3.1不等关系与不等式 山理解粉新用析材新师自通 知识点 「不等关系与不等式 [提出问题 在日常生活中,我们经常看到下列标志: s0(0o 7:30-10:00 问题1:你知道各图中的标志有何作用吗?其含义是什么? 提示:①最低限速:限制行驶时速v不得低于50公里 ②限制重量:装载总重量G不得超过10t ③限制高度:装载高度h不得超过3.5 ④限制宽度:装载宽度a不得超过 ⑤时间范围:t∈[7.5,10] 问题2:你能用一个数学式子表示上述关系吗?如何表示? 提示:①v≥50;②C≤10:③h≤3.5;④a≤3;⑤7.5≤t≤10 [导入新知] 不等式的概念 我们用数学符号“≠”“>”“”“b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表 示,不等关系是可以通过不等式来体现的 2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换 大于等于,至少,小于等于,至多 大于,高于,超过小于,低于,少于 语言 不低于 不多于,不超过 符号 ≤ 语言
3.1 不等关系与不等式 不等关系与不等式 [提出问题] 在日常生活中，我们经常看到下列标志： 问题 1：你知道各图中的标志有何作用吗？其含义是什么？ 提示：①最低限速：限制行驶时速 v 不得低于 50 公里； ②限制重量：装载总重量 G 不得超过 10 t； ③限制高度：装载高度 h 不得超过 3.5 m； ④限制宽度：装载宽度 a 不得超过 3 m； ⑤时间范围：t∈[7.5,10]． 问题 2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？ 提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10. [导入新知] 不等式的概念 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接两个数或两个代数式，以表示 它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． [化解疑难] 1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等 式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表 示，不等关系是可以通过不等式来体现的． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少， 不低于 小于等于，至多， 不多于，不超过 符号 语言 ＞ ＜ ≥ ≤
知识点二 两实数大小的比较 [提出问题] 实数可以用数轴上的点表示,数轴上的每个点都表示一个实数,且右边的点表示的实数 总比左边的点表示的实数大 问题1:怎样判断两个实数a,b的大小? 提示:若a-b是正数,则a>b;若a-b是负数, 则&b;若a-b是零,则a=b 问题2:你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法? 提示:能.通过两个实数作差,判断差的正负比较大小 [导入新知] 比较两个实数a,b大小的依据 文字语言 符号表示 如果a>b,那么a-b是正数 a> bea-b0 如果a0,即a-c>0. a>c 问题2:若a>b,则a+c>b+C,对吗?为什么? 提示:正确.∵a>b, ∴a-b>0
两实数大小的比较 [提出问题] 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数 总比左边的点表示的实数大． 问题 1：怎样判断两个实数 a，b 的大小？ 提示：若 a－b 是正数，则 a＞b；若 a－b 是负数， 则 ab⇔a－b>0 ab，b>c，则 a>c，对吗？为什么？ 提示：正确．∵a>b，b>c， ∴a－b>0，b－c>0. ∴(a－b)＋(b－c)>0，即 a－c>0. ∴a>c. 问题 2：若 a＞b，则 a＋c＞b＋c，对吗？为什么？ 提示：正确．∵a＞b， ∴a－b＞0， ∴a＋c－b－c＞0
即a+c>b+ 问题3:若a>b,则aC>bc,对吗?试举例说明 提示:不一定正确.若a=2,b=1,c=2时正确.c=-2时不正确 [导入新知] 不等式的性质 (1)对称性:abea (2)传递性:Bb,bc→BC; (3)可加性:ab→a+Cb+c 推论(同向可加性) →a+c>b+d C (4)可乘性:bB>be ab→abc C>0 推论(同向同正可乘性 →aC>bd C>d>0 (5)正数乘方性:ab0→a>b(n∈N,n≥1) (6)正数开方性:ab0=√ayb(n∈N,n≥2) [化解疑难] 1.在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件 2.要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性 ②突破考题型用向考不离其 题型 用不等式(组)表示不等关系 [例1]某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车,有9 名驾驶员.此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次, 乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式 解]设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆.由题意得
即 a＋c＞b＋c. 问题 3：若 a＞b，则 ac＞bc，对吗？试举例说明． 提示：不一定正确．若 a＝2，b＝1，c＝2 时正确．c＝－2 时不正确． [导入新知] 不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c； (3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c. 推论(同向可加性)： a>b c>d ⇒a＋c>b＋d. (4)可乘性： a>b c>0 ⇒ac>bc； a>b cb>0 c>d>0 ⇒ac>bd. (5)正数乘方性：a>b>0⇒a n >b n (n∈N *，n≥1)． (6)正数开方性：a>b>0⇒ n a> n b(n∈N *，n≥2)． [化解疑难] 1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性． 用不等式(组)表示不等关系 [例 1] 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员．此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次， 乙型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不等式． [解] 设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆．由题意得
