三角函数模型简单应用同步练习(二) 你能利用函数y=sinx的奇偶性画出图象吗?它与函数y=sinx的图象有什么联 系 知 ,若(1)a 2)a∈(0,2); (3)a是第三象限角;(4)α∈R.分别求角α。 3.已知O∈[0,2],sn,cos分别是方程x2-kx+k+1=0的两个根,求角O 4.设A、B、C、D是圆内接四边形ABCD的四个内角,求证: (1) sina=sinC: (2) cos (A+B)=cos (C+D) (3) tan (A+B+C)=-tanD 用心
用心 爱心 专心 三角函数模型简单应用 同步练习(二) 1．你能利用函数 y x = sin 的奇偶性画出图象吗？它与函数 y x = sin 的图象有什么联 系？ 2．已知： 1 sin 2 = − ，若(1) , 2 2 − ； (2) (0,2 ) ； (3)α 是第三象限角；(4)α∈R．分别求角 α。 3．已知 0, 2 , sin ,cos 分别是方程 2 x kx k − + + =1 0 的两个根，求角 ． 4．设 A、B、C、D 是圆内接四边形 ABCD 的四个内角，求证： （1）sinA＝sinC； （2）cos（A＋B）＝cos（C＋D）； （3）tan（A＋B＋C）＝－tanD．
5.某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份达 到最髙价格8元,η月份价格最低为4元,该商品在商店内的销售价格在8元基础 上按月份随正弦曲线波动,5月份销售价格最高为10元,9月份销售价最低为6 元,假设商店每月购进这种商品m件,且当月销完,你估计哪个月份盈利最大? 6.把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上,卷上几圈.用剪刀斜着将纸筒剪断,再把卷 着的纸展开,你就会看到:纸的边缘线是一条波浪形的曲线,试一试动手操作一下 它是正弦曲线吗? 7.如图,铁匠师傅在打制烟筒弯脖 时,为确保对接成直角,在铁板上 弯脖 下剪线 的下剪线正好是余弦曲线: y=acos-的一个周期的图象,问弯 铁板 脖的直径为12cm时,a应是多少cm? 用心
用心 爱心 专心 5．某商品一年内出厂价格在 6 元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知 3 月份达 到最高价格 8 元，7 月份价格最低为 4 元，该商品在商店内的销售价格在 8 元基础 上按月份随正弦曲线波动，5 月份销售价格最高为 10 元，9 月份销售价最低为 6 元，假设商店每月购进这种商品 m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大? 6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷 着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下. 它是正弦曲线吗？ 7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖 时，为确保对接成直角，在铁板上 的 下 剪 线 正 好 是 余 弦 曲 线 ： cos x y a a = 的一个周期的图象，问弯 脖的直径为 12 cm 时， a 应是多少 cm ?
8.已知函数f(x)=1-cos2x,试作出该函数的图象,并讨论它的奇偶性、周 期性以及区间[0,z]上的单调性 9、(14分)如图,扇形AOB的半径为√2,扇形的圆心角为2,PQRS是扇形的内 接矩形,设∠AOP=0, (1)试用0表示矩形PQRS的面积y (2)利用正、余弦的和(差)与倍角公式化简矩形面积表达式y 10.某人用绳拉车沿直线方向前进100米,若绳与行进方向的夹角为30°,人的拉力 用心
用心 爱心 专心 8．已知函数 f (x)= 1 cos 2x 2 − ，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周 期性以及区间[0， 2 ]上的单调性。 9、（14 分）如图，扇形 AOB 的半径为 2 ，扇形的圆心角为 4 ，PQRS 是扇形的内 接矩形，设∠AOP=θ， （1） 试用θ表示矩形 PQRS 的面积 y； （2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式 y. 10.某人用绳拉车沿直线方向前进 100 米,若绳与行进方向的夹角为 30°,人的拉力 A B P O R S Q
为20牛,则人对车所做的功为多少焦 11.某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24单位:时),记作y=f(x),下面 是某日水深的数 t(时)03691215182124 y(米)10139.97101310710 据: 经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y= Asin ot+b的图象。 12.已知△ABC的两边a,b,它们的夹角为C1°试写出△ABC面积的表达式 2°当∠C变化时,求△ABC面积的最大值。 用心
