两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课程目质,后 能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并灵活运 用 能熟练地把十化为(o+q)的形式 基础知识·理 和角、差角公式如下表 名称 公式 简记 (a-p) 差的正切 a-B)= 和的正弦 +)= 和的余弦 (a+B= 和的正切 (a+B) [+〖a,“C如母[Sa 逻辑联系 a ITa-al 归纳总结 O与差角的余弦公式一样,公式对分配律不成立,即(吐B)≠吐B,(B)≠aB,(cB)≠ O和差角公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差角公式的特例.如(π-a) X a-X α当α或β中有一个角是的整数倍时,通常使用诱导公式较为方便 O使用公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式,如化简(a+B)B-(a+B)B时,不要将 (a+B)和(a+B)展开,而应采用整体思想,进行如下变形:(a+B)B-(a+的B=[a+B)-B =a这也体现了数学中的整体原则 O注意公式的结构特征和符号规律: 对于公式(-B),(a+B可记为“同名相乘,符号反”;对于公式a-B),(a+B可记为“异名相 乘,符号同 【做一做-】若∝=,B=,则(a-B)=() 【做一做一】°的值为() 【做一做-】° 答案:aB-aBa+aBa-B+aβ)a+aBaB-aBa+B-aβ 【做一做-】(a-B)=a-B+aβ) 【做一做 =(°+°)=°° 【做一做-】°=(°+°) =X一x= 重点难点·因 化简aa(≠)
． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ．能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并灵活运 用． ．能熟练地把 ＋ 化为(ω＋φ)的形式． 和角、差角公式如下表： 名称 公式 简记 差的正弦 (α－β)＝ (α－β) 差的余弦 (α－β)＝ (α－β) 差的正切 (α－β)＝ (α－β) 和的正弦 (α＋β)＝ (α＋β) 和的余弦 (α＋β)＝ (α＋β) 和的正切 (α＋β)＝ (α＋β) 逻辑联系 ()与差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即(α±β)≠ α± β，(α±β)≠ α± β，(α±β)≠ α± β. ()和差角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差角公式的特例．如(π－α)＝ π α－ π α ＝× α－× α＝－ α.当 α 或 β 中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便． ()使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简(α＋β) β－(α＋β) β 时，不要将 (α＋β)和(α＋β)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：(α＋β) β－(α＋β) β＝ [(α＋β)－β] ＝ α.这也体现了数学中的整体原则． ()注意公式的结构特征和符号规律： 对于公式(α－β)，(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式(α－β)，(α＋β)可记为“异名相 乘，符号同”． 【做一做－】 若 α＝， β＝，则(α－β)＝( ) ．－ ．－． 【做一做－】 °的值为( ) 【做一做－】 °＝. 答案： α β－ α β α β＋ α βα－ β＋ α β) α β＋ α β α β－ α βα＋ β－ α β) 【做一做－】 (α－β)＝α－ β＋ α β) ＝＝. 【做一做－】 °＝(°＋°)＝ ° °＋ ° °＝. 【做一做－】 °＝(°＋°) ＝ ° °－ ° ° ＝×－×＝. 化简 α± α(≠)