x+y≤9 x+y≤9, 10×6x+6×8y≥360, 5x+4y≥30, 0≤x≤4 0≤x≤4,0≤K≤7, 0≤K≤7, x∈N,y∈N. x∈N,y∈N [类题通法] 用不等式表示不等关系的方法 (1)认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系 (2)找出体现不等关系的关键词:“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超 过”“不超过”等.用代数式表示相应各量,并用关键词连接.特别需要考虑的是 “≤”“≥”中的“=”能否取到 [活学活用] 用不等式(组)表示下列问题中的不等关系: (1)限速80km/h的路标 (2)桥头上限重10吨的标志; (3)某酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%,蛋白质的含量p不少 于2.3%. 解:(1)设汽车行驶的速度为vkm/h,则v≤80 (2)设汽车的重量为a吨,则≤10 题型 比较两数(式)的大小 [例2]比较下列各组中两个代数式的大小 (1)x2+3与2x (2)已知a,b为正数,且a≠b,比较a+b与ab+ab2的大小. [解](1)(x2+3)-2x=x2-2x+3 (x-1)2+2≥2>0, ∵x2+3>2 (2)(a+b)-(ab+ab)=a+b-db-ab=a(a-b)-b(a-b)=(a-b(a-B) (a-b)2(a+b) ∴a>0,b>0,且a≠b, (a-b)2>0,a+b>0 d+b)-(ab+ab)>0
x＋y≤9， 10×6x＋6×8y≥360， 0≤x≤4， 0≤y≤7， x∈N，y∈N， 即 x＋y≤9， 5x＋4y≥30， 0≤x≤4，0≤y≤7， x∈N，y∈N. [类题通法] 用不等式表示不等关系的方法 (1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系． (2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超 过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是 “≤”“≥”中的“＝”能否取到． [活学活用] 用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速 80 km/h 的路标； (2)桥头上限重 10 吨的标志； (3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不多于 2.5%，蛋白质的含量 p 不少 于 2.3%. 解：(1)设汽车行驶的速度为 v km/h，则 v≤80. (2)设汽车的重量为 ω 吨，则 ω≤10. (3) f≤2.5%， p≥2.3%. 比较两数(式)的大小 [例 2] 比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x 2＋3 与 2x； (2)已知 a，b 为正数，且 a≠b，比较 a 3＋b 3 与 a 2 b＋ab 2 的大小． [解] (1)(x 2＋3)－2x＝x 2－2x＋3 ＝(x－1) 2＋2≥2＞0， ∴x 2＋3＞2x. (2)(a 3＋b 3 )－(a 2 b＋ab 2 )＝a 3＋b 3－a 2 b－ab 2＝a 2 (a－b)－b 2 (a－b)＝(a－b)(a 2－b 2 )＝ (a－b) 2 (a＋b)． ∵a＞0，b＞0，且 a≠b， ∴(a－b) 2＞0，a＋b＞0. ∴(a 3＋b 3 )－(a 2 b＋ab 2 )＞0
即a+b3>ab+ab [类题通法] 比较两个代数式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个数(或式子)作差 (2)变形:对差进行变形 (3)判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号 (4)作出结论 这种比较大小的方法通常称为作差比较法.其思维过程是作差→变形→判断符号→结 论,其中变形是判断符号的前提 [活学活用] 试判断下列各对整式的大小: (1)d2-2m+5与-2m+5 (2)x+6x与x+6. 解:(1)(m2-2m+5)-(-2m+5) =m-2m+5+2m-5=m ∵m≥0,∴(m-2m+5)一(-2m+5)≥0 n2-2m+5≥-2m+5 (2)(x2+6x)-(x2+6) x3-x2+6x-6 x(x-1)+6(x-1) =(x-1)(x2+6) ∴当x>1时,(x-1)(x2+6)>0, 当x=1时,(x-1)(x2+6)=0, 即x+6x=x+6. 当xb>0,cb>0
即 a 3＋b 3＞a 2 b＋ab 2 . [类题通法] 比较两个代数式大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)作出结论． 这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程是作差→变形→判断符号→结 论，其中变形是判断符号的前提． [活学活用] 试判断下列各对整式的大小： (1)m 2－2m＋5 与－2m＋5； (2)x 3＋6x 与 x 2＋6. 解：(1)(m 2－2m＋5)－(－2m＋5) ＝m 2－2m＋5＋2m－5＝m 2 . ∵m 2≥0，∴(m 2－2m＋5)－(－2m＋5)≥0， ∴m 2－2m＋5≥－2m＋5. (2)(x 3＋6x)－(x 2＋6) ＝x 3－x 2＋6x－6 ＝x 2 (x－1)＋6(x－1) ＝(x－1)(x 2＋6)． ∵x 2＋6＞0， ∴当 x＞1 时，(x－1)(x 2＋6)＞0， 即 x 3＋6x＞x 2＋6. 当 x＝1 时，(x－1)(x 2＋6)＝0， 即 x 3＋6x＝x 2＋6. 当 x＜1 时，(x－1)(x 2＋6)＜0， 即 x 3＋6x＜x 2＋6. 不等式的性质 [例 3] 已知 a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证： e a－c ＞ e b－d . 证明：∵c＜d＜0， ∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0
