2.1正弦定理和余弦定理导学案 学习目标 1.掌握正弦定理和余弦定理及其证明过程 2.根据已知三角形的边和角,利用、余弦定理解三角形。 3.能根据正弦定理及三角变换公式判断三角形的形状。 知识点1:正弦定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sina sinb sinc 说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正 数k使a= sina,b= ksinB,c= sinc 从而知正弦定理的基本作用为 ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如=sinA ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sinA= -sin B 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形 知识点2:余弦定理 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍。即a2=b2+c2-2 accosT b2=a+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcosC +C-a cOS 变形公式 a2+c2-b2 cos 从而知余弦定理及其推论的基本作用为
2.1 正弦定理和余弦定理导学案 学习目标 1. 掌握正弦定理和余弦定理及其证明过程。 2. 根据已知三角形的边和角，利用正、余弦定理解三角形。 3. 能根据正弦定理及三角变换公式判断三角形的形状。 知识点 1 : 正弦定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C = 说明同一三角形中， 边与其对角的 正弦成正 比，且比例系数为同一正数，即存在正 数 k 使 a k A = sin ，b k B = sin ，c k C = sin ； 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 sin sin b A a B = ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin sin a A B b = 。 [来源:学科网 ZXXK] 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作 解三角形 知识点 2 : 余弦定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍。即 2 2 2 a b c bc A = + −2 cos 2 2 2 b a c ac B = + −2 cos 2 2 2 c a b ab C = + −2 cos 变形公式： 2 2 2 cos 2 + − = b c a A bc 2 2 2 cos 2 + − = a c b B ac 2 2 2 cos 2 + − = b a c C ba 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边 ②已知三角形的三条边就可以求出其它角 知识点3:已知a.b和A时,三角形解的情况 知识点4:三角形的面积公式 典型例题 例1、在△ABC中,已知=23,c=6+2,B=60°,求b及A 解析:()解 =(23)+(6+2)-225(6+√2)cos45° 12+(√6+√2)2-43(√3+1) 求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理 ()解法:cosA=b2+c2-a2-1 A=609 解法二:sinA=:sinB= √3 又:+2>24+14=38 23<2x1.8=36 ,即 90°
①已知三角形的任意两边及它 们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以 求出其它角。[ 来源:学科网 ZXXK] 知识点 3 ：已知 a. b 和 A 时，三角形解的情况 知识点 4 ：三角形的面积公式 典型例题 例 1、 在 ABC 中，已 知 a=2 3 ，c= +6 2 ， 0 B=60 ，求 b 及 A 解析：⑴解：∵ 2 2 2 b a c ac B = + −2 cos [来源:Zxxk .Com] = 2 2 (2 3) ( 6 2) 2 2 3 ( 6 2) + + − + cos 0 45 = 2 12 ( 6 2) 4 3( 3 1) + + − + = 8 ∴ b=2 2. 求 A 可以利用余弦定理，也可以 利用正弦定理：[来源:Zxxk .Com] ⑵解 法一：∵ 2 2 2 1 cos 2 2 b c a A bc + − = = ∴ 0 A=60 . 解法二：∵ 3 sin sin 2 a A B b = = 又∵ 6 2 + ＞ 2.4 1.4 3.8, + = 2 3 ＜ 2 1.8 3.6, = ∴ a ＜ c ，即 0 0 ＜ A ＜ 0 90 , ∴ 0 A=60
例题2、在ABC中,tnA=2,anB=3,且最长边为2 (1)求角C的大小 (2)求最短边的长 解析:(1):tmA=2mnB=3,:tm(A+B)= tan a+tan B 1-tan a tan B 又A+B+C=180°,∴anC=tan[x-(4+B)=-an(A+B)=-1, C (2)由(1)知C为最大角,从而由已知得c=√, ∵tanB>tanA>0 B>A,故△ABC的最短边为a。 A I+ta csin 又sinC 由正弦定理得最短边 sin C 29 例题3、在ABC中,已知tanB=√3,cosC=,AC=3√6,求ABC的面积 解析:设AB、BC、CA的长分别为c、a、b 由tnB=√3,得B B 2互 由正弦定理得 bsin C sin A=sin(B+C)=sin B cosC +cos BsinC. √√ 2363 故所求面积S= -bcsin a=6V2+83 例4半径为R的圆外接于ABC,且2R(sin2Asn2C)=(5a-b)sinB.求角C; 解析:(1) 2R a sin B
