3.2简单的三角恒等变换 难易度及题号 知识点及角度 基础 稍难 半角公式及应用 1、2、3 化简求值、证明问题 6、9、11 与三角函数性质有关问题 4 7、10 12 基磁 1.已知cos2=1 540°<a<720°,则sin,等于() 3 √6 解析:∵540°<a<720°, 答案:A 2.已知2sina=1+cosa,则tan。等于() B.或不存在 D.2或不存在 解析:由2sina=1+cosa,即4sim。cos=2cos2,当cos=0时,则tam 不存在,若cosn≠0,则tann= 答案: 3.已知tan=3,则cosa=() 4
3.2 简单的三角恒等变换 知识点及角度 难易度及题号 基础 中档 稍难 半角公式及应用 1、2、3 8 化简求值、证明问题 5 6、9、11 与三角函数性质有关问题 4 7、10 12 1．已知 cos α 2 ＝ 1 3 ，540°<α<720°，则 sin α 4 等于( ) A. 3 3 B. 6 3 C．－ 3 3 D．－ 6 3 解析：∵540°<α<720°， ∴270°< α 2 <360°，135°< α 4 <180°. ∴sin α 4 ＝ 1－cos α 2 2 ＝ 3 3 . 答案：A 2．已知 2sin α＝1＋cos α，则 tan α 2 等于( ) A. 1 2 B. 1 2 或不存在 C．2 D．2 或不存在 解析：由 2sin α＝1＋cos α，即 4sin α 2 cos α 2 ＝2cos2α 2 ，当 cos α 2 ＝0 时，则 tan α 2 不存在，若 cos α 2 ≠0，则 tan α 2 ＝ 1 2 . 答案：B 3．已知 tan α 2 ＝3，则 cos α＝( ) A. 4 5 B．－ 4 5 C．－ 3 5 D. 3 5
cos sin 1-tan- 解析 sIn 1+325 s-+sin- 1+ 答案:B 4.已知函数f(x)= vasin[(1-a)+cos(1-a)的最大值为2,则f(x)的最小正周 期为 解析:∵f(x)=√a+lsin[(1-a)x+d 由已知得a+1=2,∴a=3 -2 答案:π 2cos--sin x-1 5.若tanx=V,则 sin xtcos x 解析:原式 cos x-sin x l-tan x 1 v 2 cos Tsin X +tan x 1+ 答案:2V2-3 6.化简sin2 解:原式=sin2 cOs ZX =sin2 x =esin 2x+cos 2x=sin/ 2x+ 能力提升》 7.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是
解析：cos α＝cos 2α 2 －sin2α 2 ＝ cos 2α 2 －sin2α 2 cos 2α 2 ＋sin2α 2 ＝ 1－tan2α 2 1＋tan2α 2 ＝ 1－3 2 1＋3 2＝－ 4 5 . 答案：B 4．已知函数 f(x)＝ asin[(1－a)x]＋cos[(1－a)x]的最大值为 2，则 f(x)的最小正周 期为________． 解析：∵f(x)＝ a＋1sin[(1－a)x＋φ]， 由已知得 a＋1＝2，∴a＝3. ∴f(x)＝2sin(－2x＋φ)．∴T＝ 2π |－2|＝π. 答案：π 5．若 tan x＝ 2，则 2cos2x 2 －sin x－1 sin x＋cos x ＝______. 解析：原式＝cos x－sin x cos x＋sin x ＝ 1－tan x 1＋tan x ＝ 1－ 2 1＋ 2 ＝ 1－ 2 2 －1 ＝2 2－3. 答案：2 2－3 6．化简1 2 sin2 x 1 tan x 2 －tan x 2 ＋ 3 2 cos 2x. 解：原式＝ 1 2 sin2 x cos x 2 sin x 2 － sin x 2 cos x 2 ＋ 3 2 cos 2x ＝ 1 2 sin2 x· cos 2x 2 －sin2x 2 sin x 2 cos x 2 ＋ 3 2 cos 2x ＝sin2 x· cos x sin x ＋ 3 2 cos 2x ＝ 1 2 sin 2x＋ 3 2 cos 2x＝sin 2x＋ π 3 . 7．函数 y＝2sin x(sin x＋cos x)的最大值是( )
答案:A 1+tan- 8.若cosa=-÷,a是第三象限的角,则 tan C.2 解析:∵a是第三象限角,cosa=-4, 1+tan- 1+2 cos-+sin SIn- cos--sInT cose+sin- cos+sin- cos--sin- cos-+sin 2 1+sin a cos a 答案:A Cos X 9.化简 +cos 4x 1+cos 2x x=- CoS 2sin 2xcos 2x cos 2x sin Zx coS 解析:原式 2cos22x 1-+cos 2x 1+cos x 1+cos 2x 1+cos x sIn X 2cos'x 1+cos x 1+cos x 2
A．1＋ 2 B. 2－1 C. 2 D．2 解析：y＝2sin2 x＋2sin x·cos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝1＋ 2sin 2x－ π 4 ， ymax＝1＋ 2. 答案：A 8．若 cos α＝－ 4 5 ，α 是第三象限的角，则 1＋tan α 2 1－tan α 2 等于( ) A．－ 1 2 B. 1 2 C．2 D．－2 解析：∵α 是第三象限角，cos α＝－ 4 5 ， ∴sin α＝－ 3 5 . ∴ 1＋tan α 2 1－tan α 2 ＝ 1＋ sin α 2 cos α 2 1－ sin α 2 cos α 2 ＝ cos α 2 ＋sin α 2 cos α 2 －sin α 2 ＝ cos α 2 ＋sin α 2 cos α 2 －sin α 2 · cos α 2 ＋sin α 2 cos α 2 ＋sin α 2 ＝ 1＋sin α cos α ＝ 1－ 3 5 － 4 5 ＝－ 1 2 . 答案：A 9．化简： sin 4x 1＋cos 4x · cos 2x 1＋cos 2x · cos x 1＋cos x ＝________. 解析：原式＝2sin 2xcos 2x 2cos2 2x · cos 2x 1＋cos 2x · cos x 1＋cos x ＝ sin 2x 1＋cos 2x · cos x 1＋cos x ＝ 2sin xcos x 2cos2 x · cos x 1＋cos x ＝ sin x 1＋cos x ＝tan x 2
