3.2《简单的三角恒等变换》教学设计 【教学目标】 1会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,引导学生推导半角公式,积化和 差、和差化积公式(公式不要求记忆), 2使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入:复习倍角公式S2C2T20 先让学生默写三个倍角公式,注意等号两边角的关系,特别注意.既然能用单角 表示倍角,那么能否用倍角表示单角呢? 新授课阶段 半角公式的推导及理解: 例1、试以cosa表示sin2a,cos2a,tan2a 解析:我们可以通过二倍角cosa=2cos2--1和cosa=1-2sin-来做此题.( 倍角公式中以a代2a,代a) 解:因为cosa=1-2sin2e 2可以得到sn2=1-osa 因为cosc≈)20-1,可以得到co a 1+cosa 两式相除可以得到an2a、Sn2a C 1-cos a sIn 点评:(1)以上结果还可以表示为 1+cosa cos a tan 1+cos a 并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2角的象限决定
3.2《简单的三角恒等变换》教学设计 【教学目标】 1 会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和 差、和差化积公式（公式不要求记忆）， 2 使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入：复习倍角公式 S2 、 C2 、T 2 先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意 C2 .既然能用单角 表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 新授课阶段 半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以 cos 表示 2 2 2 sin ,cos , tan 2 2 2 ． 解析：我们可以通过二倍角 2 cos 2 cos 1 2 = − 和 2 cos 1 2sin 2 = − 来做此题．（二 倍角公式中以代 2， 2 代） 解：因为 2 cos 1 2sin 2 = − ，可以得到 2 1 cos sin 2 2 − = ； 因为 2 cos 2 cos 1 2 = − ，可以得到 2 1 cos cos 2 2 + = ． 两式相除可以得到 2 2 2 sin 1 cos 2 tan 2 1 cos cos 2 − = = + ． 点评：⑴以上结果还可以表示为： 1 cos sin 2 2 1 cos cos 2 2 − = + = 1 cos tan 2 1 cos − = + 并称之为半角公式（不要求记忆），符号由 2 角的象限决定
(2)降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明 (3)代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换,三角恒等变换常常首先寻找式子所包含 的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系他们的适当公式,这是三角式恒等变换的 重要特点 例2求证 (1)sina cos B=sin(a+B)+sin(a-B)] (2) sin 8+sing=2sin0+0 6 cOs- 解析:回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式,观察公式与所证式子的联系 证明:(1)因为sn(a+B)和sin(-B)是我们所学习过的知识,因此我们从等式 右边着手 sin(a+B)=sina cos B+cos asin B: sin(a-B)=sina cos B-cosasin B 两式相加得2 sina cos B=sin(a+B)+sin(a-B) BI sin a cos B=5[sin(a+B)+sin(a-B)] (2)由(1)得sin(a+B)+sin(a-B)=2 Sina cos B①:设a+B=0,a-B=g, 6+ 那么a 把a,B的值代入①式中得in叶+smg=2sim0+c50 CoS 2 点评:在例2证明中用到了换元思想,(1)式是积化和差的形式,(2)式是和差化 积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式. 例3求函数y=sinx+√3cosx的周期,最大值和最小值 解析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相应的值 解:y=sinx+√3cosx=2snx+cosx=2snx+ 所以,所求的周期72丌=2r,最大值为2,最小值为-2 点评:例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数 y=Asi(ox+q)的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式中的作用
