人教版高中数学必修精品教学资料 1.6三角函数模型的简单应用 【学习目标】 1.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程,体会三角函数是描述周期变化现象的 重要函数模型 2.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想,从而培养学生的建 模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。 【新知自学】 紐迟国题 1.三角函数的周期性 y=Asin(ox+φ)(a≠0)的周期是 y=Acos(ωx+φ)(a≠0)的周期是 y=Atan(ax+φ)(a≠0)的周期是T= 2.函数y=Asin(ax+φ)+k(A0,o>0)的性质 (3)a可由 确定,其中周期T可观察图象获得 (4)由ax+中=,x2+中 x十中 后+φ 中的一个确定φ的值 3.三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中 现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在 刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用 新幻理 1、创设情境、激活课堂 生活中普遍存在着周期性变化规律的现象,昼夜交+d 替四季轮回,潮涨潮散、云卷云舒,情绪的起起落落,庭前 的花开花谢,一切都逃不过数学的眼睛!这节课我们就来 2TT L 学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象 1.6三角函数模型的简单应用
人教版高中数学必修精品教学资料 1.6 三角函数模型的简单应用 【学习目标】 1. 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程,体会三角函数是描述周期变化现象的 重要函数模型． 2.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想,从而培养学生的建 模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。 【新知自学】 知识回顾： 1．三角函数的周期性 y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是 T＝________；y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是 T＝________； y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是 T＝________. 2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0,ω>0)的性质 (1)ymax＝________,ymin＝________. (2)A＝__________,k＝__________. (3)ω 可由__________确定,其中周期 T 可观察图象获得． (4)由 ωx1＋φ＝______,ωx2＋φ＝__________,ωx3＋φ＝__________,ωx4 ＋φ＝ __________,ωx5＋φ＝________中的一个确定 φ 的值． 3．三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在 刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 新知梳理： 1、创设情境、激活课堂 生活中普遍存在着周期性变化规律的现象,昼夜交 替四季轮回,潮涨潮散、云卷云舒,情绪的起起落落,庭前 的花开花谢,一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来 学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象 -----1.6 三角函数模型的简单应用
2、结合三角函数图象的特点,思考后写出下列函数的周期 (1)y=| sin xl的周期是 (2)y=| cos xlr的周期是 (3)y=|tanx的周期是 (4)y=|Asin(ax+中)l(Aa≠0)的周期是 (5)y=|Asin(ox+中)+k(Ak≠0)的周期是 (6)y=|Atan(ax+)(Aa≠0)的周期是 对点练∑ 1、如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数 关系式为s= 6s006/,那么单摆来回摆动一次 所需的时间为() 2.若函数f(x)=3sin(ax+中)对任意x都有f+ 或 B.-3或0 D.-3或3 3.如图所示,设点A是单位 圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按 逆时针方向旋转一周,点P所旋 转过的弧AP的长为L,弦AP的长为d,则 函数d=f(的图象大致是 【合作探究】 典倒精芴 题型一、由图象探求三角函数模型的解析式 例1.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asn(ax+q)+b. (1)求这一天6~14时的最大温差 (2)写出这段曲线的 函数解析式 Trc 8101214t/h
2、结合三角函数图象的特点,思考后写出下列函数的周期． (1)y＝|sin x|的周期是________； (2)y＝|cos x|的周期是________； (3)y＝|tan x|的周期是________； (4)y＝|Asin(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是________； (5)y＝|Asin(ωx＋φ)＋k| (Aωk≠0)的周期是__________； (6)y＝|Atan(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是__________． 对点练习： 1、如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数 6sin 100πt＋ π 6 关系式为 s ＝ ,那么单摆来回摆动一次 所需的时间为( ) A. 1 50 s B. 1 100 s C．50 s D．100 s 2．若函数 f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意 x 都有 f π 6 ＋x ＝f π 6 －x ,则 f π 6 等于( ) A．3 或 0 B．－3 或 0 C．0 D．－3 或 3 3.如图所示,设点 A 是单位 圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按 逆时针方向旋转一周,点 P 所旋 转过的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则 函数 d ＝f(l) 的图 象大 致是 ( ) 【合作探究】 典例精析： 题型一、由图象探求三角函数模型的解析式 例 1．如图,某地一天从 6～14 时的温度变化曲线近似满足函数 y = Asin(x +) + b ． （1）求这一天 6～14 时的最大温差； （2）写出这段曲线的 函数解析式 O T C / 6 8 10 12 14 t / h 102030
变式箦习: 某动物种群数量1月1日低至最小值700,7月1日高至最大值900,其总量在此两值之间 变化,且总量与月份的关系可以用函数y=Asi(x+)+bA>0,a>0,-x<<0来刻 画,试求该函数表达式
变式练习： 某动物种群数量 1 月 1 日低至最小值 700,7 月 1 日高至最大值 900,其总量在此两值之间 变化,且总量与月份的关系可以用函数 y = Asin(x +) + b A 0, 0,− 0 来刻 画,试求该函数表达式
题型二、由解析式作出图象并研究性质 例2.画出函数y=six的图象并观察其周期 变式箦习: f(x)=nx+snx的周期是 f(x)=sm(x+z)的周期是 x的周期是
题型二、由解析式作出图象并研究性质 例 2．画出函数 y = sin x 的图象并观察其周期． 变式练习： f (x) = sin x + sin x 的周期是 ． ) 3 ( ) sin( f x = x + 的周期是 ． f (x) = 2+sin x 的周期是 ．
超律总 利用图象的直观性,通过观察图象而获得对函数性质的认识,是研究数学问题的常用方 法:本题也可用代数方法即周期性定义验证 f(x+r)=sin(x+r)=sin x=sin x=f(x) ∴∫(x)=snx的周期是x.(体现数形结合思想!) 题型三、应用数学知识解决实际问题 例3.如图,设地球表面某地正午太阳高度角为O,d为此时太阳直射纬度,p为该地的纬 度值那么这三个量之间的关系是O=90°-9-8.当地夏半年δ取正值冬半年δ取负值 如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h的楼房北面盖一新楼,要使新楼 层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少? 太阳光
