§1.2应用举例(二 课时目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题. 2.利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度 量问题 知识梳理 1.仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目 标视线的夹角,目标视线在水平线上方时叫仰角,目标视线在水平线 下方时叫俯角.(如图所示) 目标视线 水平视 目标视线 2.已知△ABC的两边a、b及其夹角C,则△ABC的面积为=abs 作业设计 、选择题 1.从A处望B处的仰角为a,从B处望A处的俯角为B,则a 与B的关系为() A. a>B B C. a<B D.a+B=90 答案B 2.设甲、乙两楼相距20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°, 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是() 40 A.20√3m B.10√3m,20√3m C.10(-√2)m,20√3m D. 答案A 解析b甲=20tan60°=203(m)
1 §1.2 应用举例(二) 课时目标 1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题． 2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度 量问题． 1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目 标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线 下方时叫俯角．(如图所示) 2．已知△ABC 的两边 a、b 及其夹角 C，则△ABC 的面积为1 2 absin C. 一、选择题 1．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α 与 β 的关系为( ) A．α>β B．α＝β C．α<β D．α＋β＝90° 答案 B 2．设甲、乙两楼相距 20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°， 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°，则甲、乙两楼的高分别是( ) A．20 3 m， 40 3 3 m B．10 3 m,20 3 m C．10( 3－ 2) m,20 3 m D. 15 2 3 m， 20 3 3 m 答案 A 解析 h 甲＝20tan 60°＝20 3(m)．
40 hz=20tan60°-20tan30 3 3.如图,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°,45°,且A、B两点之间的距离 为60m,则树的高度为() A.30+303m B.30+15√3m C.15+303m D.15+33m 答案A 解析在△PAB中,由正弦定理可得 60 sin 45 sin 30 60 30 sin 15 h= PBs in45°=(30+303)m 4.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30 看正南方向一只船俯角为45°,则此时两船间的距离为() A.2h米 B.√2h米 C√3h米 D.22h米 答案A 解析如图所示, BC=3h, Ach ∴AB=3H+h2=2h 5.在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在平行地面上前 进600m后测仰角为原来的2倍,继续在平行地面上前进2003m 后,测得山峰的仰角为原来的4倍,则该山峰的高度是() m B.300m C.400m D.100 √3 答案B 解析如图所示,600·sin20=200/3·sin40
2 h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝ 40 3 3(m)． 3．如图，为测一树的高度，在地面上选取 A、B 两点，从 A、B 两点分别测得望树尖的仰角为 30°，45°，且 A、B 两点之间的距离 为 60 m，则树的高度为( ) A．30＋30 3 m B．30＋15 3m C．15＋30 3m D．15＋3 3m 答案 A 解析 在△PAB 中，由正弦定理可得 60 sin 45°－30° ＝ PB sin 30°， PB＝ 60× 1 2 sin 15°＝ 30 sin 15°， h＝PBsin 45°＝(30＋30 3)m. 4．从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30°， 看正南方向一只船俯角为 45°，则此时两船间的距离为( ) A．2h 米 B. 2h 米 C. 3h 米 D．2 2h 米 答案 A 解析 如图所示， BC＝ 3h，AC＝h， ∴AB＝ 3h 2＋h 2＝2h. 5．在某个位置测得某山峰仰角为 θ，对着山峰在平行地面上前 进 600 m 后测仰角为原来的 2 倍，继续在平行地面上前进 200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的 4 倍，则该山峰的高度是( ) A．200 m B．300 m C．400 m D．100 3 m 答案 B 解析 如图所示，600·sin 2θ＝200 3·sin 4θ
2003 3 ∴cos29=,∴b=15° h=200√3·sin4=300(m) 6.平行四边形中,AC=V65,BD=√17,周长为18,则平行四 边形面积是() A.16B.17.5C.18D.18.53 答案A 解析设两邻边AD=b,AB=a,∠BAD=a, a+b=9, a+b-2abcos a=17 a2+b2-2abos(180°-a)=65 解得:a=5,b=4,cosa=-或a=4,b=5,cosa ∴SAB= ab sin a=16. 、填空题 7.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船 相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的3倍,则甲船 应取方向 才能追上乙船;追上时甲船行驶了 海 里 答案北偏东30°√3a 解析 如图所示,设到C点甲船追上乙船, 乙到C地用的时间为t,乙船速度为v, 则BC=tv,AC=√3tv,B=120° BC Ac 由正弦定理知n∠c1B=sinB in∠ CAB sin120 ∴sin∠CAB==,∴∠CAB=30°,∵∠ACB=30°
