3.1不等关系与不等式 学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大 小.3.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题 1问题导学 知识点一不等关系 思考限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h, 用不等式如何表示? 答案≤40. 梳理试用不等式表示下列关系: (1)a大于b (2)a小于b (3)a不超过b 4)a不小于b 知识点二作差法 思考x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不显而易见.你能想个办法,比 较x2+1与2x的大小,而且具有说服力吗? 答案作差:x+1-2x=(x-1)2≥0,所以x2+1≥2x 梳理作差法的理论依据:abea-b0;a=bea-b=0;∝bea-b0→a-b+b-c>0→a-c>0→BC. 梳理不等式性质: (1) abe Ka(对称性) (2)a>b,b→Bc(传递性) (3)ab=a+cb+c(可加性); (4)a>b,c>0→aCbc;a>b,c(0→acbc; (5)ab, c>da+c>b+ds (6)a>b>0,cd0→aC>bd小 (7)a>b>0,n∈N,n≥1→a>b (8)a>b>0,n∈N,m≥2V≈√b
最新K12资料 3.1 不等关系与不等式 学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大 小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知识点一 不等关系 思考 限速 40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h， 用不等式如何表示？ 答案 v≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于 b a＞b (2)a 小于 b ab⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；ab，b>c⇒a>c. 答案 a>b，b>c⇒a－b>0，b－c>0⇒a－b＋b－c>0⇒a－c>0⇒a>c. 梳理 不等式性质： (1)a>b⇔bb，b>c⇒a>c(传递性)； (3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，cb，c>d⇒a＋c>b＋d； (6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒a n >b n ； (8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒ n a> n b
2题型探究 类型一用不等式(组)表示不等关系 例1某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高 0.1元,销售量就可能相应减少200本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式 表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 解提价后销售的总收入 x-2.5 万 0.1 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5 0.1 0.2 x≥20 反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力,即能用数学语言表示出实际问题中的数 量关系.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时:(1)要先读懂题,设出未知量:(2)抓 关键词,找到不等关系;(3)用不等式表示不等关系.思维要严密、规范 跟踪训练1某钢铁厂要把长度为4000m的钢管截成500m和600m两种.按照生产的 要求,600m的钢管数量不能超过500m钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的 不等式呢? 解设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根.根据题意,应有如下的不等关系: (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm (2)截得600mm钢管的数量不能超过500m钢管数量的3倍 (3)截得两种钢管的数量都不能为负 500x+600y≤4000 3x≥y, 要同时满足上述的三个不等关系,可以用不等式组表示为 x≥0, 类型二比较大小 命题角度1作差法比较大小 例2已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a+b与ab+ab的大小 解∵a+B-(ab+aB2)=(a-a2b+(b-ab2) a(a-b)+b(b-a) (a-b)(a-b2)=(a-b)2(a+b) 当a=b时,a-b=0,d+b=ab+ab2; 当a≠b时,(a-b)2>0,a+b0,a+b>ab+aB2 综上所述,a+b≥ab+ab