答案:tan 10.设∈[0,2π],OR=(cosb,sin),OP=(3-cos0,4-sin0).则B P两点间距离的取值范围是 解析:∵RB=0P-OR=(3-2cos0,4-2sin0), |RP2=(3-2cos0)2+(4-2sin0)2 9-12cos0-16sinO=29-20cos(0+a) 3≤|RP≤7 答案:[3,7] 1l.求证:J+sin4a-cos401+sin4+cos40 tan B 1-tan2 8 tan B 证明:原式等价于1+sin40-cos4= (1+sin40+cos40) BJ 1+sin 4 0-cos 4 0=tan 20(1+sin 4 0+cos 40).(*) 而(*)式右边=tan20(1+cos4b+sin40) sin 2 =c627(2c20+2sin20cs20) 2sin 2 cos 2 0+2sin22 8 sin 4 0+1-cos 4 0 左边 所以(*)式成立,原式得证 探究拓展 .如图,矩形ABD的长AD=23,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移 叻,B,C两点在第一象限,求OB的最大值 解:过点B作B⊥OA,垂足为E 设∠OAD=00<0<。,则∠BA= BH=sin/T =cos日 2
答案：tan x 2 10．设 θ∈[0,2π]，OP1 →＝(cos θ，sin θ)，OP2 →＝(3－cos θ，4－sin θ)．则 P1、 P2 两点间距离的取值范围是______． 解析：∵P1P2 → ＝OP2 →－OP1 →＝(3－2cos θ，4－2sin θ), ∴|P1P2 → | 2＝(3－2cos θ) 2＋(4－2sin θ) 2 ＝29－12cos θ－16sin θ＝29－20cos(θ＋α)． ∴3≤|P1P2 → |≤7. 答案：[3,7] 11．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ 2tan θ ＝ 1＋sin 4θ＋cos 4θ 1－tan2 θ . 证明：原式等价于 1＋sin 4θ－cos 4θ＝ 2tan θ 1－tan2θ (1＋sin 4θ＋cos 4θ)． 即 1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)．(*) 而(*)式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ) ＝ sin 2θ cos 2θ (2cos2 2θ＋2sin 2θcos 2θ) ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin2 2θ ＝sin 4θ＋1－cos 4θ ＝左边． 所以(*)式成立，原式得证． 12．如图，矩形 ABCD 的长 AD＝2 3，宽 AB＝1，A，D 两点分别在 x，y 轴的正半轴上移 动，B，C 两点在第一象限，求 OB 2 的最大值． 解：过点 B 作 BH⊥OA，垂足为 H. 设∠OAD＝θ 0＜θ＜ π 2 ，则∠BAH＝ π 2 －θ， OA＝2 3cos θ， BH＝sin π 2 －θ ＝cos θ
AH=cos SIn B(2\3cos 0+sin 0 COS 0) 3cos 0+sin 0)+c0s20 7+6co20+2Nsin20=7+4 由0<0≤,知。<20+工4丌 ,OB取得最大值7+3 感悟升华 1.学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背公式,而忽视对思想方法的理解,要学 会借助前面几个有限的公式来推导后继公式,立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公 式 2.辅助角公式 asin x+ bcos x=ya+bsin(x+φ),其中φ满足:①φ与点(a,b 同象限;②tanφ=2或sin中 3.研究形如f(x)= asin X+ bcos x的函数性质,都要运用辅助角公式化为一个整体角 的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公 式,也是高考常考的考点之一,对一些特殊的系数a、b应熟练掌握,例如sinx±cosx= 4sinx±3cosx=2sinx士
AH＝cos π 2 －θ ＝sin θ， ∴B(2 3cos θ＋sin θ，cos θ)， OB 2＝(2 3cos θ＋sin θ) 2＋cos 2 θ ＝7＋6cos 2θ＋2 3sin 2θ＝7＋4 3sin 2θ＋ π 3 . 由 0＜θ＜ π 2 ，知 π 3 ＜2θ＋ π 3 ＜ 4π 3 ， ∴当 θ＝ π 12时，OB 2 取得最大值 7＋4 3. 1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学 会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公 式． 2．辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a 2＋b 2 sin(x＋φ)，其中 φ 满足：①φ 与点(a，b) 同象限；②tan φ＝ b a 或 sin φ＝ b a 2＋b 2，cos φ＝ a a 2＋b 2 . 3．研究形如 f(x)＝asin x＋bcos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角 的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公 式，也是高考常考的考点之一，对一些特殊的系数 a、b 应熟练掌握，例如 sin x±cos x＝ 2sin x± π 4 ；sin x± 3cos x＝2sin x± π 3 等．