3.1两角和与差的正弦余弦正切公式 教材分析 本节课选自人教版数学必修四第三章第一节的第二课时,属于命题课。两角和与差的正弦、余 弦、正切公式是在学习了两角差的余弦公式基础上进行教学,是对之前学习过的三角函数的推广, 同时也是后面学习三角函数的变化的基础 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的学习主要运用了数学的转化思想,同时也体现了逻辑推 理思想 二.学情分析 本节课的授课对象是高中一年级学生,学生已经对三角函数有一定的了解,有一定的逻辑推理能 力,但是此节课对转化思想的运用要求较好,能否熟练掌握转化过程对两角和与差的正弦、余弦、 正切公式的学习有较大的影响。 三.教学目标分析 1.知识与技能: 了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系,并通过强化题 目的训练,加深对公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力 2.过程与方法 探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,利用联系变化的观点来分析问题,提高 分析问题解决问题的能力 3.情感态度、价值观: 掌握寻找数学规律的方法,提高观察分析能力,培养应用意识,提高数学素质 4.教学重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导 教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明 四.教法学法 教法:采取类比引导、“启发探究式”教学方法,结合多媒体辅助教学 学法:采取自主探索、类比猜想、合作交流等形式。 五.教学过程 根据课改的精神,本着“以学生发展为本”的教学理念,结合学生实际,将教学过程分为4个 环节:创设情境—一引入新课
1 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 3.1 两角和与差的正弦余弦正切公式 一．教材分析 本节课选自人教版数学必修四第三章第一节的第二课时，属于命题课。两角和与差的正弦、余 弦、正切公式是在学习了两角差的余弦公式基础上进行教学，是对之前学习过的三角函数的推广， 同时也是后面学习三角函数的变化的基础。 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的学习主要运用了数学的转化思想，同时也体现了逻辑推 理思想。 二．学情分析 本节课的授课对象是高中一年级学生，学生已经对三角函数有一定的了解，有一定的逻辑推理能 力，但是此节课对转化思想的运用要求较好，能否熟练掌握转化过程对两角和与差的正弦、余弦、 正切公式的学习有较大的影响。 三．教学目标分析 1.知识与技能： 了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题 目的训练，加深对公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。 2.过程与方法： 探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，利用联系变化的观点来分析问题，提高 分析问题解决问题的能力 3.情感态度、价值观： 掌握寻找数学规律的方法，提高观察分析能力，培养应用意识，提高数学素质。 4. 教学重点: 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导 教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明 四．教法学法 教法：采取类比引导、“启发探究式”教学方法，结合多媒体辅助教学 学法：采取自主探索、类比猜想、合作交流等形式。 五．教学过程 根据课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，将教学过程分为 4 个 环节：创设情境——引入新课
提出问题一一衍生新知 例题示范一一深化认识 课堂小结一一布置作业 1.创设情境一—引入新课 回顾之前学过的两角差的余弦公式cos(a-B)= cos a cos p+ sin a sin g 问题1:已知sina ,∈(丌, 2,Cos B= 4 B ,2丌),求cos(a-B)值 5 设计意图:通过回顾之前学过的两角差的余弦公式和让学生做一个相关的练习题,加深学生对两角 差的余弦公式的记忆,为学习下面内容做铺垫 师生活动:请同学们做一下题一,请一位同学上来把做题过程写一下 2.提出问题一一衍生新知 问题2:那该如何计算cos(a+B)的值呢? 设计意图:在做了关于两角差的余弦公式的相关题目后,提问这两个角的和的余弦值,引发学生思 考,可以说明两角和与差的求法是有联系,引出两角和的余弦公式。 师生活动:两角和的余弦公式中的a和B可以是任意角,那可以怎样任意呢?比较一下cos(a-β) 和cos(a+B),可以发现a-B中的角β可以变成-B,所以就有 cos (a+B)=cos [a-(B)] =cos a cos(B)+sin a sin(B) =cos a cos B -sin a sin B 得到公式cos(a+β)= cos a cosβ- sin a sin g。我们称以上等式为两角和的余弦公式,记作C(a+)。 这样我们就可以求解问题一中的两角和的余弦公式的值了,代入求解得到。 问题3:你能根据C(-B),C(a+及诱导公式,推导出用任意角a,β的正弦、余弦值表示 sIn+) sin(a-单)的公式吗? 设计意图:在知道了两角和的余弦公式的推导过程后,掌握了转化思想,再提示通过已经学习过的 公式来推导两角和与差的正弦公式,可以让学生更好理解。 师生活动:现在我们已经知道了两角和的正弦公式,那同学们能不管根据学过的两角和与差的余弦 公式和诱导公式(5),(6)推导出两角和与差的正弦公式呢?同学们可以尝试着用两角和的余弦公 式的推导过程来推导两角和与差的正弦公式。下面我们先介绍两角和差的正弦公式推导过程。 sin(a+B)=cos [--(a+B)]=cos [(--a)-B]