最新K12资料2 类型一 用不等式(组)表示不等关系 例 1 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本．据市场调查，若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2 000 本．若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式 表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？ 解 提价后销售的总收入为 8－ x－2.5 0.1 ×0.2 x 万元， 那么不等关系“销售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式 8－ x－2.5 0.1 ×0.2 x≥20. 反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数 量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓 关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范． 跟踪训练 1 某钢铁厂要把长度为 4 000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种．按照生产的 要求，600 mm 的钢管数量不能超过 500 mm 钢管的 3 倍．怎样写出满足上述所有不等关系的 不等式呢？ 解 设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600 mm 的钢管 y 根．根据题意，应有如下的不等关系： (1)截得两种钢管的总长度不能超过 4 000 mm； (2)截得 600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管数量的 3 倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负． 要同时满足上述的三个不等关系，可以用不等式组表示为 500x＋600y≤4 000， 3x≥y， x≥0， y≥0. 类型二 比较大小 命题角度 1 作差法比较大小 例 2 已知 a，b 均为正实数．试利用作差法比较 a 3＋b 3 与 a 2 b＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－(a 2 b＋ab 2 )＝(a 3－a 2 b)＋(b 3－ab 2 ) ＝a 2 (a－b)＋b 2 (b－a) ＝(a－b)(a 2－b 2 )＝(a－b) 2 (a＋b)． 当 a＝b 时，a－b＝0，a 3＋b 3＝a 2 b＋ab 2； 当 a≠b 时，(a－b) 2 >0，a＋b>0，a 3＋b 3 >a 2 b＋ab 2 . 综上所述，a 3＋b 3≥a 2 b＋ab 2
反思与感悟比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.作差法比较实数的大小的 般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步, 变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式 跟踪训练2已知x0 x-10且a≠1,试比较|1gn(1-x)与|logn(1+x)的大小关系 llog 1+ log I+x ∴log 1-x2=(1+x)(1-x)0 ∴1+x0,则分>1台a>b 跟踪训练3若a>b>0,比较ab与a'b的大小 b ab 又∵a>b>0,∴ab>ab 3
最新K12资料3 反思与感悟 比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的 一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步， 变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练 2 已知 x＜1，试比较 x 3－1 与 2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x)＝x 3－2x 2＋2x－1 ＝(x 3－x 2 )－(x 2－2x＋1)＝x 2 (x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x 2－x＋1)＝(x－1)[(x－ 1 2 ) 2＋ 3 4 ]， ∵(x－ 1 2 ) 2＋ 3 4 ＞0，x－1＜0， ∴(x－1)[(x－ 1 2 ) 2＋ 3 4 ]＜0， ∴x 3－1＜2x 2－2x. 命题角度 2 作商法比较大小 例 3 若 0＜x＜1，a＞0 且 a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系． 解 |loga 1－x | |loga 1＋x | ＝ loga 1－x loga 1＋x ＝|log 1＋x 1－x |， ∵0＜x＜1， ∴|log 1＋x 1－x |＝－log(1＋x)(1－x) ＝log(1＋x) 1 1－x ， ∵1－x 2＝(1＋x)(1－x)＜1，且 1－x＞0， ∴1＋x＜ 1 1－x ， ∴log(1＋x) 1 1－x ＞1，即|loga 1－x | |loga 1＋x | ＞1， ∴|loga(1＋x)|＜|loga(1－x)|. 反思与感悟 作商法的依据：若 b＞0，则a b ＞1⇔a＞b. 跟踪训练 3 若 a＞b＞0，比较 a a b b 与 a b b a 的大小． 解 a a b b a b b a＝a a－b b b－a ＝( a b ) a－b ， ∵a＞b＞0，∴ a b ＞1，a－b＞0， ∴(a b ) a－b ＞1，即a a b b a b b a＞1， 又∵a＞b＞0，∴a a b b ＞a b b a
类型三不等式的基本性质 例4己知a>b>0,c(0,求证: 证明因为a>b0,所以ab>0 于是a×>b× 反思与感悟有关不等式的证明,最基本的依据是不等式的8条基本性质,在解不等式时, 对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质 跟踪训练4如果ab0,∞△0,证明:ac>bd. 证明 a)b>01 c>0}→ac>b>0 →bc>bd>0 b>0 当堂训练 1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分, 体育成绩z超过45分,用不等式表示就是() A.{y≥380, B.{y>380 z>45 z≥45 x>95 x≥95, C.{y>380 D.{y>380 z>45 z>45 答案D 解析“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“〉”,∴x≥95,少380,z45 2.已知a+b>0,0,那么a,b,一a,一b的大小关系是( A ab-b>-a B a>>-ab C. a-bb-a D. ab-a-b 答案C 解析由a+b0,知a-b, aKo 又0,∴-b0, a>-bb-a