a+(-c)>b+(-d>0, 即a-c>b-d>0 又∵eb,m>m,D>0,求证:m-apb,又p>0 又∵m>n,即n<皿 ∴n-ap<m-bp 3跨越高分修补短板饭分十分不 多维究系列 趣角度全知 4.探究利用不等式性质求取值范围 [典例]已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b与a-b的取值范围. [解]∵1<a<4,2<b<8, 2<2a<8,6<3b<24. ∴8<2a+3b<32 2<b<8, 8<-b<-2. 又∵1<a<4 1+(-8)<a+(-b)<4+(-2), 即-7<a-b<2. 故2a+3b的取值范围是(8,32),a-b的取值范围是(-7,2)
∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0， 即 a－c＞b－d＞0， ∴0＜ 1 a－c ＜ 1 b－d . 又∵e＜0， ∴ e a－c ＞ e b－d . [类题通法] 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基 础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略 条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. [活学活用] 已知 a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp. 证明：∵a＞b，又 p＞0， ∴ap＞bp. ∴－ap＜－bp. 又∵m＞n，即 n＜m. ∴n－ap＜m－bp. 4.探究利用不等式性质求取值范围 [典例] 已知 1＜a＜4,2＜b＜8，试求 2a＋3b 与 a－b 的取值范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8， ∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8， ∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4， ∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故 2a＋3b 的取值范围是(8,32)，a－b 的取值范围是(－7,2)．
【探究一】 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意:同向不等式的两边可以相加 (相乘),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取 值范围 【探究二】 同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,应用时,要充分利用所给条件 进行适当变形来求范围,注意变形的等价性 在本例条件下,求的取值范围 [解]∵2<b<8 而1<a<4 ∴1×x<a·<4×,即二<,<2 故的取值范围 【探究三】 不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变:同乘一个负数,不等号方向改变,求解中, 应明确所乘数的正负 例:已知-6<a<8,2<b<3,求的取值范围 [解] 6<a<8,2<b<3, ①当0≤a<8时,0≤2<4 ②当-6<a<0时 由①②得:-3<元<4 【探究四】 利用不等式性质求范围,应注意减少不等式使用次数 例:已知一1≤叶+≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取值范围. [解]设a+3b=A1(a+b)+A2(a-2b)=(1+A2)a+(41-2A2)b, 解得A1==,A
【探究一】 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边可以相加 (相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取 值范围． 【探究二】 同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件 进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 在本例条件下，求a b 的取值范围． [解] ∵2＜b＜8，∴ 1 8 ＜ 1 b ＜ 1 2 ， 而 1＜a＜4， ∴1× 1 8 ＜a· 1 b ＜4× 1 2 ，即1 8 ＜ a b ＜2. 故 a b 的取值范围是 1 8 ，2 . 【探究三】 不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变；同乘一个负数，不等号方向改变，求解中， 应明确所乘数的正负． 例：已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求a b 的取值范围． [解] ∵－6＜a＜8,2＜b＜3， ∴ 1 3 ＜ 1 b ＜ 1 2 . ①当 0≤a＜8 时，0≤a b ＜4； ②当－6＜a＜0 时，－3＜ a b ＜0. 由①②得：－3＜ a b ＜4. 【探究四】 利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数． 例：已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求 a＋3b 的取值范围． [解] 设 a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b， 解得 λ1＝ 5 3 ，λ2＝－ 2 3