剖析:逆用两角和与差的正弦公式,凑出a胜aB的形式来化简 aa=a±(,(+))a ∵+= 可设=,0= 则θ=(0又称为辅助角). ∵cta=(aa0)=(a+0) 特别是当〓±、±、±时,θ是特殊角,此时θ取±、±、± 例如,∝-a =a-(0,(+))a) =a-(0)a)) a()) 名师点拨 在公式a+a=(a+g)中 O9=,g=,在使用时不必死记上述结论,而重在理解这种逆用公式的思想 Oa+a中的角必须为同角a,否则不成立 典型例题· 题型一给角求值问题 【例】求下列各式的值: 0+ 分析ε本题(可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本题(可构造两角和的正 弦公式求解 反思:解答此类题目的方法就是活用、逆用(a+B,(姓+公式,在解答过程中常利用诱导公 式实现角的前后统 题型二给值(式)求值问题 【例】已知α=,a∈,B=-,β是第三象限角.求(a+B),(a一B)的值 分析:求出a,β的值,代入公式ax即可 反思:分别已知a,β的某一三角函数值,求(B),(c),(atB)时,其步骤是:O利用 同角三角函数基本关系式求出a,B其余的三角函数值;O代入公式(a4),(a+B,(ax)计算即可 题型三利用角的变换求值 【例】已知(a+B)=,(a-B)=-,<a+B<兀,<a-B≤兀,求a的值 分析:解答本题关键是探寻a十B,α一β与a之间的关系,再利用两角和的余弦公式求 反思:解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来 O当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式,如 本题 O当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然 后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角” O角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式 题型四易错辨析 【例】已知x<a<a+B<π,且满足a=-,(a+B)=,求B 错解:∵a=一,(a+B B=[(a+B)-a]=(a+B)a-(a+B)a= π<a<a+B<π, 错因分析:以上错解是由于求β的三角函数值时,函数选择不当所致.由于满足B=且 β∈(,π)的β有两值,两值的取舍就是个问题,事实上β=一,故B=,只有一值,故应计
剖析：逆用两角和与差的正弦公式，凑出 α β± α β 的形式来化简． α± α＝α±(,(＋)) α)) ， ∵＋＝， ∴可设 θ＝， θ＝. 则 θ＝(θ 又称为辅助角)． ∴ α± α＝( α θ± α θ)＝(α±θ)． 特别是当＝±、±、±时，θ 是特殊角，此时 θ 取±、±、±. 例如， α－ α ＝α－((),(＋)) α)) ＝α－(()) α)) ＝α(π)－ α(π))) ＝. 在公式 α＋ α＝(α＋φ)中， () φ＝， φ＝，在使用时不必死记上述结论，而重在理解这种逆用公式的思想． () α＋ α 中的角必须为同角 α，否则不成立． 题型一给角求值问题 【例】 求下列各式的值： () ° °＋ ° °； ()＋. 分析：本题()可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解，本题()可构造两角和的正 弦公式求解． 反思：解答此类题目的方法就是活用、逆用(α±β)，(α±β)公式，在解答过程中常利用诱导公 式实现角的前后统一． 题型二给值(式)求值问题 【例】 已知 α＝，α∈， β＝－，β是第三象限角．求(α＋β)，(α－β)的值． 分析：求出 α， β 的值，代入公式(α±β)即可． 反思：分别已知 α，β 的某一三角函数值，求(α±β)，(α±β)，(α±β)时，其步骤是：()利用 同角三角函数基本关系式求出 α，β 其余的三角函数值；()代入公式(α±β)，(α±β)，(α±β)计算即可． 题型三利用角的变换求值 【例】 已知(α＋β)＝，(α－β)＝－，＜α＋β＜π，＜α－β＜π，求 α的值． 分析：解答本题关键是探寻 α＋β，α－β 与 α 之间的关系，再利用两角和的余弦公式求 解． 反思：解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来． ()当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如 本题． ()当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然 后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． ()角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式． 