最新K12资料4 类型三 不等式的基本性质 例 4 已知 a>b>0，c c b . 证明 因为 a>b>0，所以 ab>0， 1 ab >0. 于是 a× 1 ab >b× 1 ab ，即1 b > 1 a .由 c c b . 反思与感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的 8 条基本性质，在解不等式时， 对不等式进行有关变形的依据也是 8 条基本性质． 跟踪训练 4 如果 a>b>0，c>d>0，证明：ac>bd. 证明 a>b>0 c>0 ⇒ac>bc>0 c>d>0 b>0 ⇒bc>bd>0 ⇒ac>bd. 1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化课总分 y 高于 380 分， 体育成绩 z 超过 45 分，用不等式表示就是( ) A. x≥95， y≥380， z>45 B. x≥95， y>380， z≥45 C. x>95， y>380， z>45 D. x≥95， y>380， z>45 答案 D 解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45. 2．已知 a＋b>0，bb>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 答案 C 解析 由 a＋b>0，知 a>－b， ∴－a0， ∴a>－b>b>－a
3.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小 解∵(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4) (a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-70ab;a-b=0φa=b;a-b0台ab 2.作差法比较的一般步骤 第一步:作差 第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”; 第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论) 最后得结论 概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键 3.不等式的性质是不等式变形的依据,每一步变形都要严格依照性质进行,并注意不等式推 导所需条件是否具备 40分钟课时作业 选择题 1.设xa0,则下列不等式一定成立的是() A. xa>ax 答案B 解析∵x2-ax=x(x-a)>0, 又ax-a=a(x-a)>0 ax> ∵.x2>ax>a
最新K12资料5 3．比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． 解 ∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4) ＝(a 2－2a－15)－(a 2－2a－8)＝－70⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－bax>a 2 C．x 2 a 2 >ax 答案 B 解析 ∵x 2－ax＝x(x－a)>0， ∴x 2 >ax. 又 ax－a 2＝a(x－a)>0， ∴ax>a 2， ∴x 2 >ax>a 2
2.已知ab,则下列不等式成立的是() a b b. a>b Ca>0 D. al cl>b cl 答案C 解析对A,若a0>b,则->0, A不成立 对B,若a=1,b=-2,则a2clbl d. ab>c 答案A 解析由ab》c及a+b+c=0
最新K12资料6 2．已知 a a b > a b 2 B. a b 2> a b >a C. a b >a> a b 2 D. a b > a b 2>a 答案 D 解析 取 a＝－2，b＝－2， 则 a b ＝1， a b 2＝－ 1 2 ， ∴ a b > a b 2>a. 3．若 a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( ) A. 1 a b 2 C. a c 2＋1 > b c 2＋1 D．a|c|>b|c| 答案 C 解析 对 A，若 a>0>b，则1 a >0， 1 b 1 b ， ∴A 不成立； 对 B，若 a＝1，b＝－2，则 a 2 b， ∴ a c 2＋1 > b c 2＋1 恒成立， ∴C 成立； 对 D，当 c＝0 时，a|c|＝b|c|， ∴D 不成立． 4．若 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( ) A．ab>ac B．ac>bc C．a|b|>c|b| D．a 2 >b 2 >c 2 答案 A 解析 由 a>b>c 及 a＋b＋c＝0
知a>0,c0 a b' 对于D,当a=-1,b=1时, 6.若a>0且a≠1,M=1og(a+1),=logn(a+1),则M,N的大小关系为() A. KN B. N C. MDN D.M≥N 答案C 解析当a1时,a+1>a+1 y=1og。x为(0,+∞)上的增函数, .log,(a+1)>log, (a+1) 当0log, a+1) 当a>0且a≠1时,总有M 、填空题 7.若1≤a≤5,一1≤b≤2,则a-b的取值范围是 答案[-1,6] 解析 1≤b≤2 又1≤a≤5, 1≤a-b≤6 8.b克糖水中有a克糖(砂ω>0),若再添上m克糖(m0),则糖水就变甜了,试根据此事实提 7
