人教版高中数学同步练习 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 【课时目标】1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式2掌握两角和 与差的正切公式及变形运用 知识梳理o 1.两角和与差的正切公式 (1)Ta+B): tan(a+B)= (2)T(a-p): tan(a-B) 2.两角和与差的正切公式的变形 (1)Ta+B的变形 +tan B tan at tan B-+tan atan Btan(atB (2Ta-B的变形: tan a-tan B tan a-tan B-tan atan Btan(a-B) tan atan B 业设计 、选择题 1.已知a∈(,π,sina=2,则tan(a+的值等于() 2.若sna=s,tan(a+p=1,且a是第二象限角,则mB的值是() 3.已知tana=,tanB= 3,则a+B的值是( 4.A,B,C是△ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根, 则△ABC是() A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 6.在△ABC中,角C=10,A+m=3个的m教 5.化简tan10tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°的值等 C.tan10° 则 tan atan B的值为( 答案 二、填空题
人教版高中数学同步练习 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 课时目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和 与差的正切公式及变形运用． 1．两角和与差的正切公式 (1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________. (2)T(α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝____________________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________. tan α·tan β＝______________________________________________________________. (2)T(α－β)的变形： tan α－tan β＝______________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________. tan αtan β＝______________________________________________________________. 一、选择题 1．已知 α∈ π 2 ，π ，sin α＝ 3 5 ，则 tan α＋ π 4 的值等于( ) A.1 7 B．7 C．－ 1 7 D．－7 2．若 sin α＝ 4 5 ，tan(α＋β)＝1，且 α 是第二象限角，则 tan β 的值是( ) A.4 3 B．－ 4 3 C．－7 D．－ 1 7 3．已知 tan α＝ 1 2 ，tan β＝ 1 3 ，0<α< π 2 ，π<β< 3π 2 ，则 α＋β 的值是( ) A.π 4 B.3π 4 C.5π 4 D.7π 4 4．A，B，C 是△ABC 的三个内角，且 tan A，tan B 是方程 3x 2－5x＋1＝0 的两个实数根， 则△ABC 是( ) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 5．化简 tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A．1 B．2 C．tan 10° D. 3tan 20° 6．在△ABC 中，角 C＝120°，tan A＋tan B＝ 2 3 3 ，则 tan Atan B 的值为( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.5 3 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题
1+tan75° 8.已知tan cosa+c0a的值为 9.如果ma,tmB是方程x-3x-3=0两根,则(a+B cos(ap) 10.已知(a、B均为锐角,且m=0a+5m,则ma+ 、解答题 11.在△ABC中,tanB+tanC+√3 tan Btan c=√3,且3tanA+3tanB+1= tan atan B, 试判断△ABC的形状 12.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角a,B,它们的终边分别与 单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为105 求tan(a+B)的值 【能力提升】 13.已知tn(aB=y,tm27且a,B∈(0,m),求2a-B的值 14.已知锐角三角形ABC中,smA+B)=3,smA-B=1 (1)求证:tanA=2tanB (2)设AB=3,求AB边上的高
