31不等关系与不等式 、讲授新课 (一)用不等式表示不等关系 1在现实生活中,存在着许许多多的不等关系,在数学中,我们用不等式来表示这样的不等 关系 引例1:限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过 40km/h,写成不等式就是:v≤40 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含 量p应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示 p≥23% 2.文字语言与数学符号之间的转换 大于 至多 小于 大于等于 不少于 ≤≥≤ 小于等于 不多于 (二)实数的运算性质 1实数的运算性质与大小顺序之间的关系 对于任意两个实数ab,如果a>b,那么a-b是正数如ab→a-b>0 (2)a=b→a-b=0, (3)a<b→a-b<0 2比较两实数大小的方法—作差比较法 比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b的符号:比较两个代数式的大 小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的差的符号 二、问题探究 问题1:设点A与平面a的距离为dB为平面a上的任意一点,则dAB|。 问题2:某种杂志原以每本25元的价格销售,可以售出8万本。据市场调査,若单价每提 高0.1元,销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为ⅹ元,怎样用不等 式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 解:设杂志社的定价为x元,则销售的总收入为(8x-25,02)x万元,那么不等关系销 0.1 售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 ×0.2)x≥20 问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求, 60mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?
精品精品资料精品精品资料 3.1 不等关系与不等式(一) 一、讲授新课 （一）用不等式表示不等关系 1.在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用不等式来表示这样的不等 关系. 引例 1：限速 40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40km/h，写成不等式就是： v 40 引例 2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%，蛋白质的含 量 p 应不少于 2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5% 2.3% f p 2.文字语言与数学符号之间的转换. 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 > 至多 ≤ 小于 b,那么 a-b 是正数;如 a<b,那么 a-b 是负数;如果 a-b 等于 0. 它们的逆命题也正确.即 (1) 0; (2) 0; (3) 0 a b a b a b a b a b a b − = − = − 2.比较两实数大小的方法——作差比较法： 比较两个实数 a 与 b 的大小，归结为判断它们的差 a b − 的符号；比较两个代数式的大 小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号． 二、问题探究 问题 1：设点 A 与平面 的距离为 d,B 为平面 上的任意一点，则 d AB | |。 问题 2：某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本。据市场调查，若单价每提 高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等 式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？ 解：设杂志社的定价为 x 元，则销售的总收入为 2.5 (8 0.2) 0.1 x x − − 万元，那么不等关系“销 售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式 2.5 (8 0.2) 20 0.1 x x − − 问题 3：某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种。按照生产的要求， 600mm 的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解:假设截得500mm的钢管ⅹ根,截得600mm的钢管y根。根据题意,应有如下的不等 关系: (1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍 (3)截得两种钢管的数量都不能为负 要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示 500x+600y≤4000 3xy y00 (教师示范→学生板演) 三、典型例题 例1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和 盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,写出满足上述所有不等关系的不 等式 分析:假设购买单片软件和盒装磁盘分别为x片、y盒,根据题意,应有下列不等关系: (1)总费用不超过500元 (2)软件至少买3片 (3)磁盘至少买2盒 用关于xy的不等式表示上述不等关系即可 解:设购买单片软件和盒装磁盘分别为x片,y盒,则 60x+70y≤500, ≥3, ≥2 说明:解决此类问题的关键是根据题目中的限制条件列出不等式关系,从而得到不等式组. 变式训练1某校学生以面粉和大米为主食.已知面食每100克含蛋白质6个单位,含淀粉 个单位:米饭每100克含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位.某快餐公司给学生配餐,现要 求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉.设每盒快餐需面食x百克、米饭y百 克,试写出x,y满足的条件 「6x+3y≥8 4x+7y≥10 解:x,y满足的条件为 x≥0 y≥0 例2.比较大小: (1)(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4); a+m. a 与(其中b>a> 0,m>0