例题 2、在△ABC 中， 2 3 tan , tan 5 7 A B = = ，且 最长边为 2 ． （1）求角 C 的大小； （2）求最短边的长． 解析：（1）∵ 2 3 tan , tan 5 7 A B = = ， ∴ tan tan tan( ) 1 1 tan tan A B A B A B + + = = − 又 A B C + + = 180 ， ∴ tan tan tan( ) 1 C A B A B = − + = − + = − ( ) ， ∴ C = 135 [来源:学.科.网] （2）由（1）知 C 为最大角 ，从而由已知得 c = 2 ，[来源:学*科*网] tan B tan A 0， ∴ B A ，故△ABC 的最短边为 a 。[来源:学科网] ∵ 5 2 tan A = ，∴ 29 5 29 1 tan 1 cos 2 = + = A A ，∴ 29 2 29 sin A = tan Acos A = ， 又 2 sin 2 C = ， ∴由正弦定理得最短边 sin 4 29 sin 29 c A a C = = . 例题 3、在△ABC 中，已知 1 tan 3,cos , 3 6 3 B C AC = = = ，求△ABC 的面积． 解析：设 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b，[来源:Z#xx# k .Com] . 2 1 ,cos 2 3 tan B = 3, B = 60 ,sin B = B = 由 得 2 2 sin sin 8 3 sin b C C c B 又 = = = ，由正弦定理得 ∴ sin sin sin cos cos sin A B C B C B C = + = + ( ) 3 1 1 2 3 3 2 2 3 2 3 6 3 = + = + 故所求面积 1 sin 6 2 8 3 2 ABC S bc A = = + 例 4.半径为 R 的圆外 接于△ABC，且 2R(s in2A-sin2C)＝( 3 ) sin a b B − ．求角 C； 解析：(1 )∵ 2 sin sin sin a b c R A B C = = = [来源:Zxxk .Com ]
sin2A=(u)2, sin2C=(i),sin B 2R 2R 2R(sin2A-sin2c)=(3a-b)sin B b 2R[(2R)2(2R)2]=(√3ab)2R b2+c2 √3 cOs C= C=30° 课堂检测 1、(天津18在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,C已知 bsin a= acos(B-=) (I)求角B的大小; (I)设a=2,c3,求b和sin(2A-B)的值 解:在ABC中,由正弦定理=b,可得bsmA= asin B,又由 bsin a=acos(B-乃),得 asin B= 即sinB 可得 m8=5.又因为BO,x),可得B3 (Ⅱ)解:在△ABC中,由余弦定理及a=2,C=3,B=,有 b2=a2+c2-2 Laclos B=7,故b=√7 由bsmA=aosB-死),可得smA=%,因为a<c,故cs4= 此 √3 sin2A=2 sin acos./吼 os2A=2cos2A-1=2.所以 7 sin(2A-B)=sin Acos B-cos 2.Asin B= 311 V3 33
R b B R c C R a A 2 ) ,sin 2 ) ,sin ( 2 sin ( 2 2 2 2 = = = ∵ 2R(sin2A- si n2C)＝( 3 ) sin a b B − [来源:学科网 ZXXK] ∴ 2R［( R a 2 )2-( R c 2 )2］＝( 3 a-b)· R b 2 [来源:学科网 ZXXK] ∴ 2 2 2 3 2 2 b c a bc + − = [来源:Z§xx§k .Com ] ∴ 3 cos 2 C = ， ∴ C＝30° 课堂检测 1、(天津 18)在 △ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 sin cos( ) 6 b A a B = − . （I）求角 B 的大小； （II）设 a=2，c=3，求 b 和 sin(2 ) A B− 的值. ）解：在△ABC 中，由正弦定理 sin sin a b A B = ，可得 b A a B sin sin = ，又由 π sin cos( ) 6 b A a B = − ，得 π sin cos( ) 6 a B a B = − ，即 π sin cos( ) 6 B B = − ，可得 tan 3 B = ．又因为 B(0，π)，可得 B= π 3 ． （Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= π 3 ，有 2 2 2 b a c ac B = + − = 2 cos 7 ，故 b= 7 ． 由 π sin cos( ) 6 b A a B = − ，可得 3 sin 7 A = ．因为 a<c，故 2 cos 7 A = ．因此 4 3 sin 2 2sin cos 7 A A A = = ， 2 1 cos 2 2cos 1 7 A A = − = ．所以， sin(2 ) sin 2 cos cos 2 sin A B A B A B − = − = 4 3 1 1 3 3 3 7 2 7 2 14 − = ．