2 提出问题——衍生新知 例题示范——深化认识 课堂小结——布置作业 1.创设情境——引入新课 回顾之前学过的两角差的余弦公式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。 问题 1： 设计意图：通过回顾之前学过的两角差的余弦公式和让学生做一个相关的练习题，加深学生对两角 差的余弦公式的记忆，为学习下面内容做铺垫。 师生活动：请同学们做一下题一，请一位同学上来把做题过程写一下。 2．提出问题——衍生新知 问题 2：那该如何计算 cos( + ) 的值呢？ 设计意图：在做了关于两角差的余弦公式的相关题目后，提问这两个角的和的余弦值，引发学生思 考，可以说明两角和与差的求法是有联系，引出两角和的余弦公式。 师生活动：两角和的余弦公式中的α和β可以是任意角，那可以怎样任意呢？比较一下 cos(α-β) 和 cos（α+β），可以发现α-β中的角β可以变成-β，所以 就有 cos(α+β)=cos［α-(-β)］ =cosαcos(-β)+sinαsin(-β) =cosαcosβ-sinαsinβ. 得到公式 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作 C(α+β)。 这样我们就可以求解问题一中的两角和的余弦公式的值了，代入求解得到。 问题 3：你能根据 C（α-β），C（α+β）及诱导公式,推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示 sin（α+ β ）， sin（α-β）的公式吗? 设计意图：在知道了两角和的余弦公式的推导过程后，掌握了转化思想，再提示通过已经学习过的 公式来推导两角和与差的正弦公式，可以让学生更好理解。 师生活动：现在我们已经知道了两角和的正弦公式，那同学们能不管根据学过的两角和与差的余弦 公式和诱导公式（5），（6）推导出两角和与差的正弦公式呢？同学们可以尝试着用两角和的余弦公 式的推导过程来推导两角和与差的正弦公式。下面我们先介绍两角和差的正弦公式推导过程。 sin(α+β)=cos［ 2 -(α+β)］=cos［( 2 -α)-β］ ,2 ),求 cos( )的值. 2 3 , ( 5 4 ),cos 2 3 , ( , 2 1 已知 sin = − = −
=cos(--a)cos B +sin( 请同学们在本子上推导一下两角和的正弦公式,等等请一位同学到黑板上写出他的推导过程。 师生活动:同学们小组讨论一下两角和与差的正切公式的推导,教师走到学生中可以给推导不出的 学生适当的指导,然后在黑板上给学生写出推导过程。cos(a+β)≠0时, tan(a+B sin( a+B)sin cos(a+B)cos a cos B-sin asin B 如果 cos a cos B≠0,即cosa≠0且cosB≠0时,分子、分母同除以 cos a cosβ得 tan(a+B)=ana+an,据角a、B的任意性,在上面的式子中,B用B代之,则有 I-tan a tan(-) tan (a-B)= tan a +tan(-B) tan a-tan B 1-tan a tan(-B) 1+ tan a tan B 由此推得两角和、差的正切公式,简记为 教师归纳:在大部分学生都写出了两角和的正弦公式以后,对黑板上同学的推导进行修正和评价 sin (a-B)=sin [a+(B)]=sin a cos (-B)+cos a sin(-B) =sin a cos b -cos a sin B 所以就可以得到两角和与差的正弦公式,分别简记为S(a+B)、S(a- sin(a-B)=sin a cos B -cos a sin B 问题4:,在我们推出了公式C(a-)、C(a+B)、S(a+B)、Sa-B)后,自然想到两角和与差的正切公式,怎么 样来推导出tan(a-B),tan(a+β)呢?求同学们小组讨论一下。 设计意图:在介绍了公式推导的主要思想后,让同学们讨论交流,自主学习,加强对公式和公式推 导过程的印象。学会自主探究,类比归纳。 教师归纳:画出这六个框图,通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运 用这些公式。同时应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用 如两鱼和与差的正切公 (a+P) C(a+B) (a-p)
3 =cos( 2 -α)cosβ+sin( 2 -α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ 请同学们在本子上推导一下两角和的正弦公式，等等请一位同学到黑板上写出他的推导过程。 教师归纳：在大部分学生都写出了两角和的正弦公式以后，对黑板上同学的推导进行修正和评价。 sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β) =sinαcosβ-cosαsinβ 所以就可以得到两角和与差的正弦公式，分别简记为 S(α+β)、S(α-β). sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 问题 4：，在我们推出了公式 C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么 样来推导出 tan(α-β)， tan(α+β)呢？求同学们小组讨论一下。 设计意图：在介绍了公式推导的主要思想后，让同学们讨论交流，自主学习，加强对公式和公式推 导过程的印象。学会自主探究，类比归纳。 教师归纳：画出这六个框图，通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运 用这些公式。同时应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用. 