用心 爱心 专心 为 20 牛,则人对车所做的功为多少焦. 11．某港口水的深度 y（米）是时间 t （0 t 24，单位：时） ，记作 y=f(x),下面 是某日水深的数 据： 经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y = Asint + b 的图象。 12．已知△ABC 的两边 a, b ，它们的夹角为 C 1试写出△ABC 面积的表达式； 2当C 变化时，求△AABC 面积的最大值。 t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 10 13 9.9 7 10 13 10 7 10
13.已知定义在区间[-x,2x1上的函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称,当 [--,x]时,函数f(x)= Asin(ox+9)(A>0,m>0,-2<9<2), 其图象如图所示 求函数y=f(x)在[-x,x]的表达式 4.绳子绕在半径为50cm的轮圈上,绳子的下端B处悬挂着物体W,如果轮子按 逆时针方向每分钟匀速旋转4圈,那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上 提升100cm? 用心
用心 爱心 专心 13．已知定义在区间 2 [ , ] 3 − 上的函数 y = f (x) 的图象关于直线 6 x = − 对称，当 2 [ , ] 6 3 x − 时，函数 ( ) sin( ) ( 0 , 0 , ) 2 2 f x A x A = + − ， 其图象如图所示. 求函数 y f x = ( ) 在 2 [ , ] 3 − 的表达式； 14．绳子绕在半径为 50cm 的轮圈上，绳子的下端 B 处悬挂着物体 W，如果轮子按 逆时针方向每分钟匀速旋转 4 圈，那么需要多少秒钟才能把物体 W 的位置向上 提升 100cm? x y o • • • −π 1 6 x = − 3 2 6
15.如图,是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一个周期的图像 (1)写出f(x)的解析式 (2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称,写出g(x)的解析式. (1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式 (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安 全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离) 为6.5米,如果该船希望在一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时 间?(忽略进出港所需的时间) 答案 略 2.(1) 或 (3)a=-+2kr,k∈Z(4)a=-+2kr,k∈Z或 +2kx,k∈Z。 用心
用心 爱心 专心 15．如图，是正弦函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的一个周期的图像. (1)写出 f(x)的解析式； (2)若 g(x)与 f(x)的图像关于直线 x=2 对称，写出 g(x)的解析式. （1）试根据以上数据，求出函数 y=f(t)的近似表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安 全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离） 为 6.5 米，如果该船希望在一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时 间？（忽略进出港所需的时间） 答案： 1． 略 2．(1) 6 = − (2) 7 6 = 或 11 6 = (3) 7 6 2 , k k Z = + (4) 7 6 2 , k k Z = + 或 6 2 , k k Z = − +
3.由已知得:Jsin0+sb=k( (1)2-2×(2)得1+2(k+1)=k sin 0 0=k+1(2) ∴k2-2k-3=0即k=3或k=-1 又 sin/<1, cosos1则sinO+cose=k≤2,因此k=3舍去。 ∴k=-1,则sinO+cosb=-1, sin ecos=0,∴=或O=n 4.由已知A+C=,A+B+C+D=2得A=-C,则sinA=sin(-C) 又A+B=2-(C+D, #h cos (A+B)=cos[2 -(C+D)]=cos (C+D) tan (A+B+C)=tan(2 -D 5.设出厂价波动函数为y1=6+Asin(1x+中) 易知A=2T1=8o1 z y1 6+2sin(x- 设销售价波动函数为y2=8+Bsin(2x+中2) 易知B=2T2=8o 5丌+φ2=分中2= …y2=8+2sin( 每件盈利y=y-y=[8+2si(xx3r )]-[6+2sin(zx-z)] 2-2√2sin-x 当sinx=-1→2x=2k-→x=8k-2时y取最大值 当k=1即x=6时y最大∴估计6月份盈利最大 6.略 7.弯脖的直径为12cm,则周长为12rcm,周长正是函数y=acos-的一个周期, 得a=6c 8.解:f(x)=|sin2x 用心
