学科 数学 年级 年级 主备人 课题 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课型新课 教学目标1、知识与技能:了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系,并通过强化题 目的训练,加深对公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,从 而提高解决问题的能力 2、过程与方法:通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,自觉 地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力 3、情感、态度与价值观:通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观 察分析能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质 教学重点两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导 教学难点灵活运用所学公式进行求值、化简、证明 教学方法引导发现式教学法 教学资源教材、教辅与网络资源 教学过程设计 教师活动(教学内容呈现,适当标出活动) 设计意图及用时 、导入新1.引导同学一起回顾两角差的余弦公式 温故知新3分 课(复习导2然后教师引导学生观察c080B与co0+B),smB的内在联系, 进行由旧知推出新知的转化过程,从而引出Ca+B)、Sa)、S(a+B 本节课我们共同研究公式的推导及其应用 、讲授新1、两角和余弦公式的推导 课(合做探(= cosacosB+sinasinB 引导学生探究、发现新 究) 在公式C中,角β是任意角,请学生思考角aB中β换成角是知 否可以?鼓励学生大胆猜想,引导学生比较co0-)与coa+B)中18-22 角的内在联系,学生有的会发现a-β中的角β可以变为角-B,所以 a(-B)=a+β(也有的会根据加减运算关系直接把和角a+B化成差角 a-(-B)的形式).这时教师适时引导学生转移到公式Cap上来这样 就很自然地得到 cos(+β)=cos[a-(-B)] =cosacos(-B)+sinasin(-B) 所以有如下公式
学科 数学 年级 一年级 主备人 课题 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课型 新课 教学目标 1、 知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题 目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从 而提高解决问题的能力. 2、过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉 地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力. 3、 情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观 察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质 教学重点 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导 教学难点 灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 教学方法 引导发现式教学法 教学资源 教材、教辅与网络资源 教学过程设计 第一课时 教师活动（教学内容呈现，适当标出活动） 设计意图及用时 一、导入新 课（复习导 入） 二、讲授新 课（合做探 究） 1.引导同学一起回顾两角差的余弦公式 2.然后教师引导学生观察 cos(α-β)与 cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系， 进行由旧知推出新知的转化过程，从而引出 C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)。。 本节课我们共同研究公式的推导及其应用. 1、两角和余弦公式的推导 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 在公式 C(α-β)中，角 β 是任意角，请学生思考角 α-β 中 β 换成角-β 是 否可以？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较 cos(α-β)与 cos(α+β)中 角的内在联系，学生有的会发现 α-β 中的角 β 可以变为角-β，所以 α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角 α+β 化成差角 α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式 C(α-β)上来,这样 就很自然地得到 cos(α+β)=cos［α-(-β)］ =cosαcos(-β)+sinαsin(-β) =cosαcosβ-sinαsinβ. 所以有如下公式： 温故知新 3 分 引导学生探究、发现新 知 18---22
我们称以上等式为两角和的余弦公式,记作C(a+B 2、思考:在公式Ca)、C(a的基础上能否推导sin(a+B)=?sin(a-B)= (a+B) 教师引导学生观察思考,怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢? 我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢?学生可能有的想到利 用诱导公式(5)(6)来化余弦为正弦 3、3、尝试探究两角和差的正弦公式的推导 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式 sin(a+B)=cos [--(a+B)]=cos [(--a)-B] =cos(--a)cosB+sin(--a)sinB = sinacom+ cousin阝 在上述公式中β用-B代之,则 sin(a-B=sin [a+(-B)]=sinacos(-B)+cosasin(-B) =sinacosB-cosasinR 因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为Sa、Sap sin(a+B=sinacosB+cosasinB sin(a-B=sinacosB-cosasinp 教师引导学生思考,在我们推出了公式CaB)、C(+、Sa+B)、Sa-B)后, 自然想到两角和与差的正切公式,怎么样来推导出tan(a B)=2tan(a+B)=?呢?学生很容易想到利用同角三角函数关系式,化弦 为切得到在学生探究推导时很可能想不到讨论,这时教师不要直接 提醒,让学生自己推导出来 n a+ co(+B)≠0时,tan(a+B)= cos(a+B) cos a cos B-sin asin B 如果 cosacosf+0,即cosa0且cos0时,分子、分母同除以 cosmos tam+lana+tanβ,据角a、阝的任意性,在上面的式子中, I-tan a tan(-B) B用-B代之,则有 tan a+tan(-B) tan a-tan B tan(a-B)= I-tan a tan(-B) 1+tan a tan B 由此推得两角和、差的正切公式,简记为TaB)、Ta+ 可让学生自己画出这六个框图通过逻辑联系图,深刻理解它们 之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式同时教师应提醒学 生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形 用如两角和与差的正切公式的变形式