规律总结： 利用图象的直观性,通过观察图象而获得对函数性质的认识,是研究数学问题的常用方 法；本题也可用代数方法即周期性定义验证： f (x +) = sin( x +) = −sin x = sin x = f (x) ∴ f (x) = sin x 的周期是 ．（体现数形结合思想！） 题型三、应用数学知识解决实际问题 例 3．如图,设地球表面某地正午太阳高度角为 , 为此时太阳直射纬度, 为该地的纬 度值,那么这三个量之间的关系是 = − − 90 ．当地夏半年 取正值,冬半年 取负值． 如果在北京地区(纬度数约为北纬 40 )的一幢高为 0 h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一 层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少？ θ φ φ-δ δ 太阳光
式然习 之流电的电压单位伪与时间(单位:秒的关系可用=295(0+3)米 表示,求 (1)开始时的电压:(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间 【课堂小结】 【当堂达标】 1、据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx +中)+AAD0,c>0,|中<。的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份
变式练习： 交流电的电压 E(单位：伏)与时间 t(单位：秒)的关系可用 E＝220 3sin 100πt＋ π 6 来 表示,求： (1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间． 【课堂小结】 【当堂达标】 1、据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋b A>0，ω>0，|φ|< π 2 的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,7 月份
价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为() A.f(x)=2si44+7(1≤x≤12,x∈NT) (x)=sin 1≤x≤12,x∈N) C.f(x)=2 Resin=x+7(1≤x≤12,x∈N) D.f(x)=2514x+4)+7(1sx≤12,x∈N) 2、如图所示为一个观览车示意图,该观览车半径为4.8m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动0角到OB设B点与地面距 离为b (1)求h与0间关系的函数 解析式 (2)设从OA开始转动,经过 t秒到达OB求h与t间关系的函数解析 式
价格最低为 5 千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝2sin π 4 x－ π 4 ＋7(1≤x≤12,x∈N * ) B．f(x)＝9sin π 4 x－ π 4 (1≤x≤12,x∈N * ) C．f(x)＝2 2sin π 4 x＋7(1≤x≤12,x∈N * ) D．f(x)＝2sin π 4 x＋ π 4 ＋7(1≤x≤12,x∈N * ) 2、如图所示为一个观览车示意图,该观览车半径为 4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面距 离为 h. (1)求 h 与θ 间关系的函数 解析式； (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒到达 OB,求 h 与 t 间关系的函数解析 式．
3、如图表示电流I与时间t的函数关系式:Ⅰ=Asin(at+φ)在同一周期内的图象 (1)据图象写出Ⅰ=Asin(at+φ)的解析式 (2)为使F=Asin(at+中中t在任意一段1的时间内电流I能同时取得最大值和最小 值,那么正整数a的最小值是多少? -300 【课时作业】 函数=23+3)的最小正周期在引内则正整数的值是 2.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25in(160t),其中p(t)为血压(mmHg),t为时 间(min),则此人每分钟心跳的次数是 3.一根长Ⅰcm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)
3、如图表示电流 I 与时间 t 的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)在同一周期内的图象． (1)据图象写出 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)为使 I＝Asin(ωt＋φ)中 t 在任意一段 1 100的时间内电流 I 能同时取得最大值和最小 值,那么正整数 ω 的最小值是多少？ 【课时作业】 1、函数 y＝2sin m 3 x＋ π 3 的最小正周期在 2 3 ， 3 4 内,则正整数 m 的值是________． 2．设某人的血压满足函数式 p(t)＝115＋25sin(160πt),其中 p(t)为血压(mmHg) ,t 为时 间(min),则此人每分钟心跳的次数是________． 3．一根长 l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm)
与时间t(s)的函数关系式时s=3c/+3其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是 1s时,线长l等于 4、如图所示,一个摩天轮半径为10m,轮子的底部在地面上2m处,如果此摩天轮按逆时 针转动,每30s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计 (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式 (2)在摩天轮转动 的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高 度不小于17m 5.如图,一个水轮的半径为4m,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动5圈,如果 当水轮上点P从水中浮现时(图中点B)开始计算时间 (1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数 (2)点P第一次到达最 高点大约需要多少时间?
与时间 t(s)的函数关系式时 s＝3cos g l t＋ π 3 ,其中 g 是重力加速度,当小球摆动的周期是 1 s 时,线长 l 等于________． 4、如图所示,一个摩天轮半径为 10 m,轮子的底部在地面上 2 m 处,如果此摩天轮按逆时 针转动,每 30 s 转一圈,且当摩天轮上某人经过点 P 处(点 P 与摩天轮中心高度相同)时开始计 时． (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动 的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高 度不小于 17 m. 5.如图,一个水轮的半径为 4 m,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟转动 5 圈,如果 当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始计算时间． (1)将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数； (2)点 P 第一次到达最 高点大约需要多少时间？
【延伸探究】 如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OS该曲线段为函数y= Asin ox(A>0,a>0),x∈的图象,且图象的最高点为S(3,2V3);赛 道的后一部分为折线段M为保证参赛运动员的安全,限定∠MP=120 (1)求A,a的值和MP两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道MP最长? M
【延伸探究】 如图,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y＝Asin ωx(A＞0,ω＞0),x∈的图象,且图象的最高点为 S(3,2 3)；赛 道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP＝120°. (1)求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离； (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长？