7. 1＋tan 75° 1－tan 75°＝________. 8．已知 tan π 4 ＋α ＝2，则 1 2sin αcos α＋cos2α 的值为________． 9．如果 tan α，tan β 是方程 x 2－3x－3＝0 两根，则sin(α＋β) cos(α－β) ＝________. 10．已知 α、β 均为锐角，且 tan β＝ cos α－sin α cos α＋sin α ，则 tan(α＋β)＝________. 三、解答题 11．在△ABC 中，tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3，且 3tan A＋ 3tan B＋1＝tan Atan B， 试判断△ABC 的形状． 12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别与 单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 2 10， 2 5 5 . 求 tan(α＋β)的值． 能力提升 13．已知 tan(α－β)＝ 1 2 ，tan β＝－ 1 7 ，且 α，β∈(0，π)，求 2α－β 的值． 14．已知锐角三角形 ABC 中，sin(A＋B)＝ 3 5 ，sin(A－B)＝ 1 5 . (1)求证：tan A＝2tan B； (2)设 AB＝3，求 AB 边上的高．
O反思感悟 1.公式Ta+p的适用范围 由正切函数的定义可知a、B.a+R或a-的终边不能落在y轴上,即不为+2k∈Z 2.公式Ta+的逆用 方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换如m=1,mE=￥,mn等 1+tan a 要特别注意tmn4+a)=1-imnd I-tan a 1+tan a 3.公式Ta+B1的变形应用 只要见到 tan attan B, tan atanβ时,有灵活应用公式Ta的意识,就不难想到解题思路 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 答案 知识梳理 1.(1 tan atan B1+tan atan B 2.(1)tan(a+B)(I-tan atan B)tan(atB)/ tan a+tan p tan(a+B) (2)tan(a-B)(1-t tan atan B)tan(a-P) tan a-tan B tan(ab/ 作业设计 1.A2C3.C 4.a [ tan A+tan B=3, tan A-tan B tan C=-tan(A+ B) C为钝角.] 5.A[原式=tan10an20°+3tan20°+√3tn10° tan10°+tan20 l0°tan20°) tan30°=1 6. B tan(A+B)=-tan C=-tan 120 ∴tan(4+b) s tan A-+tanB 1-tan Atan B √3,解得 tan A tan B an atan B 1+tan 解析 tan a sinaT cos-a tana+1 9 解得tana 2sin acos a+cosa 2sin acos a+cosa 2tan a+1 2
1．公式 T(α±β)的适用范围 由正切函数的定义可知 α、β、α＋β(或 α－β)的终边不能落在 y 轴上，即不为 kπ＋ π 2 (k∈Z)． 2．公式 T(α±β)的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如 tan π 4 ＝1，tan π 6 ＝ 3 3 ，tan π 3 ＝ 3等． 要特别注意 tan(π 4 ＋α)＝ 1＋tan α 1－tan α ，tan(π 4 －α)＝ 1－tan α 1＋tan α . 3．公式 T(α±β)的变形应用 只要见到 tan α±tan β，tan αtan β 时，有灵活应用公式 T(α±β)的意识，就不难想到解题思路． 3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 答案 知识梳理 1．(1) tan α＋tan β 1－tan αtan β (2) tan α－tan β 1＋tan αtan β 2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－ tan α＋tan β tan(α＋β) (2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan β tan(α－β) －1 作业设计 1．A 2.C 3.C 4．A [tan A＋tan B＝ 5 3 ，tan A·tan B＝ 1 3 ， ∴tan(A＋B)＝ 5 2 ，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－ 5 2 ， ∴C 为钝角．] 5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋ 3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝ 3(tan 10°＋tan 20°＋ 3 3 tan 10°tan 20°) ＝ 3tan 30°＝1.] 6．B [tan(A＋B)＝－tan C＝－tan 120°＝ 3， ∴tan(A＋B)＝ tan A＋tan B 1－tan Atan B ＝ 3，即 2 3 3 1－tan Atan B ＝ 3，解得 tan A·tan B＝ 1 3 .] 7．－ 3 8.2 3 解析 ∵tan π 4 ＋α ＝2，∴ 1＋tan α 1－tan α ＝2， 解得 tan α＝ 1 3 . ∴ 1 2sin αcos α＋cos2α ＝ sin2α＋cos2α 2sin αcos α＋cos2α ＝ tan2α＋1 2tan α＋1 ＝ 1 9 ＋1 2 3 ＋1 ＝ 2 3 . 9．－ 3 2