又 (a+b)≤ 2 所以 3a+3b≤1. (注:本题可以利用本章第三节内容求解) 4应用落容体验川自盖练黄炼为藏碱 随堂即时演练 1.完成一项装修工程,请木工共需付工资每人500元,请瓦工共需付工资每人400元, 现有工人工资预算20000元,设木工x人,瓦工y人,则工人满足的关系式是() A.5x+4y0,即x2-x>x-2. 答案: 4.若-10<a<b<8,则|a+b的取值范围是 解析 10<a<8,∴0≤|a<10
又－5 3 ≤ 5 3 (a＋b)≤5 3 ， －2≤－ 2 3 (a－2b)≤－ 2 3 ， 所以－11 3 ≤a＋3b≤1. (注：本题可以利用本章第三节内容求解) [随堂即时演练] 1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人 500 元，请瓦工共需付工资每人 400 元， 现有工人工资预算 20 000 元，设木工 x 人，瓦工 y 人，则工人满足的关系式是( ) A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200 解析：选 D 据题意知，500x＋400y≤20 000， 即 5x＋4y≤200，故选 D. 2．(四川高考)若 a>b>0，c＜d＜0，则一定有( ) A. a d > b c B. a d b d D. a c 0，即 x 2－x>x－2. 答案：> 4．若－10＜a＜b＜8，则|a|＋b 的取值范围是________． 解析：∵－10＜a＜8，∴0≤|a|＜10
又 100, ∴(x-1)(3x2+1)≤0, ∴3x≤3x2-x+1 (2)∵-1-b>0, a2>b2>0. ∵abb2> [课时达标检测 、选择题 1.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是() A M N B. M=N C. KM D.与x有关 解析:选AM№=x2+x+1=x+2+>0.∴M>M 2.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于 380分,体育成绩z超过45分,用不等式(组)表示就是() x≥95 A.y: B.{y>380 z>45 z≥45
又－10＜b＜8，∴－10＜|a|＋b＜18. 答案：(－10,18) 5．(1)已知 x≤1，比较 3x 3 与 3x 2－x＋1 的大小； (2)若－1＜a＜b＜0，试比较1 a ， 1 b ，a 2，b 2 的大小． 解：(1)3x 3－(3x 2－x＋1)＝(3x 3－3x 2 )＋(x－1)＝3x 2 (x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x 2＋ 1)． ∵x≤1，∴x－1≤0. 又 3x 2＋1＞0， ∴(x－1)(3x 2＋1)≤0， ∴3x 3≤3x 2－x＋1. (2)∵－1＜a＜b＜0， ∴－a＞－b＞0， ∴a 2＞b 2＞0. ∵a＜b＜0， ∴a· 1 ab ＜b· 1 ab ＜0， 即 0＞ 1 a ＞ 1 b ， ∴a 2＞b 2＞ 1 a ＞ 1 b . [课时达标检测] 一、选择题 1．设 M＝x 2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( ) A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与 x 有关 解析：选 A M－N＝x 2＋x＋1＝ x＋ 1 2 2＋ 3 4 ＞0.∴M＞N. 2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化课总分 y 高于 380 分，体育成绩 z 超过 45 分，用不等式(组)表示就是( ) A. x≥95 y≥380 z>45 B. x≥95 y>380 z≥45
C.{少380 D.{y>380 z>45 解析:选D由题中x不低于95即x≥95,y高于380即y380,z超过45即z>45. 3.若abcd0,b>c,d0,c>0 C. b>0, C0,d0, 又∵b>C,∴0b,C>b,则a>c B.若a>-b,则c-ab,cb,则一ab>0,cb>0时才可以,否则如a=-1, b=0时不成立,故选B. 、填空题 6.比较大小:a+b+c22(a+b+c)-4 解析:a+b+c-[2(a+b+c)-4] =a2+b2+c2-2a-2b-2c+4 (a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+1≥1>0, 故a2+b2+c2>2(a+b+c)-4
C. x>95 y>380 z>45 D. x≥95 y>380 z>45 解析：选 D 由题中 x 不低于 95 即 x≥95，y 高于 380 即 y>380，z 超过 45 即 z>45. 3．若 abcd＜0，且 a＞0，b＞c，d＜0，则( ) A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b 或 c＜b＜0 解析：选 D 由 a＞0，d＜0，且 abcd＜0，知 bc＞0， 又∵b＞c，∴0＜c＜b 或 c＜b＜0. 4．设 α∈ 0， π 2 ，β∈ 0， π 2 ，则 2α－ β 3 的范围是( ) A. 0， 5 6 π B. － π 6 ， 5 6 π C.(0，π) D. － π 6 ，π 解析：选 D ∵0＜2α＜π，0≤β 3 ≤ π 6 ， ∴－ π 6 ≤－ β 3 ≤0， 由同向不等式相加得到－π 6 ＜2α－ β 3 ＜π. 5．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( ) A．若 a＞b，c＞b，则 a＞c B．若 a＞－b，则 c－a＜c＋b C．若 a＞b，c＜d，则a c ＞ b d D．若 a 2＞b 2，则－a＜－b 解析：选 B 选项 A，若 a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项 C 不满足倒数不等式的 条件，如 a＞b＞0，c＜0＜d 时，不成立；选项 D，只有 a＞b＞0 时才可以，否则如 a＝－1， b＝0 时不成立，故选 B. 二、填空题 6．比较大小：a 2＋b 2＋c 2 ________2(a＋b＋c)－4. 解析：a 2＋b 2＋c 2－[2(a＋b＋c)－4] ＝a 2＋b 2＋c 2－2a－2b－2c＋4 ＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0， 故 a 2＋b 2＋c 2＞2(a＋b＋c)－4