用心 爱心 专心 3．由已知得： sin cos (1) sin cos 1 (2) k k + = = + 2 (1) 2 (2) − 得 2 1 2( 1) + + = k k ∴k 2 -2k-3=0 即 k=3 或 k=-1. 又 sin 1, cos 1 则 sin cos 2 + = k ，因此 k=3 舍去。 ∴k=-1, 则 sin cos 1 + = − , sin cos 0 = , ∴ 3 2 = 或 = 4．由已知 A＋C＝ ，A＋B＋C＋D＝2 得 A＝ －C，则 sinA＝sin（ －C）＝ sinC， 又 A＋B＝2 －（C＋D）， 故 cos（A＋B）＝cos[2 －（C＋D）]＝cos（C＋D）. tan（A＋B＋C）＝tan（2 －D）＝－tanD． 5．设出厂价波动函数为 y1＝6+Asin(ω1x+φ1) 易 知 A ＝ 2 T1 ＝ 8 ω 1 ＝ 4 4 3 + φ 1 ＝ 2 φ 1 ＝ - 4 ∴ y1 ＝ 6+2sin( 4 x- 4 ) 设销售价波动函数为 y2＝8+Bsin(ω2x+φ2) 易知 B＝2 T2＝8 ω2＝ 4 4 5 +φ2＝ 2 φ2＝- 4 3 ∴y2＝8+2sin( 4 x- 4 3 ) 每件盈利 y＝y2-y1＝［8+2sin( 4 x- 4 3 )］-［6+2sin( 4 x- 4 )］ ＝2-2 2 sin 4 x 当 sin 4 x＝-1 4 x＝2kπ- 2 x＝8k-2 时 y 取最大值 当 k＝1 即 x＝6 时 y 最大 ∴估计 6 月份盈利最大 6．略 7．弯脖的直径为 12 cm，则周长为 12cm ，周长正是函数 cos x y a a = 的一个周期， 即 T a = = 2 12 ，得 a cm = 6 ． 8．解：f (x)=|sin2x|
f(x)=sin(-2x)=sin2x=f(x) f(x)为偶函数 在[0,]上f(x)单调递增:在[z,]上单调递减 9.解:(1)在直角三角形OPS中 SP=√2sin0,0S=√2cos0 矩形的宽SP=√2sin 因∠ROQ= 所以OR=RQ=SP=√2sin0 矩形的长RS=0S-0R=√2cos0-√2sin0 所以面积:y=(√2cos-√sin0)√2sin0(0<0<z 10.10003 11.1)y=3snt+10 2)由3sm兀t+10≥115,即sm兀t≥1,解得x+2kr≤xt≤5x+2k元k∈z 12k+1≤t≤12k+5(k∈z),在同一天内,取k=0,1得1≤t≤5,13≤t≤17 该船希望在一天内安全进出港,可1时进港,17时离港,它至多能在港内 停留16小时。 用心
用心 爱心 专心 f (-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x) ∴f (x)为偶函数 T= 2 在[0, 4 ]上 f (x)单调递增；在[ 4 , 2 ]上单调递减 9．解：（1）在直角三角形 OPS 中 SP= 2 sinθ，OS= 2 cosθ 矩形的宽 SP= 2 sinθ 因∠ROQ= 4 所以 OR=RQ=SP= 2 sinθ 矩形的长 RS=OS－OR= 2 cosθ－ 2 sinθ 所以面积：y=( 2 cosθ－ 2 sinθ) 2 sinθ (0﹤θ< 4 ) 10．1000 3 11．1） t 10 6 y 3sin + = 2）由 t 10 11.5 6 3sin + ，即 2 1 t 6 sin ，解得 2k , k z 6 5 t 6 2k 6 + + 12k +1 t 12k + 5(k z) ，在同一天内，取 k=0，1 得 1 t 5,13 t 17 ∴该船希望在一天内安全进出港，可 1 时进港，17 时离港，它至多能在港内 停留 16 小时。 o x − - - 1
B 12.解: c d b 1°如图:设AC边上的高h= asic 2°当C=909时[sinC]==1∴LS△m7° 13.(1)当xe[-x,2x]时,f(x)=si m(x+x),当x∈[-x,2x]时f(x) -sinx 14.设需x秒上升100m.则x×4×2xz×50=100x=15(秒) 15.(1)f(x)=2sin( )(2)g(x)=2sin(x-) 用心
用心 爱心 专心 12．解： 1如图：设 AC 边上的高 h=asinC 2当 C=90时[sinC]max=1 ∴[S△ABC]max= ab 2 1 13．（1）当 2 [ , ] 6 3 x − 时， ( ) sin( ) 3 f x x = + ，当 x 2 [ , ] 3 − 时 f x x ( ) sin = − 14．设需 x 秒上升 100cm .则 15 4 2 50 100, 60 = x = x （秒） 15． (1)f(x)=2sin( 4 x+ 4 ) (2)g(x)=2sin( 4 x- 4 ) C D b A B a c