1.5函数y=Asin(ox+q)的图象 班级_姓名 学习目标: 1、理解φ对y=sin(x+q)的图象的影响,o对y=sn(ox+o)的图象的影响A对y=Asin(ox+q)的 图象的影响 2.通过探究图象变换,会用图象变换法画出y=Asin(ox+p)图象的简图,并会用“五点法画出 函数y=Asin(ox+q)的简图 教学重点:讨论字母q、0、A变化时对函数图象的形状和位置的影响掌握函数y=Asin(ox+q) 图象的简图的作法 教学难点:由正弦曲线y=snx到y=Asn(ox+q)的图象的变换过程 教学过程 :从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ox+q)存在着怎样的关系? 接下来我们就分别探索φ、、A对y=Asin(ox+)的图象的影响 (一)探索A对y=Asox+q),x∈R的图象的影响。【振幅变换】 例1画出函数y=2sinx,x∈R,y=inx,x∈R的简图 X sIn x 2sin x Sin x 结论:一般地,函数y=Ainx,x∈R(其中A>0且A≠1)的图象,可以看作把正弦曲 线上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标 不变)而得到。函数y= asin,x∈R的值域是-A,A|,最大值是A,最小值是-A。 注:A引起图象的纵向伸缩,它决定函数的最大(最小)值,我们把A叫做振幅
1 1. 5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 班级 姓名 学习目标： 1、理解 φ 对 y=sin(x+φ)的图象的影响,ω 对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响,A 对 y=Asin(ωx+φ)的 图象的影响. 2.通过探究图象变换,会用图象变换法画出 y=Asin(ωx+φ)图象的简图,并会用“五点法”画出 函数 y=Asin(ωx+φ)的简图. 教学重点：讨论字母 φ、ω、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响,掌握函数 y=Asin(ωx+φ) 图象的简图的作法. 教学难点：:由正弦曲线 y=sinx 到 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程. 教学过程： ：从图象上看,函数 y=sinx 与函数 y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系? 接下来,我们就分别探索 φ、ω、A 对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响. （一） 探索 A 对 y=Asin(ωx+φ)， xR 的图象的影响。【振幅变换】 例 1 画出函数 y=2sinx， x∈R ，y= sinx，x∈R 的简图 结论：一般地，函数 y=Asinx， x∈R （其中 A＞0 且 A≠1）的图象，可以看作把正弦曲 线上所有点的纵坐标伸长（当 A＞1 时）或缩短（当 0＜A＜1 时）到原来的 A 倍（横坐标 不变）而得到。函数 y=Asinx， x∈R 的值域是[－A，A]，最大值是 A，最小值是－A。 注：A 引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小） 值,我们把 A 叫做振幅。 sin x 2 1 2sin x sin x x 2 1
1已知函数y=3snx的图象为C为了得到函数y=4sinx的图象,只要把C上所有的点() (4横坐标伸长到原来的一倍纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 (C)纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变 (D)纵坐标缩短到原来的倍横坐标不变 (二)探索φ对y=Asin(ox+p),x∈R的图象的影响。【相位变换】 例2画出函数Y=Sin(X+),X∈R,Y=Sin(X-"),X∈R的简图 结论:函数y=sin(x+q)(q40)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当q>0 时)或向右(当φ<0时平行移动个单位而得到的 注:φ引起图象的左右平移,它改变图象的位置不改变图象的形状中叫做初相,故这种变换 叫做相位变换 2