解：假设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根。根据题意，应有如下的不等 关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过 4000mm ; （2）截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 500 600 4000; 3 ; 0; 0. x y x y x y + （教师示范 → 学生板演） 三、典型例题 例 1．某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和 盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，写出满足上述所有不等关系的不 等式. 分析：假设购买单片软件和盒装磁盘分别为 x 片、y 盒，根据题意，应有下列不等关系： (1)总费用不超过 500 元； (2)软件至少买 3 片； (3)磁盘至少买 2 盒. 用关于 x,y 的不等式表示上述不等关系即可. 解：设购买单片软件和盒装磁盘分别为 x 片，y 盒，则 + 2. 3, 60 70 500, y x x y 说明：解决此类问题的关键是根据题目中的限制条件列出不等式关系，从而得到不等式组. 变式训练 1 某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每 100 克含蛋白质 6 个单位，含淀粉 4 个单位；米饭每 100 克含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位．某快餐公司给学生配餐，现要 求每盒至少含 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉．设每盒快餐需面食 x 百克、米饭 y 百 克，试写出 x y, 满足的条件． 解： x y, 满足的条件为 6 3 8 4 7 10 0 0 x y x y x y + + 例 2．比较大小： （1） ( 3)( 5) a a + − 与 ( 2)( 4) a a + − ； （2） a m b m + + 与 a b （其中 b a 0 ， m 0 ）．
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开, 合并同类项之后,判断差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小 解:(1)(a+3)a-5)-(a+2a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7a>0,m>0 >0,所以 a+m a b(b+m) b+m b 说明:1.比较大小的步骤:作差一变形一定号一结论: 2.实数比较大小的问题一般可用作差比较法,其中变形常用因式分解、配方、通分 等方法才能定号 变式训练2b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),则糖水就变甜 了,试根据此事实提炼一个不等式 解:糖水变甜,说明浓度变高,由此可得出不等式 + m 说明:不等式m>a(b>a>0,m>0) b+m b 四、课堂练习: 1、某工厂八月份的产量比九月份的产量少;甲物体比乙物体重:A容器与B容器的容积相 等。若前一个量用a表示,后一个量用b表示,则上述事实可表示为: 2、205国道临沂段有限速60kmh的路标,指示司机在此路段行驶时,应使汽车的速度v不 超过60km/h,写成不等式为 3、四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口 半径相等的圆口酒杯,如图所示。盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半。设剩余 酒的高度从左到右依次为h,h,h,h,则它们的大小关系正确的是 (A)h,>h>h (B)h,>h,>h, (c)h,>h,>h.(D)h,>h4>h, 4、下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口A、B、C 的机动车辆如图所示,图中x,x2x分别表示该时段单位时间通过路段AB、BC、CA的机
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开， 合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 解：（1） (a + 3)(a − 5) − (a + 2)(a − 4) 2 2 = − − − − − = − ( 2 15) ( 2 8) 7 0 a a a a ∴ ( 3)( 5) ( 2)( 4) a a a a + − + − ． （2） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a m a b a m a b m m b a b m b b b m b b m + + − + − − = = + + + ， ∵ b a 0， m 0，∴ ( ) 0 ( ) m b a b b m − + ，所以 a m a b m b + + ． 说明： 1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论； 2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分 等方法才能定号． 变式训练 2 b 克糖水中有 a 克糖（ b a 0 ），若再添上 m 克糖（ m 0 ），则糖水就变甜 了，试根据此事实提炼一个不等式________________. 解：糖水变甜，说明浓度变高，由此可得出不等式. b m a m + + ＞ b a 说明：不等式 a m a b m b + + （ b a 0 ， m 0 ） 四、课堂练习： 1、 某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A 容器与 B 容器的容积相 等 。 若 前 一 个 量 用 a 表 示 ， 后 一 个 量 用 b 表 示 ， 则 上 述 事 实 可 表 示 为 ： _____________;_________________;______________________。 2、 205 国道临沂段有限速 60km/h 的路标，指示司机在此路段行驶时，应使汽车的速度 v 不 超过 60km/h，写成不等式为_______________________。 3、 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口 半径相等的圆口酒杯，如图所示。盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半。设剩余 酒的高度从左到右依次为 1 2 3 4 h h h h , , , ，则它们的大小关系正确的是（ ） （A） 2 1 4 h h h (B) 1 2 3 h h h (C ) 3 2 4 h h h (D) 2 4 1 hhh 4、下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、C 的机动车辆如图所示，图中 1 2 3 x x x , 分别表示该时段单位时间通过路段 AB、BC、ＣＡ的机