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含 的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的 重要特点. 例 2 求证： （１） ( ) ( ) 1 sin cos sin sin 2 = + + − ； （２） sin sin 2sin cos 2 2 + − + = ． 解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系. 证明：（１）因为 sin( + ) 和 sin( − ) 是我们所学习过的知识，因此我们从等式 右边着手． sin sin cos cos sin ( + = + ) ； sin sin cos cos sin ( − = − ) ． 两式相加得 2sin cos sin sin = + + − ( ) ( ) ； 即 ( ) ( ) 1 sin cos sin sin 2 = + + − ； （２）由（１）得 sin sin 2sin cos ( + + − = ) ( ) ①；设 + = − = , ， 那么 , 2 2 + − = = ． 把 , 的值代入①式中得 sin sin 2sin cos 2 2 + − + = ． 点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化 积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 例３ 求函数 y x x = + sin 3 cos 的周期，最大值和最小值． 解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值. 解： 1 3 sin 3 cos 2 sin cos 2sin 2 2 3 y x x x x x = + = + = + ， 所以，所求的周期 2 T 2 = = ，最大值为２，最小值为−2 ． 点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数 y A x = + sin( ) 的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
课堂小结 用和(差)角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现 的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活运用 作业 课本p143习题3.2A组1、(1)(5)3、5 拓展提升 1.已知cos(a+B)cos(a-B 则cos2a-sin2B的值为() C 2.在△ABC中,若 sinasinbcos2,则△ABC是() A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 3.sina+sinB=(cosB-cosa),且a∈(0,π),B∈(0,π),则a-B 等于() D 4.已知csa+B)c0s(a-B)=3,则c-simB的值为() 2 C 5.在△ABC中,若 sinasinbcos22,则△ABC是() A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形D.直角三角形 6. sin a (cosB-cosa),且a∈(0,π),B∈(0,π),则a-B 2 7.已知sin(a+B)sin(B-a)=m,则cos2a-cos2B等于() D. 4m 、填空题 8.sin20°cos70°+sinl0°sin50°
课堂小结 用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现 的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 作业 课本 p143 习题 3.2 A 组 1、（1）（5） 3 、5 拓展提升 1．已知 cos（α+β）cos（α－β）= 3 1 ，则 cos 2α－sin2β 的值为（ ） A．－ 3 2 B．－ 3 1 C． 3 1 D． 3 2 2．在△ABC 中，若 sinAsinB=cos 2 2 C ，则△ABC 是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 3．sinα+sinβ= 3 3 （cosβ－cosα），且 α∈（0，π），β∈（0，π），则 α－β 等于（ ） A．－ 3 2π B．－ 3 π C． 3 π D． 3 2π 4．已知 cos（α+β）cos（α－β）= 3 1 ，则 cos 2α－sin2β 的值为（ ） A．－ 3 2 B．－ 3 1 C． 3 1 D． 3 2 5．在△ABC 中，若 sinAsinB=cos 2 2 C ，则△ABC 是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 6．sinα+sinβ= 3 3 （cosβ－cosα），且 α∈（0，π），β∈（0，π），则 α－β 等于（ ） A．－ 3 2π B．－ 3 π C． 3 π D． 3 2π 7．已知 sin（α+β）sin（β－α）=m，则 cos 2α－cos 2β 等于（ ） A．－m B．m C．－4m D．4m 二、填空题 8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．
已知a-B=2x,且cosa+cosB=1,则cos(a+B)等于 三、解答题 10.已知f(x) ∈(0,π) (1)将f(x)表示成cosx的多项式 (2)求f(x)的最小值 12.已知△ABC的三个内角A、BC满足:A+G2B、1+-1万 求cosH-C COS A COSC cOS B 的值 13.已知 sinatsin3Asin5Aa, cos Atcos3Acos5Ab 求证:(2cos2A+1)2=a+B2 14. RiE: cos x+cos (x+ a)-2cos xcos a cos (x+ a)=sin a 15.求函数y=cos3x·cosr的最值
