第三章不等式 32一元二次不等式及其解法 32一元二次不等式及其解法(第2课时) 学案设计+++++++++++++++++++++++++++++·(设计者:苏洪瞢) 学习目标 1巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系进一步熟悉一元二次不等式的 解法 2会解含参数的一元二次不等式 3能应用一元二次不等式解决简单问题 合作学习 设计问题创设情境 题组一:再现型题组 解答下列各题: (1)已知二次函数(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解 元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是 (2)若关于x的不等式x2+2x+m>0的解集为R则实数m的取值范围是 (3)已知a0(a≠0)之间有怎样的关系? 问题2通过前面的学习思考确定一元二次不等式的解集的因素有哪些? 三、运用规律,解决问题 题组二提高型题组 【例1】已知关于x的不等式ax2+x+2>0 (1)若该不等式对任意实数x恒成立求实数a的取值范围; (2)若该不等式的解集为{x-1<x<l},求实数t的值
第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 3.2 一元二次不等式及其解法(第 2 课时) 学习目标 1.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,进一步熟悉一元二次不等式的 解法. 2.会解含参数的一元二次不等式. 3.能应用一元二次不等式解决简单问题. 合作学习 一、设计问题,创设情境 题组一:再现型题组 解答下列各题: (1)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象如图所示,则一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解 是 ;一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 . (2)若关于 x 的不等式 x 2+2x+m>0 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是 . (3)已知 a0(a≠0)之间有怎样的关系? 问题 2:通过前面的学习思考:确定一元二次不等式的解集的因素有哪些? 三、运用规律,解决问题 题组二:提高型题组 【例 1】已知关于 x 的不等式 ax2+x+2>0. (1)若该不等式对任意实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若该不等式的解集为{x|-1<x<t},求实数 t 的值
【例2】已知a>0,解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10对任意的x∈(-1,2)恒成立求实数a的取值范围 变式训练2若将例2中的条件“a>0换为a∈R”,再去求解 五、反思小结观点提炼 问题3:本节课主要学习了哪些知识?主要涉及哪些数学思想? 参考答案 、设计问题,创设情境 题组一:再现型题组 (1)0,4{x00(a40)的解集为{xxx2}时,可以得到a>0,且xx2是一元二次方程
【例 2】已知 a>0,解关于 x 的不等式 ax2 -(a+1)x+10 对任意的 x∈(-1,2)恒成立,求实数 a 的取值范围. 变式训练 2:若将例 2 中的条件“a>0”换为“a∈R”,再去求解. 五、反思小结,观点提炼 问题 3:本节课主要学习了哪些知识?主要涉及哪些数学思想? 参考答案 一、设计问题,创设情境 题组一:再现型题组 (1)0,4 {x|00(a≠0)的解集为{x|xx2}时,可以得到 a>0,且 x1,x2 是一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解当一元二次不等式ax2+bx+c>0(a0)的解集为{xx11时不等式的解集为(1) ②当=1,即a=1时,不等式的解集为°; ③当21,即0a1时不等式的解集为,1)当a=1时,不等式的解集为当00, 显然A>0 方程x2+9x-7110=0有两个实数根,即x1≈-8894,x2≈79.94 所以不等式的解集为{xx-8894或x>79.94} 在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为7994km/h 四、变式训练深化提高 题组三:反馈型题组 变式训练1:解:方法一设fx)=ax2+x+2, ①当a≥0时,因为-10,故几(x)>0显然成立 2当a0时由二次函数图象知只需(120a+120 f(2)≥0,{4a+4≥0, 解得a≥-1,所以-1≤a0显然成立此时a∈R ②当x0时,不等式ax2+x+2×0可以化为a>2(
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解;当一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x1 0, 𝛥 = 1-8𝑎 1 8 . (2)由题意,-1,t 是关于 x 的方程 ax2+x+2=0 的两根, 所以{ -1 + 𝑡 = - 1 𝑎 , -1 × 𝑡 = 2 𝑎 , 解得 a=-1,t=2. 【例 2】解:不等式可化为 a(x-1)(𝑥- 1 𝑎 )1 时,不等式的解集为( 1 𝑎 ,1); ②当 1 𝑎 =1,即 a=1 时,不等式的解集为⌀; ③当 1 𝑎 >1,即 01 时,不等式的解集为( 1 𝑎 ,1);当 a=1 时,不等式的解集为⌀;当 039.5. 移项整理得:x 2+9x-7110>0, 显然 Δ>0, 方程 x 2+9x-7110=0 有两个实数根,即 x1≈-88.94,x2≈79.94. 所以不等式的解集为{x|x79.94}. 在这个实际问题中 x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h. 四、变式训练,深化提高 题组三:反馈型题组 变式训练 1:解:方法一:设 f(x)=ax2+x+2, ①当 a≥0 时,因为-10,故 f(x)>0 显然成立; ②当 a0 显然成立,此时 a∈R; ②当 x≠0 时,不等式 ax2+x+2>0 可以化为 a>-2( 1 𝑥 ) 2 − 1 𝑥
令1=则t∈(-∞,-1)U 由题意不等式a>-22-1在t∈(-∞-1)u(,+∞)时恒成立所以a≥-1 综上可知实数a的取值范围是[-1,+∞) 变式训练2解:①当a=0时,不等式的解集为(1,+∞) ②当a>0时,同例2; ③当a0时因为1,所以不等式的解集为()y(,+) 综上所述当a1时不等式的解集为(1)当a=1时不等式的解集为0当0a<1时不 等式的解集为(1)￥a0时不等式的解集为(,+)当a0时不等式的解集为(-)u 五、反思小结观点提炼 问题3:利用三个“二次”之间的关系,解答有关一元二次不等式问题和解含参数的一元二 次不等式;函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想
令 t= 1 𝑥 ,则 t∈(-∞,-1)∪( 1 2 , + ∞). 由题意,不等式 a>-2t 2 -t 在 t∈(-∞,-1)∪( 1 2 , + ∞)时恒成立,所以,a≥-1. 综上可知,实数 a 的取值范围是[-1,+∞). 变式训练 2:解:①当 a=0 时,不等式的解集为(1,+∞); ②当 a>0 时,同例 2; ③当 a1 时,不等式的解集为( 1 𝑎 ,1);当 a=1 时,不等式的解集为⌀;当 0<a<1 时,不 等式的解集为(1, 1 𝑎 );当 a=0 时,不等式的解集为(1,+∞);当 a<0 时,不等式的解集为(-∞, 1 𝑎 )∪ (1,+∞). 五、反思小结,观点提炼 问题 3:利用三个“二次”之间的关系,解答有关一元二次不等式问题和解含参数的一元二 次不等式;函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想