动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出车辆数相等),则 A x,>x2>x B x1>x3>x2 C x2>x3>x, D x>x>x 5、一个盒中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个,黑球个数至少是白球个数的一半 至多是红球的,白球与黑球的个数之和至少为55,试用不等式将题中的不等关系表示出 来(x,y,二∈N)。 6、有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是 个矩形,从图形上确定这两个广告牌的面积大小关系,并将这种大小关系用含有字母a、b 的不等式表示出来 b (1) 7、预算用2000元购买单价为50元的桌子和单价为20元的椅子,椅子数不能少于桌子数, 但不多于桌子数的1.5倍。请列出桌子、椅子数应满足的条件。 8、如图,已知y=f(x)和y=g(x)的图象。根据以下条件分别写出x、y所满足的关系 式:(1)f(x)>g(x);(2)f(x)≤g(x)
动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等），则 （ ）。 Ａ 1 2 3 x x x Ｂ 1 3 2 x x x C 2 3 1 x x x D 3 2 1 x x x 5、一个盒中红、白、黑三种球分别有 x 个、 y 个、 z 个，黑球个数至少是白球个数的一半， 至多是红球的 1 3 ，白球与黑球的个数之和至少为 55，试用不等式将题中的不等关系表示出 来（ * x y z N , , ）。 6、有如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一 个矩形，从图形上确定这两个广告牌的面积大小关系，并将这种大小关系用含有字母 a b 、 的不等式表示出来。 (1) (2) 7、预算用 2000 元购买单价为 50 元的桌子和单价为 20 元的椅子，椅子数不能少于桌子数， 但不多于桌子数的 1.5 倍。请列出桌子、椅子数应满足的条件。 8、如图，已知 y f x = ( ) 和 y g x = ( ) 的图象。根据以下条件分别写出 x 、 y 所满足的关系 式：（1） f x g x ( ) ( ) ；（2） f x g x ( ) ( ) 。 [来源:数理化网] a b b a O a b c x y y f x = ( ) y g x = ( )
答案: 1、aba=b 2、v≤601m/h 4、C分析:由已知图形知, x1=50+x3-55x2=x1-20+30,x=x2-35+20,由此得 x2=x3+5,x=x3-5,故xab 50x+20y≤2000 7、分析:设桌子、椅子数分别为x、y,则 ≤y≤1.5x x>0 y>0 8、分析:解答本题要注意两点:一是函数的定义域;二是图象的较点。由图象知y=f(x) 的定义域为[,+∞),y=(x)的定义域为[Q+∞)当a≤x≤b或x>c时,f(x)>g(x) 当b≤x≤c时,f(x)≤g(x) 五、回顾小结: 1.通过具体情景,建立不等式模型 2.比较两实数大小的方法—求差比较法 六、课后作业: 建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准,窗户面积与地 板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好。试问:同时增加相 等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由 板书设计 不等关系与不等式(一) 引例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 例题剖析(知识方法应用) 回顾小结 实际问题探究? 变式训练
答案： 1、 a b a b a b = 2、 v km h 60 / 3、A 4、C 分析：由已知图形知， 1 3 2 1 3 2 x x x x x x = + − = − + = − + 50 55, 20 30, 35 20 ，由此得 2 3 1 3 x x x x = + = − 5, 5 ，故 1 3 2 x x x 。 5、 3 x y ≥z≥ 2 y+z≥55 6、 1 1 2 2 2 2 a b ab + 7、分析：设桌子、椅子数分别为 x 、 y ，则 50 20 2000 1.5 0 0 x y x y x x y + 8、分析：解答本题要注意两点：一是函 数的定义域；二是图象的较点。由图象知 y f x = ( ) 的定义域为 a, , +) y g x = ( ) 的定义域为 0, . +) 当 a x b 或 x c 时， f x g x ( ) ( ) ； 当 b x c 时， f x g x ( ) ( ) 。 五、回顾小结： 1．通过具体情景，建立不等式模型； 2．比较两实数大小的方法——求差比较法． 六、课后作业： 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准，窗户面积与地 板面积的比值应不小于 10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好。试问：同时增加相 等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。 板书设计 不等关系与不等式（一） 引例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 例题剖析（知识方法应用） 回顾小结 实际问题探究？ 变式训练 [来 源 :www.shulihua.net]
31不等关系与不等式(二) 三教学过程 1.课题导入 在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质 请同学们回忆初中不等式的的基本性质 (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变; 即若a>b→a±C>b±c (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变 即若a>b,c>0→ac>bc (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变 即若a>b,cb,→b (对称性) (2)a>b,b>c→a>c(传递性) (3)a>b,→a+c>b+c(可加性) (4)a>b,c>0→ac>bc;a>b,cb>0,c>d>0→ac>bd(同向不等式的可乘性) (6)a>b>0n∈N,n>1→a">b",√a>%b(可乘方性、可开方性) 二、问题探究 1同学们证明不等式的基本性质a+c>b+c吗? 证明:∵(a+c)-(b+c)=a-b>0,∴a+c>b+c 实际上,我们还有a>b,b>c→a>C, 证明:∵a>b,b>c,∴a-b>0,b-c>0 根据两个正数的和仍是正数,得(a-b)+(b-c)>0,即a-c>0,∴a>c. 2证明不等式的下列性质: (1)a>b,c>d→a+c>b+d; (2)a>b>0.c>d>0=ac >bd: (3)a>b>0,n∈Nn>1→a">b";a>b 证明:(1) ∴b+c>b+d