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作 C(α+β). 2、思考：在公式 C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导 sin(α+β)=?sin(α-β)=? tan(α-β)=? tan（α+β）=？ 教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？ 我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利 用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦 3、 3、尝试探究两角和差的正弦公式的推导 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式. sin(α+β)=cos［ 2 -(α+β)］=cos［( 2 -α)-β］ =cos( 2 -α)cosβ+sin( 2 -α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中,β 用-β 代之，则 sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β) =sinαcosβ-cosαsinβ. 因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为 S(α+β)、S(α-β). sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 教师引导学生思考，在我们推出了公式 C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后, 自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出 tan(α- β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦 为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接 提醒，让学生自己推导出来. cos(α+β)≠0 时，tan(α+β)= . cos cos sin sin sin cos cos sin cos( ) sin( ) − + = + + a a 如果 cosαcosβ≠0,即 cosα≠0 且 cosβ≠0 时,分子、分母同除以 cosαcosβ 得 tan(α+β)= 1 tan tan( ) tan tan − − + ，据角 α、β 的任意性，在上面的式子中， β 用-β 代之，则有 tan(α-β)= . 1 tan tan tan tan 1 tan tan( ) tan tan( ) + − = − − + − 由此推得两角和、差的正切公式，简记为 T(α-β)、T(α+β). 可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们 之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学 生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形 用.如两角和与差的正切公式的变形式 ) 2 sin cos( = − cos sin tan =
SotohCietnICe-nhste-n] T 课内练应用示例 示范点拨,加深理解 已知sin=--,a是第四象限角,求 0)co+a)tan(2-0的7--10 活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意 认真分析条件,明确要求再思考应该联系什么公式,使用公式时要 有什么准备,准备工作怎么进行等例如本题中,要先求出cosa,tano 的值,才能利用公式得解,本题是直接应用公式解题,目的是为了让 学生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立完成 解:由si、3 、α是第四象限角,得cosα= sin a ∴tana= cos a 于是有sim(z -asin 3、7√2 cosd-Sin- sInd- tan a- tan 4 tan a-1 tan(d-4 1+ tan a tan 丌1+tana 点评:本例是运用和差角公式的基础题,安排这个例题的目的是 为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯 例题2、利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1) sin 72 cos 42-cos 72 sin 42 (2) cos 20 cos 70"-sin 20 sin 70 1+ tan 15 tan 1
三、课内练 习 应用示例 例 1、 已知 sinα= 5 3 − ,α 是第四象限角，求 sin( 4 -α),cos( 4 +α),tan( 4 -α)的 值 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意 认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要 有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出 cosα,tanα 的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让 学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成. 解 ： 由 sinα= 5 3 − ,α 是第四象限角，得 cosα= 5 4 ) 5 3 1 sin 1 ( 2 2 − a = − − = . ∴tanα= a a cos sin = 4 3 − . 于是有 sin( 4 -α)=sin 4 cosα-cos 4 sinα= , 10 7 2 ) 5 3 ( 2 2 5 4 2 2 − − = cos( 4 +α)=cos 4 cosα-sin 4 sinα= , 10 7 2 ) 5 3 ( 2 2 5 4 2 2 − − = tan(α- 4 )= 4 1 tan tan 4 tan tan a a + − = a a 1 tan tan 1 + − = 7 ) 4 3 1 ( 1 4 3 = − + − − − . 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是 为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯. 例题 2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、 sin 72 cos 42 cos72 sin 42 − （2）、 cos 20 cos70 sin 20 sin 70 − ； （3）、 1 tan15 1 tan15 + − 示范点拨，加深理解 7----10
巩固训练,体会应用 课堂练习 过程 l、si7cos37°-sin83°sn37的值为( 1-tan275 的值为() 3 )-23 3若sn2xsn3x=cos2xcos3x,则x的值是( 丌 4若0sO=2,0∈(3z2则si(+ 四、课堂小 知识与方法总结、梳 小结:本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟理 记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用 五、课后作 求tana+的作业布置1 业 1、已知an(a+B)==,an| 2.0<B<z<a B 求sin(a+B)的值
四、课堂小 结 五、课后作 业 课堂练习： 1、sin 7cos37 −sin 83sin 37的值为 ( ) (A) 2 3 − (B) 2 1 − (C) 2 1 (D) 2 3 ( ) tan 75 1 tan 75 2 2 、 的值为 − (A) 2 3 (B) 3 2 3 (C) − 2 3 (D) 3 2 3 − 3、若sin 2xsin 3x = cos2xcos3x,则x的值是 ( ) (A) 10 (B) 6 (C) 5 (D) 4 ________ . 3 ,2 , sin 2 3 , 5 1 4 cos = + = 、若 则 小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟 记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 作业： 1、 已 知 ( ) 2 1 tan , tan , 5 4 4 + = − = 求 tan 4 + 的 值．（ 3 22 ） 2. ( ) 3 3 3 5 0 ,cos ,sin 4 4 4 5 4 13 − = + = ， 求 sin( + ) 的值． 巩固训练，体会应用 过程 7----12 知识与方法总结、梳 理 2 作业布置 1
次、版书设课题:32两角和与差的正弦余弦正切公式(一 cos(a+B)=cosacosB-sinasinB 51 课堂练习 sin(a+B=sinacosp sin(a-B)= tan(a+B)s tan a+tan B 例2、 tan a tan tan a-tan tan(a-B)= nB 1+ tan a tan B 七、课后反
六、版书设 计 七、课后反 思： 课题：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一） cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 例 1 课堂练习 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. tan(α+β)= , 1 tan tan tan tan − + 例 2、 tan(α-β)= . 1 tan tan tan tan + −