3 ∴cos 2θ＝ 3 2 ，∴θ＝15°， ∴h＝200 3·sin 4θ＝300 (m)． 6．平行四边形中，AC＝ 65，BD＝ 17，周长为 18，则平行四 边形面积是( ) A．16 B．17.5 C．18 D．18.53 答案 A 解析 设两邻边 AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α， 则 a＋b＝9，a 2＋b 2－2abcos α＝17， a 2＋b 2－2abcos(180°－α)＝65. 解得：a＝5，b＝4，cos α＝ 3 5 或 a＝4，b＝5，cos α＝ 3 5 ， ∴S▱ABCD＝ab sin α＝16. 二、填空题 7．甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东 60°的方向，两船 相距 a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3倍，则甲船 应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海 里． 答案 北偏东 30° 3a 解析 如图所示，设到 C 点甲船追上乙船， 乙到 C 地用的时间为 t，乙船速度为 v， 则 BC＝tv，AC＝ 3tv，B＝120°， 由正弦定理知 BC sin∠CAB ＝ AC sin B ， ∴ 1 sin∠CAB ＝ 3 sin 120°， ∴sin∠CAB＝ 1 2 ，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°
∴BC=AB=a, ∴AC=AB+BC-2AB·BCos120 +a-2z.-2 23a,∴AC=y3a 8.△ABC中,已知=60°,B:AC=8:5,面积为103,则 其周长为 答案20 解析设AB=8k,AC=5k,A>O,则 S=AB·AC·sinA=10√3k2=10 ∴k=1,AB=8,AC=5,由余弦定理: BC=AB+AC2-2AB·AC·cosA =82+52-2×8×5×==49. BC=7,∴周长为:AB+BC+CA=20 9.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆 面积为 27 答案 解析不妨设三角形三边为a,b,c且a=6,b=c=12, 由余弦定理得 b2+c2-a122+122-627 cos A= 2 bc 2×12×128 15 ∴sinA= 88 由1(a+b+0),= Ib得r=315 27π ∴S内切圆=2 10.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°,距离为10 n mile 的C处,此时得知,该渔船沿北偏东105°方向,以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近,舰艇时速2 I n mile,则舰艇到达渔船的最短 时间是小时 答案 解析设舰艇和渔船在B处相遇,则在△ABC中,由已知可得 ∠ACB=120°,设舰艇到达渔船的最短时间为t,则AB=21t,BC=
4 ∴BC＝AB＝a， ∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BCcos 120° ＝a 2＋a 2－2a 2· － 1 2 ＝3a 2，∴AC＝ 3a. 8．△ABC 中，已知 A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为 10 3，则 其周长为________． 答案 20 解析 设 AB＝8k，AC＝5k，k>0，则 S＝ 1 2 AB·AC·sin A＝10 3k 2＝10 3. ∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A ＝8 2＋5 2－2×8×5× 1 2 ＝49. ∴BC＝7，∴周长为：AB＋BC＋CA＝20. 9．已知等腰三角形的底边长为 6，一腰长为 12，则它的内切圆 面积为________． 答案 27π 5 解析 不妨设三角形三边为 a，b，c 且 a＝6，b＝c＝12， 由余弦定理得： cos A＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ 122＋122－6 2 2×12×12 ＝ 7 8 ， ∴sin A＝ 1－ 7 8 2＝ 15 8 . 由 1 2 (a＋b＋c)·r＝ 1 2 bcsin A 得 r＝ 3 15 5 . ∴S 内切圆＝πr 2＝ 27π 5 . 10．某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45°，距离为 10 n mile 的 C 处，此时得知，该渔船沿北偏东 105°方向，以每小时 9 n mile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速 21 n mile，则舰艇到达渔船的最短 时间是______小时． 答案 2 3 解析 设舰艇和渔船在 B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得： ∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为 t，则 AB＝21t，BC＝
9t,AC=10,则(21t)2=(9t)2+100-2×10×9tos120° 解得t==或t 舍 、解答题 11.如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为a, 在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为b,求山高 解在△ABC中,∠BCA=90°+B ∠ABC=90°-a, ∠BAC=a-B,∠CAD=B AC BC 根据正弦定理得: sin∠ ABc sin∠BAC Ac BC 即 bcos a sin a-B a-B 在Rt△ACD中,CD= ACtin∠CAD= ACsin A hcos a sin B in B os a sin B 即山高CD为 sIn B 12.已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4, 求圆内接四边形ABCD的面积 解 连接BD,则四边形面积