3.1 不等关系与不等式(二) 三.教学过程 1.课题导入[来源:www.sh ulihua .n et] 在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变； 即若 a b a c b c （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变； 即若 a b c ac bc , 0 （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。 即若 a b c ac bc , 0 一、讲授新课 常用的不等式的基本性质 （1） a b, b a （对称性） （2） a b,b c a c （传递性） （3） a b, a + c b + c （可加性） （4） a b c ac bc , 0 ； a b c ac bc , 0 （可乘性） （5） a b 0,c d 0 ac bd （同向不等式的可乘性） （6） n n n n a b 0,n N,n 1 a b , a b （可乘方性、可开方性） 二、问题探究 1.同学们证明不等式的基本性质 a c b c + + 吗？ 证明： ( ) ( ) 0 a c b c a b + − + = − ， ∴ a c b c + + ． 实际上，我们还有 a b b c a c , ， 证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0． 根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即 a－c＞0，∴a＞c． 2.证明不等式的下列性质： （1） a b c d a c b d + + , ； （2） a b c d ac bd 0, 0 ； （3） 0, , 1 ; n n n n a b n N n a b a b 。[来源:www.sh u lih ua.net] 证明：（1）∵a＞b， ∴a+c＞b+c ① ∵c＞d， ∴b+c＞b+d ②
由①、②得a+c>b+d a>b,c>0→a>bc 2 c>d,b>0→be>bdj ac> 3)反证法)假设a≤b, b矛盾,∴a>Vb → b 三、范例讲解: 例1已知a>b>0,cb>0,所以ab>0, c-b1a 于是ax->b 即一> 由c<0,得 C b (教师讲思路→学生板演→小结方法) 例2、比较a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小。 分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开, 合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竞是多少,在这里无关 紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化 为实数运算符号问题 解:由题意可知 (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4) ∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4) (比较两个数的大小,基本方法是作差,对差的正、负或零做出判断,得出结论) 例3如果30<x<42,16<y<24,求x+y,x-2y及的取值范围 30<x<42,16<y<24 48<-2y<-32, ∴30+16<x+y<42+24 即46<x+y<66; ∴30-48<x-2y<42-32 即-18<x-2y<10 30x42 24y1 21 即 (确定取值范围→利用不等式的性质求解) 四、课堂练习 1.若a、b、c∈R,ab,则下列不等式成立的是() b
由①、②得 a＋c＞b＋d． 2） ac bd c d b bc bd a b c ac bc , 0 , 0 3）反证法）假设 n n a b ， 则：若 n n n n a b a b a b a b = = ，这都与 a b 矛盾， ∴ n n a b ． 三、范例讲解： 例 1 已知 a b c 0, 0, 求证 c c a b 。 证明：以为 a b 0 ，所以 ab>0, 1 0 ab 。 于是 1 1 a b ab ab ，即 1 1 b a 由 cb,则下列不等式成立的是（ ） A． 1 1 a b B． 2 2 a b C． 1 1 2 2 a b > c + c + D．a c > b c
2.若α、β满足一。b>0时,1og1a log, b 答案:1.C2.C3.(1)<(2)<(3)<(4 五、回顾小结 本节课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证明了一些简单的不等式,还研究了如何比 较两个实数(代数式)的大小一一作差法,其具体解题步骤可归纳为: 第一步:作差并化简,其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式 第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论 第三步:得出结论 六、课后作业 课本习题3.1[A组]第2、3题;[B组]第1题 板书设计 不等关系与不等式(二) 方法引导 方法归纳 不等式和实数的基本性质 例题剖析(知识方法应用) 回顾小结
2．若 、 满足 2 2 − ，则 − 的取值范围是（ ） A． − − B． − − 0 C． 2 2 − − D． 0 2 − − 3.在以下各题的横线处适当的不等号： (1)（ 3 ＋ 2 ） 2 ６＋2 6 ； （2）（ 3 － 2 ） 2 （ 6 －1） 2； （3） 5 2 1 − 6 5 1 − ； (4)当 a b 0 时， 1 2 log a 1 2 log b 答案：1. C 2 . C 3. (1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜ 五、回顾小结： 本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比 较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为： 第一步：作差并化简，其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第三步：得出结论 六、课后作业： 课本习题 3.1[A 组]第 2、3 题；[B 组]第 1 题 板书 设计 不等关系与不等式（二） 引入 方法引导 方法归纳 不等式和实数的基本性质 例题剖析（知识方法应用） 回顾小结 最新精品资料