解析sna+= sin acos B+ os aSIn=tmna+1nB=3 cos(a-B) cos acos B+sin asin B 1+tan atan B 1+(3)2 解析tanB cos aSIn a os a+sin a 1+tan a tan B+tan atan B=1-tan a tan a+tan B+tan atan B=1 tan a+tan B=1-tan atan B tan a+tan B tan atan B ,∴tan(a+B) 1.解由tanB+tanC+√3 Btan btan c=5, 得tanB+tanC=√3(1- tan Btan C tan B+tan C ∴tan(B+C 又∵∴B+C∈(0,π),∴B+C 又√3anA+3tanB+1= tan atan b, ∴tanA+tanB= ,3(1- tan Atan6), A+tan tan(A+B)=I-tan Atan B √3 而A+B∈(0,π),∴A+B=,又∵∴A+B+C=π B=C=2∴△ABC为等腰三角形 12.解由条件得cosa= 5 10 ∴a,B为锐角,∴sna=l1-a 因此 7, tan B nB cos a tan(a+B)= tan a+tanB 7X/ tan a tan B 13.解tana=tan[(a- tan(a-B)+tan B -B)+p=-tan(a-B)tan p 而a∈(0,π),故a∈(0, B 2a-B=a+(a-B)∈(-兀,0) tan(2a-p)=tan at(a-p)=I-tan atan(a-B-1 3π
解析 sin(α＋β) cos(α－β) ＝ sin αcos β＋cos αsin β cos αcos β＋sin αsin β ＝ tan α＋tan β 1＋tan αtan β ＝ 3 1＋(－3) ＝－ 3 2 . 10．1 解析 tan β＝ cos α－sin α cos α＋sin α ＝ 1－tan α 1＋tan α . ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11．解 由 tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3， 得 tan B＋tan C＝ 3(1－tan Btan C)． ∴tan(B＋C)＝ tan B＋tan C 1－tan Btan C ＝ 3， 又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝ π 3 . 又 3tan A＋ 3tan B＋1＝tan Atan B， ∴tan A＋tan B＝－ 3 3 (1－tan Atan B)， ∴tan(A＋B)＝ tan A＋tan B 1－tan Atan B ＝－ 3 3 ， 而 A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝ 5π 6 ，又∵A＋B＋C＝π， ∴A＝ 2π 3 ，B＝C＝ π 6 .∴△ABC 为等腰三角形． 12．解 由条件得 cos α＝ 2 10，cos β＝ 2 5 5 . ∵α，β 为锐角，∴sin α＝ 1－cos2 α＝ 7 2 10 ， sin β＝ 1－cos2 β＝ 5 5 . 因此 tan α＝ sin α cos α ＝7，tan β＝ sin β cos β ＝ 1 2 . tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan α·tan β ＝ 7＋ 1 2 1－7× 1 2 ＝－3. 13．解 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ tan(α－β)＋tan β 1－tan(α－β)tan β ＝ 1 3 >0. 而 α∈(0，π)，故 α∈(0， π 2 )． ∵tan β＝－ 1 7 ，00， ∴－π<α－β<－ π 2 . ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． ∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝ tan α＋tan(α－β) 1－tan αtan(α－β) ＝1， ∴2α－β＝－ 3π 4
14.(1)证明:sn(4+B5sn(4-B= sin Acos B+cos Asin B3 sin acos b=- tan A tanB 2, 所以tanA=2ta sin acos b-cos asin b= cos asin b=- (2解∵+B<π,sn(4+B5m4+B)=-3,即m4+mB_3 tan atan b 4 将tanA=2tanB代入上式并整理得,2tan2B-4tanB-1=0 解得tanB 舍去负值,得tanB ∴tanA=2tanB=2+V6设AB边上的高为CD CD CD 3CD 则AB=AD+DB 2+ √6 由AB=3,得CD=2+√6∴AB边上的高等于2+V6
14．(1)证明 ∵sin(A＋B)＝ 3 5 ，sin(A－B)＝ 1 5 ， ∴ sin Acos B＋cos Asin B＝ 3 5 sin Acos B－cos Asin B＝ 1 5 ⇒ sin Acos B＝ 2 5 cos Asin B＝ 1 5 ⇒ tan A tan B ＝2，所以 tan A＝2tan B. (2)解 ∵ π 2 <A＋B<π，sin(A＋B)＝ 3 5 ，∴tan(A＋B)＝－ 3 4 ，即 tan A＋tan B 1－tan Atan B ＝－ 3 4 . 将 tan A＝2tan B 代入上式并整理得，2tan2 B－4tan B－1＝0. 解得 tan B＝ 2± 6 2 ，舍去负值，得 tan B＝ 2＋ 6 2 . ∴tan A＝2tan B＝2＋ 6.设 AB 边上的高为 CD. 则 AB＝AD＋DB＝ CD tan A ＋ CD tan B ＝ 3CD 2＋ 6 . 由 AB＝3，得 CD＝2＋ 6.∴AB 边上的高等于 2＋ 6