2 （二） 探索 φ 对 y=Asin(ωx+φ)， xR 的图象的影响。【相位变换】 例 2 画出函数 Y=Sin (X+ 3 ),X∈R ， Y=Sin(X- 4 ) ,X∈R 的简图。 结论：函数 y=sin(x+)(0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当 >0 时)或向右(当 <0 时)平行移动||个单位而得到的. 注: 引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改变图象的形状.φ叫做初相， 故这种变换 叫做相位变换 纵坐标缩短到原来的 倍 横坐标不变 纵坐标伸长到原来的 倍 横坐标不变 横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 横坐标伸长到原来的 倍 纵坐标不变 , 4 3 ( ) , 3 4 ( ) , 4 3 ( ) , 3 4 ( ) D C B A 1.已知函数y = 3sin x的图象为C.为了得到函数y = 4sin x的图象，只要把C上所有的点（）
练习:1.若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y=sin(x+),则 原来的函数表达式为( Ay=sin(x+ By=smx个 C Dy=sin(r+4-T 2、已知函数y=3sn(x+2)的图象为C,为了得到函数y=3sn(x-2)的图象,只要把 C上的所有点( A向右平行移动一个单位长度。B向左平行移动一个单位长度。 C向右平行移动二个单位长度。D向左平行移动二个单位长度 (三)探索ω对y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象的影响。【周期变换】 例3画出函数y=sin2x,x∈R,y=sinx,x∈R的简图 1)列表 结论:函数y= =sin g x(其中a>0)的图象可看作把y=sinx图象上所有点的横坐标伸长 (当01)到原来的亠倍(纵坐标不变)而得到
3 练习：1. 若将某函数的图象向右平移 2 以后所得到的图象的函数式是 y＝sin(x＋ 4 )，则 原来的函数表达式为( ) A. y＝sin(x＋ 4 3 ) B. y＝sin(x＋ 2 ) C. y＝sin(x－ 4 ) D. y＝sin(x＋ 4 )－ 4 2、已知函数 ) 5 3sin( y = x + 的图象为 C，为了得到函数 ) 5 3sin( y = x − 的图象，只要把 C 上的所有点（ ）。 A 向右平行移动 5 个单位长度。B 向左平行移动 5 个单位长度。 C 向右平行移动 5 2 个单位长度。D 向左平行移动 5 2 个单位长度。 （三） 探索 ω 对 y=Asin(ωx+φ)， xR 的图象的影响。【周期变换】 例 3 画出函数 y=sin2x， x∈R ，y= sin 2 1 x，x∈R 的简图 1） 列表： 结论:函数 y=sinωx (其中ω>0) 的图象,可看 作把 y=sinx 图象上所有点的横坐标伸长 (当 01)到原来的 1 倍(纵坐标不变)而得到
①ω决定函数的周期T=,它引起横向伸缩(可简记为小伸大缩) 例4画出函数y=3sin(2x+-),x∈R的简图 1、(五点法) 2、(图象变化法)如何由y=sinx,x∈R变换得y=Asn(ox+φ),x∈R,的图象 方法1:(先伸缩再平移)(按O,,A顺序变换) (1)横坐标缩短为原来的 函数y=sinx,x∈R的图象 纵坐标不变 少→y=Sin2x,X∈R的图象 (2)向左平移个单位 →y=sin2x+z 2),x∈R的图象(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍 3in(2x+),x∈R的图象
4 注: ①ω决定函数的周期 T= 2 ,它引起横向伸缩(可简记为:小伸大缩). 例4 画出函数 y＝3sin(2x＋ 3 )，x∈R 的简图 1、 (五点法) x 2x+ 3 3sin(2x+ 3 ) 2、（图象变化法）如何由 y=sinx ，x∈R 变换得 y=Asin(ωx+φ)，x∈R ，的图象 方法 1：（先伸缩再平移） 函数 y=sinx ，x∈R 的图象 → 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的 2 1 (1) y=Sin2x，x∈R 的图象 → （ ）向左平移 个单位 6 2 y=Sin(2x+ 3 )，x∈R 的图象 → 纵坐标伸长到原来的 倍 （ ）横坐标不变 3 3 y=3Sin(2x+ 3 )，x∈R 的图象 (按,, A顺序变换)
方法2:(先平移再伸缩)(按O,A顺序变换) (1)向左平移二个单位 函数y=sinx,x∈R的图象 →y=sin(x+),x∈R的图象 (2)横坐标缩短为原来的 纵坐标不变 2→y=sin(x4xyR的图象(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍 3in(2x+),x∈R的图象 总结:y=sinx,x∈R图象 y=Asin(ox+p),x∈R图象 方法1:(先伸缩再平移按o,,A顺序变换) 横坐标缩短o>1(伸长00(向右q0) 平移po个单位 y=sin(ox+)=sin o(x+ 横坐标不变 纵坐标伸长1(缩短00(向右q0) 横坐标编短o>1(伸长0<0<1)到原来的1/o倍 sinx yin(x+o) 纵坐标不变 平移个单位 横坐标不变 y=sin(ox+p Asin(oxtop 纵坐标伸长A1(缩短0<4<1)到原来的4倍 【思考】怎样由y=smx的图象得到y=2sn(x-图象?