9．已知 α－β= 3 2π ，且 cosα+cosβ= 3 1 ，则 cos（α+β）等于_________． 三、解答题 10．已知 f（x）=－ 2 1 + 2 2sin 2 5 sin x x ，x∈（0，π）． （1）将 f（x）表示成 cosx 的多项式； （2）求 f（x）的最小值． 12．已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足：A+C=2B， A C cosB 2 cos 1 cos 1 + = − ，求 cos 2 A − C 的值． 13． 已知 sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b， 求证：（2cos2A+1） 2 =a 2 +b 2． 14． 求证：cos 2 x+cos2（x+α）－2cosxcosαcos（x+α）=sin2α． 15． 求函数 y=cos3x·cosx 的最值．
参考答案 选择是 4.C5.B 、填空题:8.19.-2 、解答题 2 cos-sin x 10.解:(1)f(x)= 2cos - -=cos+cos x= x+Cosx (2)∵f(x)=2(cosx+)2 且-1≤cosx≤1 9 cosA 时,f(x)取得最小值 11分析:本小题考查三角函数的基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力 解:由题设条件知B60°,AC=120° c0s6002√2, COs A cOSC 将上式化简为 cos Acos(=-2√2 COs Acos, 利用和差化积及积化和差公式,上式可化为 2 2Cos A-C [cos (AC)+Cos(A-O)], 将cos+C =cos60° COs (A+C)=cos 120 代入上式得 √2cos(A-C), 将cos(A-C)=2cos2 )-1代入上式并整理得4√2 A-C 即[2c0sC A-C A-C +3≠0,∴2 coS
参考答案 一、选择题：1．C 2． B 3． D 4．C 5． B 6． D 7． B 二、填空题：8． 4 1 9．－ 9 7 三、解答题 10．解：（1）f（x）= 2 cos 2 3 2cos 2 2sin sin 2 3 2cos 2 2sin 2 sin 2 5 sin x x x x x x x x = = − =cos2x+cosx=2cos2 x+cosx －1． （2）∵f（x）=2（cosx+ 4 1 ）2－ 8 9 ，且－1≤cosx≤1， ∴当 cosx=－ 4 1 时，f（x）取得最小值－ 8 9 ． 11 分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力． 解：由题设条件知 B=60°，A+C=120°， ∵－ cos60 2 =－2 2 ， ∴ A cosC 1 cos 1 + =－2 2 ． 将上式化简为 cosA+cosC=－2 2 cosAcosC， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos 2 A + C cos 2 A − C =－ 2 ［cos（A+C）+cos（A－C）］， 将 cos 2 A + C =cos60°= 2 1 ，cos（A+C）=cos120°=－ 2 1 代入上式得 cos 2 A − C = 2 2 － 2 cos（A－C）， 将 cos（A－C）=2cos2（ 2 A − C ）－1代入上式并整理得 4 2 cos 2（ 2 A − C ）+2cos 2 A − C － 3 2 =0， 即［2cos 2 A − C － 2 ］［2 2 cos 2 A − C +3］=0． ∵2 2 cos 2 A − C +3≠0，∴2cos 2 A − C － 2 =0． ∴cos 2 A − C = 2 2 ．
12.证明:由已知得 2sin aCos 2A+sin 3A=a, Cos 3Acos 2A+Cos 3A=b sin 3A(2cos2A+1) Icos34(2cos2A+1) 两式平方相加得(2cos2A1)2=a+b2 13.证明:左边=1(1+c0s2x)+1[1+cos(2x+2a)]-2 2cos xcos a cos(xa) =1+-[cos2xtcos(2x+2 a)]-2cos xcos a cos (x+ a) =1+cos (2x+ a )cos a -cos a [cos(2x+ a)+cos a 1+cos (2x+ a) cos a -cos a cos(2x+ a)-cos a =l-cos a=sin a 右边 ∴原不等式成立 14.解:y=cos3x·cosx ==(cos4r+cos2x) (2c0s22x-1+cos2x) cos 2x+-cos2x 9 16 ∴cos2x∈[-1,1] 当c0s2=-1时,y取得最小值-9 当cos2x=1时,y取得最大值1
12．证明：由已知得 + = + = ， ， A A A b A A A a 2cos3 cos2 cos3 2sin 3 cos2 sin 3 ∴ + = + = cos3 (2cos2 1) . sin 3 (2cos2 1) A A b A A a， 两式平方相加得（2cos2A+1）2 =a 2 +b 2． 13．证明：左边= 2 1 （1+cos2x）+ 2 1 ［1+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α） =1+ 2 1 ［cos2x+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α） =1+cos（2x+α）cosα－cosα［cos（2x+α）+cosα］ =1+cos（2x+α）cosα－cosαcos（2x+α）－cos 2α =1－cos 2α=sin2α =右边， ∴原不等式成立． 14．解：y=cos3x·cosx = 2 1 （cos4x+cos2x） = 2 1 （2cos2 2x－1+cos2x） =cos 2 2x+ 2 1 cos2x－ 2 1 =（cos2x+ 4 1 ） 2－ 16 9 ． ∵cos2x∈［－1，1］， ∴当 cos2x=－ 4 1 时，y 取得最小值－ 16 9 ； 当 cos2x=1 时，y 取得最大值 1．