正弦定理
题驯入 直角三角形中 b sin a sin B sin C=1 b 即c C SIn sin b sin o C sin a sinb sin c B 三角形中这一关系式是否仍成立呢
直角三角形中: sin = ,sin = ,sin C =1 c b B c a A A C a B b c C c c B b c A a c sin , sin , sin 即 = = = C c B b A a sin sin sin = = 斜三角形中这一关系式是否仍成立呢?
南量: (1)锐角三角形 B (2)钝角三角形
(1)锐角三角形 (2)钝角三角形 j A B C j ABC j AC B j
外饕昌富: 如图: B ∠C=∠C1 2R C sin c sin c O 同理: sIn B 2R,q b 2R A SIn c=2R(R为外接圆半径) sin a sinb sin c
1 C = C R Cc C c 2 sin sin 1 = = R A a R B b 2 sin 2 sin 同理： = ， = A B C C 1 ab c O 如图 : 即得： R(R为外接圆半径) C c B b A a 2 sin sin sin = = =
正藏定 在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相 b 即 2R(R为外接圆半径) sin a sinb sin c b b sin a sinbsinb sin c sin c sin a Isin A: sin B: sin C=a: b
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相 等, 即 R(R为外接圆半径) C c B b A a 2 sin sin sin = = = 变式: ( ) A a C c C c B b B b A a sin sin ; sin sin ; sin sin 1 = = = (2)sin A:sin B:sin C = a :b: c
正定的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题 两角和任意一边求其他两边和一角 两边和其中一边对角求另一边的对角进 而可求其他的边和角
从理论上,正弦定理可解决两类问题: • 两角和任意一边,求其他两边和一角 • 两边和其中一边对角,求另一边的对角,进 而可求其他的边和角
例题评析 ■例1:已知在△ABC中,b=√3,B=60°,c= 求a和A,C 点评正弦定理也可用于解次已知网边及一边的角求 界做边和角的题
◼例1:已知在 中, , 求 和 A,C b = 3, B = 60 ,c =1 a ABC 点评:正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求 其他边和角的问题
已如朋豫名就 若A为锐角时: ab一解(锐角) ■若A为直角或钝角时
• 若A为锐角时: ( ) ( ) 一解(锐角) 二解 一锐、一钝 一解 直角 无解 = a b b A a b a b A a b A sin sin sin ◼若A为直角或钝角时: 一解(锐角) 无解 a b a b
练习 判断满足下列的三角形的个数: 两解 (1)b=11,a=20,B=300 解 (2)c=54,b=39,c=120° 两解 (3)b=26,c=15,c=300 无解 (4a=2b=6,A=30
判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o 两解 一解 两解 无解
通过本节学习我们一起研 究了正弦定理的证明方法同时了解 了向量的工具性作用并且明确了利 用正弦定理所能解决的两类有关三 角形问题:已知两角一边:知两边 和其中一边的对角
通过本节学习,我们一起研 究了正弦定理的证明方法,同时了解 了向量的工具性作用,并且明确了利 用正弦定理所能解决的两类有关三 角形问题:已知两角一边;已知两边 和其中一边的对角