用图象求函数 y x = − tan 3 的定义域吗？ 解：由 tan 3 0 x − 得 tan 3 x ，利用图象知，所求定义域为 , ( ) 3 2 k k k Z + + ， y 0 x T A 3 2 0 y x 3 3