最新K12资料7 知 a>0，c0， b>c ⇒ab>ac. 5．已知 a、b 为非零实数，且 a0 时，a 2 b>0，ab 2 0， ∴ 1 ab 20 且 a≠1，M＝loga(a 3＋1)，N＝loga(a 2＋1)，则 M，N 的大小关系为( ) A．MN D．M≥N 答案 C 解析 当 a>1 时，a 3＋1>a 2＋1， y＝loga x 为(0，＋∞)上的增函数， ∴loga(a 3＋1)>loga(a 2＋1)； 当 0loga(a 2＋1)， ∴当 a>0 且 a≠1 时，总有 M>N. 二、填空题 7．若 1≤a≤5，－1≤b≤2，则 a－b 的取值范围是________． 答案 [－1,6] 解析 ∵－1≤b≤2， ∴－2≤－b≤1， 又 1≤a≤5， ∴－1≤a－b≤6. 8．b 克糖水中有 a 克糖(b>a>0)，若再添上 m 克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提
炼一个不等式 答案 a+m a 解析变甜了,意味着含糖量大了,即浓度高了 9.若x∈R,则 01+与5的大小关系为 答案 1+x22 解析∵ 1+x2221+x221+r2≤0 1+x2 10.(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小关系为 答案(x+5)(x+7)<(x+6) 解析因为(x+5)(x+7)-(x+6)2 =x2+12x+35-(x2+12x+36) 1<0 所以(x+5)(x+7)<(x+6) 三、解答题 1.一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个,黑球个数至少是白球个数的一半, 至多是红球个数的,白球与黑球的个数之和至少为5,试用不等式(组)将题中的不等关系 表示出来 解据题意可解2z=3(x,,z∈N 升+z≥55 12.设x,y,z∈R,比较5x2+y2+z与2xy+4x+2z-2的大小 解∵5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2) 4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2x+1 (2x1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0, ∴5x2+y2+z≥2xy+4x+2z-2 当且仅当x=y==且z=1时取等号 13.已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表 甲|乙丙 维生素A(单位/kg)600700400
最新K12资料8 炼一个不等式：____________. 答案 a＋m b＋m > a b 解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了． 9．若 x∈R，则 x 1＋x 2与 1 2 的大小关系为________． 答案 x 1＋x 2≤ 1 2 解析 ∵ x 1＋x 2－ 1 2 ＝ 2x－1－x 2 2 1＋x 2 ＝ － x－1 2 2 1＋x 2 ≤0. ∴ x 1＋x 2≤ 1 2 . 10．(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2 的大小关系为_______________． 答案 (x＋5)(x＋7)<(x＋6)2 解析 因为(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2 ＝x 2＋12x＋35－(x 2＋12x＋36) ＝－1<0. 所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2 . 三、解答题 11．一个盒子中红、白、黑三种球分别为 x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半， 至多是红球个数的1 3 ，白球与黑球的个数之和至少为 55，试用不等式(组)将题中的不等关系 表示出来． 解 据题意可得 y 2 ≤z≤ x 3 ， y＋z≥55 (x，y，z∈N)． 12．设 x，y，z∈R，比较 5x 2＋y 2＋z 2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小． 解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy＋4x＋2z－2) ＝4x 2－4x＋1＋x 2－2xy＋y 2＋z 2－2z＋1 ＝(2x－1)2＋(x－y) 2＋(z－1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当 x＝y＝ 1 2 且 z＝1 时取等号． 13．已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素 A(单位/kg) 600 700 400
维生素B(单位/kg)800400500 成本(元/kg) 11 若用甲、乙、丙三种食物各xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物,并使混合食物内至 少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B. 试用x、y表示混合食物成本c元,并写出x、y所满足的不等关系 解依题意得c=11x+9y+4z, 又x+y+z=100 c=400+7x+5y, 600x+700y+400z≥56000, 800x+400y+500z≥63000 及z=100-x-y, ∫2x+3y≥160, 2x+3y≥160, 3x-y≥130, ∴x,y所满足的不等关系为 x≥0
最新K12资料9 维生素 B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各 x kg、y kg、z kg 配成 100 kg 的混合食物，并使混合食物内至 少含有 56 000 单位维生素 A 和 63 000 单位维生素 B. 试用 x、y 表示混合食物成本 c 元，并写出 x、y 所满足的不等关系． 解 依题意得 c＝11x＋9y＋4z， 又 x＋y＋z＝100， ∴c＝400＋7x＋5y， 由 600x＋700y＋400z≥56 000， 800x＋400y＋500z≥63 000 及 z＝100－x－y， 得 2x＋3y≥160， 3x－y≥130， ∴x，y 所满足的不等关系为 2x＋3y≥160， 3x－y≥130， x≥0， y≥0