5 9t，AC＝10，则(21t) 2＝(9t) 2＋100－2×10×9tcos 120°， 解得 t＝ 2 3 或 t＝－ 5 12(舍)． 三、解答题 11．如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为α， 在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 β.已知铁塔 BC 部分的高为 h，求山高 CD. 解 在△ABC 中，∠BCA＝90°＋β， ∠ABC＝90°－α， ∠BAC＝α－β，∠CAD＝β. 根据正弦定理得： AC sin∠ABC ＝ BC sin∠BAC ， 即 AC sin 90°－α ＝ BC sin α－β ， ∴AC＝ BCcos α sin α－β ＝ hcos α sin α－β . 在 Rt△ACD 中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β ＝ hcos αsin β sin α－β . 即山高 CD 为 hcos αsin β sin α－β . 12．已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4， 求圆内接四边形 ABCD 的面积． 解 连接 BD，则四边形面积
S=S△AB+S△cm==AB·AD·sinA+=BC·CD·sinC. ∵A+C=180°,∴sinA=sinC. ∴S=(AB·ADBC·CD·sinA=16sinA. 由余弦定理:在△ABD中,B=2+42-2×2×4cosA=20-16cos A, 在△CDB中,BB=42+62-2×4×6cosC=52-48cosC, 20--16cos A=52-48cos C 又cosC=-cosA,∴cosA A=120 ∴四边形ABCD的面积S=16sinA=8√3 能力提升 13.如图所示,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上 的A、B、C三点进行测量.已知AB=50m,BC=120m,于A处测得 水深AD=80m,于B处测得水深BE=200m,于C处测得水深CF= 110m,求∠DEF的余弦值 解作DM∥AC交B于M,交CF于M DF=、MFP+DM=302+1702=10298(m), DE=√D+EN=502+1202=130 EF=√BE-FC2+BC=、90+ 在△DEF中,由余弦定理的变形公式,得 C0S∠BDE+EP-DP1302+1502-10×29816 2DE·EF 2×130×150 16 即∠DEF的余弦值为 4.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得 俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连成30°角,求两 条船之间的距离 6
6 S＝S△ABD＋S△CBD＝ 1 2 AB·AD·sin A＋ 1 2 BC·CD·sin C. ∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C. ∴S＝ 1 2 (AB·AD＋BC·CD)·sin A＝16sin A. 由余弦定理：在△ABD 中，BD 2＝2 2＋4 2－2×2×4cos A＝20－16cos A， 在△CDB 中，BD 2＝4 2＋6 2－2×4×6cos C＝52－48cos C， ∴20－16cos A＝52－48cos C. 又 cos C＝－cos A，∴cos A＝－ 1 2 .∴A＝120°. ∴四边形 ABCD 的面积 S＝16sin A＝8 3. 能力提升 13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上 的 A、B、C 三点进行测量．已知 AB＝50 m，BC＝120 m，于 A 处测得 水深 AD＝80 m，于 B 处测得水深 BE＝200 m，于 C 处测得水深 CF＝ 110 m，求∠DEF 的余弦值． 解 作 DM∥AC 交 BE 于 N，交 CF 于 M. DF＝ MF 2＋DM 2＝ 302＋1702＝10 298(m)， DE＝ DN 2＋EN 2＝ 502＋1202＝130(m)， EF＝ BE－FC 2＋BC 2＝ 902＋1202＝150(m)． 在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得 cos∠DEF＝ DE 2＋EF 2－DF 2 2DE·EF ＝ 1302＋1502－102×298 2×130×150 ＝ 16 65. 即∠DEF 的余弦值为16 65. 14．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得 俯角分别为 45°和 30°，而且两条船与炮台底部连成 30°角，求两 条船之间的距离．
200 解如图所示: ∠CBD=30°,∠ADB=30°,∠ACB=45 ∴AB=30,∴BC=30,B=-30 30 tan30° 在△BCD中, CD=BC2+BD-2BC·BD·cos30°=900 CD=30,即两船相距30m ◎反思感悟 1.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达 这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理和余 弦定理,计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离,然后转化 为解直角三角形的问题 2.测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正 弦值或余弦值,再根据需要求出所求的角
7 解 如图所示： ∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45° ∵AB＝30，∴BC＝30，BD＝ 30 tan 30°＝30 3. 在△BCD 中， CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC·BD·cos 30°＝900， ∴CD＝30，即两船相距 30 m. 1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达， 这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余 弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化 为解直角三角形的问题． 2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正 弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．