5 方法 2：（先平移再伸缩） 函数 y=sinx ，x∈R 的图象 → （）向左平移 个单位 3 1 y=sin(x+ 3 )，x∈R 的图象 → 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的 2 1 (2) y=sin(2x+ 3 )x∈R 的图象 → 纵坐标伸长到原来的 倍 （ ）横坐标不变 3 3 y=3Sin(2x+ 3 ), x∈R 的图象. 总结: y=sinx ，x∈R 图象 y=Asin(ωx+φ)，x∈R 图象。 方法 1:（先伸缩再平移） 方法 2：（先平移再伸缩） 【思考】 (按,, A顺序变换) 怎样由 的图象得到 )的图象？ 2 6 sin 2sin( = = − x y x y (按,, A顺序变换) 横坐标缩短>1 (伸长00 (向右1 (缩短00 (向右1 (伸长01 (缩短0<A<1)到原来的A倍 y=Asin(x+)
练习: 1.为了得到函数y=sin,x∈R的图象,只需把正弦曲线上的所有的点的() A.横坐标伸长到原来的5倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不 C.纵坐标伸长到原来的5倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的亠倍,横坐标不变. 2.为了得到函数y=Snx,X∈R的图象,只需把正弦曲线上的所有的 A.横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的一倍纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的亠倍,横坐标不变。 3、要得到函数y=sn(3x-z)的图象,只需将函数y=sm3x的图象() A.向左平移个一单位 B.向右平移个一单位 C.向左平移个一单位 D.向右平移个单位 4要得到函数y=Sn(x-乙)的图象可由y=sn的图 A向右平移x B向左平移x C.向右平移z D.向左平移z
6 练习： A．横坐标伸长到原来的 5 倍，纵坐标不变． B．横坐标缩短到原来的 5 1 倍，纵坐标不变． C．纵坐标伸长到原来的 5 倍，横坐标不变． D．纵坐标缩短到原来的 5 1 倍，横坐标不变． A．横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变． B．横坐标缩短到原来的 4 1 倍,纵坐标不变． C．纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标不变． D．纵坐标缩短到原来的 4 1 倍,横坐标不变。 3、要得到函数 ) 5 sin( 3 y = x − 的图象，只需将函数 y = sin 3x 的图象（ ） A．向左平移个 5 单位 B．向右平移个 5 单位 C．向左平移个 15 单位 D．向右平移个 15 单位 1．为了得到函数 x R 的图象，只需把正弦曲线上的所有的 x y = , 5 sin 2．为了得到函数 y = sin x , x R 的图象，只需把正弦曲线上的所有的 4 1 点的（ ） 3 . 3 . 6 . 6 . 2 ) , sin 2 6 4. sin( 向左平移 向右平移 向左平移 向右平移 要得到函数 的图象 可由 的图象 D C B A x y x y = − =
5已知函数y=3sm(x+2)的图象为C 为了得到函数y=3sm(2x+2的图象,只要把C上所有的 点( (4横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 (C)纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变 (D)纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变 6把y=sn(2x+)的图象向右平移一个单位这时图象所表示的函数 A. y=sin( 2x+ B. y=sin( 2x+ y=sm( 2x+ D. y=sin 2x 刚才我们分别探索了参数φ、O、A对函数y=Asin(ox+q)的图象的影响及“五点法”作图现在 我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ox+o)(其中A>0,o>0,q0)的图象变换及其物理背景 了解常数A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象 所对应的函数解析式有如下形式y=Asin(ox+φ)x∈[0,+∞),其中A>0ω>0.物理中描述简谐运 动的物理量如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关 A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离; 这个简谐运动的周期是=2x,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时 这个简谐运动的频率由公式台了=2x给出, 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 0x+称为相位x=0时的相位φ称为初相
7 刚才我们分别探索了参数 φ、ω、A 对函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响及“五点法”作图.现在 我们进一步熟悉掌握函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,φ≠0)的图象变换及其物理背景. 了解常数 A、ω、φ 与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象” 所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中 A>0,ω>0.物理中,描述简谐运 动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关: A 就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离; 这个简谐运动的周期是 T= 2 ,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间; 这个简谐运动的频率由公式 f= T 1 = 2 给出, 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; ωx+φ 称为相位;x=0 时的相位 φ 称为初相. ) . 5 5.已知函数y 3sin( x 的图象为C = + 纵坐标缩短到原来的 倍 横坐标不变 纵坐标伸长到原来的 倍 横坐标不变 横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 横坐标伸长到原来的 倍 纵坐标不变 为了得到函数 的图象 只要把 上所有的点 , 2 1 ( ) ( ) 2 , , 2 1 ( ) ( ) 2 , ) , 5 3sin( 2 D C B A y x C = + D y x C y x B y x A y x y x . sin 2 ) 2 3 . sin( 2 ) 6 . sin( 2 ) 2 . sin( 2 , 6 ) 3 6. sin( 2 = = + = + = + = + 把 的图象向右平移 个单位 这时图象所表示的函数为
例1图7是某简谐运动的图象试根据图象回答下列问题 (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少? (2)从O点算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式 课堂小结 作函数y=Asin(ox+q)的图象 (1)用“五点法”作图。1、列五点表2、描点3、连线 (2)利用变换关系作图。 、函数y=sinx的图象与函数y=Asin(ox+q)的图象间的变换关系
8 例 1 图 7 是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少? (2)从 O 点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从 A 点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式. 课堂小结： 一、作函数 y=Asin(x+) 的图象： （1）用“五点法”作图。1、列五点表 2、描点 3 、连线 （2）利用变换关系作图。 二、函数 y = sinx 的图象与函数 y=Asin(x+)的图象间的变换关系