如两角和与差的正切公式的变形式 师生活动：同学们小组讨论一下两角和与差的正切公式的推导，教师走到学生中可以给推导不出的 学 生 适 当 的 指 导 ， 然 后 在 黑 板 上 给 学 生 写 出 推 导 过 程 。 cos(α+β)≠0 时 ， tan(α+β)= . cos cos sin sin sin cos cos sin cos( ) sin( ) − + = + + a a 如果 cosαcosβ≠0,即 cosα≠0 且 cosβ≠0 时,分子、分母同除以 cosαcosβ 得 tan(α+β)= 1 tan tan( ) tan tan − − + ，据角 α、β 的任意性，在上面的式子中，β 用-β 代之，则有 tan(α-β)= . 1 tan tan tan tan 1 tan tan( ) tan tan( ) + − = − − + − 由此推得两角和、差的正切公式，简记为 T(α-β)、T(α+β)
3.例题示范一—深化认识 然后在例题讲解中,我设置了两道例题 问题5:例1、已知sina=-3,a是第四象限角,求sin(z-a),s(z+a),tan(z-a)的值。 设计意图:通过例题的讲解练习,加深对公式的理解,直接应用公式求解,初步熟悉公式的应用。 师生活动:解:由sina a是第四象限角,得 cos d 1-sn2a=11-( cos a 4 于是有sin(-a)=ia3osa- cos-sin as v24 3、7 4 √2 cos(-+a)=cos -cos a -sin-sina= tan a- tan tan a-1 1+tanatan t 1+tana 1+(- 例题2、利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1)、sin72cos42-cos72sin42° 2)、cos20cos70°-sin20sin70 1+tan 15 tan 15 问题6:课堂练习 1、si7°cos37°-sn83°sn37的值为() (A)一 an275° 的值为()
4 3.例题示范——深化认识 然后在例题讲解中，我设置了两道例题 问题 5：例 1、已知 sinα= 5 3 − ,α 是第四象限角，求 sin( 4 -α),cos( 4 +α),tan( 4 -α)的值。 设计意图：通过例 题的讲解练习，加深对公式的理解，直接应用公式求解，初步熟悉公式的应用。 师生活动：解：由 sinα= 5 3 − ,α 是第四象限角，得 cosα= 5 4 ) 5 3 1 sin 1 ( 2 2 − a = − − = . ∴tanα= a a cos sin = 4 3 − . 于是有 sin( 4 -α)=sin 4 cosα-cos 4 sinα= , 10 7 2 ) 5 3 ( 2 2 5 4 2 2 − − = cos( 4 +α)=cos 4 cosα-sin 4 sinα= , 10 7 2 ) 5 3 ( 2 2 5 4 2 2 − − = tan(α- 4 )= 4 1 tan tan 4 tan tan a a + − = a a 1 tan tan 1 + − = 7 ) 4 3 1 ( 1 4 3 = − + − − − . 例题 2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、 sin 72 cos 42 cos72 sin 42 − （2）、 cos 20 cos70 sin 20 sin 70 − ； （3）、 1 tan15 1 tan15 + − 问题 6：课堂练习： 1、sin 7cos37 −sin 83sin 37的值为 ( ) (A) 2 3 − (B) 2 1 − (C) 2 1 (D) 2 3 ( ) tan 75 1 tan 75 2 2 、 的值为 −
(A)2√3 3若sn2xsin3x=cos2xcos3x,则x的值是() 6 4、若cosb=,O∈=,2z,则sin+ 5 2 设计意图:设计课堂小结,让学生在课上就对公式的理解和记忆有熟练的运用 4.课堂小结一一布置作业 本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发现 规律,学会灵活运用 T(a+a) 作业: 书本P131页1,5,7题。 六、板书设计 课题:3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(a+B)= cos a cos p- sin a sin B例1课堂练习 sin(a+B)=sin a cos B +cos a sin B sin (a-B)=sin a cos B-cos a sin B tan(a+B) tan a+ tan B 例2、 1-tan a tan B tan(a-B)tan a-tan B I+tan a tan B
5 (A) 2 3 (B) 3 2 3 (C) − 2 3 (D) 3 2 3 − 3、若sin 2xsin 3x = cos2xcos3x,则x的值是 ( ) (A) 10 (B) 6 (C) 5 (D) 4 ________. 3 ,2 , sin 2 3 , 5 1 4 cos = + = 、若 则 设计意图：设计课堂小结，让学生在课上就对公式的理解和记忆有熟练的运用。 4.课堂小结——布置作业 本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现 规律，学会灵活运用 作业： 书本 P131 页 1,5,7 题。 六、板书设计 课题：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 例 1 课堂练习 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. tan(α+β)= , 1 tan tan tan tan − + 例 2、 tan(α-β)= . 1 tan tan tan tan + −