题型四易错辨析 【例】 已知π＜α＜α＋β＜π，且满足 α＝－，(α＋β)＝，求β. 错解：∵ α＝－，(α＋β)＝， 且 π＜α＜α＋β＜π， ∴ α＝－，(α＋β)＝－. ∴ β＝[(α＋β)－α]＝(α＋β) α－(α＋β) α＝. ∵π＜α＜α＋β＜π， ∴＜β＜π.∴β＝或. 错因分析：以上错解是由于求 β 的三角函数值时，函数选择不当所致．由于满足 β＝且 β∈(，π)的 β 有两值，两值的取舍就是个问题，事实上 β＝－，故 β＝，只有一值，故应计
算角β的余弦值. 反思:此类题目是给值求角问题,一般步骤是:O先确定角a的范围,且使这个范围尽 量小;O根据O所得范围来确定求a,a,a中的一个值,尽量使所选函数在O得到的范围 内是单调函数;O求a的一个三角值;O写出a的大小 谷案: 【例】解:0原式=(°-9)(°-°)+(°-°)°-9)=°°+°°=(°+°)=° O原式= 【例】解:∵a=,a∈,∴a== B=-,B是第三象限角, ∴(a+B)=aB+aB =×+× (a-B)= aB-aB 【例】解:∵(a+B=,<a+B<π, (a+B) ∵(a-B) ∴(a-)== a=[(a+B)+(a-6) (a+B)(a-B)-(a+B)(a-B) =X一 【例】正解:∵a=-,(a+B)=,且π<∝<a+B<兀 B=(a+)-a (atb)(ate)a 兀<a<a+B<π,∴<B<兀∴B 堂练彐·同 (山东青岛高三质检)知a=刘,且a∈ 则[x」等于( 冈.-8 化简三的结果是() L 在△中,=且=,则的值是
算角 β 的余弦值． 反思：此类题目是给值求角问题，一般步骤是：()先确定角 α 的范围，且使这个范围尽 量小；()根据()所得范围来确定求 α， α， α 中的一个值，尽量使所选函数在()得到的范围 内是单调函数；()求 α 的一个三角值；()写出 α 的大小． 答案： 【例】 解：()原式＝(°－°)(°－°)＋(°－°)(°－°)＝ ° °＋ ° °＝(°＋°)＝ °＝. ()原式＝ ＝ ＝＝＝. 【例】 解：∵ α＝，α∈，∴ α＝＝. ∵ β＝－，β 是第三象限角， ∴ β＝－＝－. ∴(α＋β)＝ α β＋ α β ＝×＋×＝－. (α－β)＝ α β－ α β ＝×－×＝. 【例】 解：∵(α＋β)＝，＜α＋β＜π， ∴(α＋β)＝－＝－. ∵(α－β)＝－，＜α－β＜π， ∴(α－β)＝＝. ∴ α＝[(α＋β)＋(α－β)] ＝(α＋β)(α－β)－(α＋β)(α－β) ＝×－×＝－. 【例】 正解：∵ α＝－，(α＋β)＝，且 π＜α＜α＋β＜π， ∴ α＝－，(α＋β)＝－. ∴ β＝[(α＋β)－α] ＝(α＋β) α＋(α＋β) α＝－. ∵π＜α＜α＋β＜π，∴＜β＜π.∴β＝. ．(·山东青岛高三质检)已知 α＝ ，且α∈ ，则 等于( ) ． ．－ ． ．化简 的结果是( ) ． ． ． ． ． ＝. ．在△中， ＝ 且 ＝ ，则 的值是．
已知(a-B=,B=,且a,B∈(,x) O求a的值 0求a-B的值 答案:由于∈囟,则a=□= 所以a==区 所以 原式 [ 冈= EI 冈由于在△中,=园,可知为锐角, 由于=,可知也为锐角
．已知(α－β)＝ ， β＝ ，且α，β∈(，π)． ()求 α的值； ()求α－β的值． 答案：． 由于 α∈ ，则 α＝ ＝ ， 所以 α＝ ＝ ， 所以 ＝ ＝. ． 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . . ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . . 由于在△中， ＝ ，可知为锐角， ∴ ＝ ＝ . 由于 ＝ ，可知也为锐角， ∴ ＝ ＝
∴=[π-(+)=-(+)= 解:Oa=[(a-B) O(a-B)=[(a-B)+a ∵B=,∴,∴-π<a-B ∴a-B∈(一π
∴ ＝[π－(＋)]＝－(＋)＝ － ＝×－×＝. ．解：() α＝[(α－β)＋β] ＝＝＝. ()(α－β)＝[(α－β)＋α] ＝＝. ∵ β＝＜，∴＜β＜π. 又 α＝＞，∴＜α＜.∴－π＜α－β＜. 而(α－β)＝＞，∴－π＜α－β＜. ∴α－β∈(－π，)．∴α－β＝