3.1不等关系与不等式 学习目标 核心素养 1.了解不等式的性质(重点) 通过学习用不等式表示不等关系、比较两数 2能用不等式(组)表示实际问题中的(式)的大小及不等式的性质,培养学生的逻辑 不等关系(难点) 推理素养 自主预习o振新知 1.不等符号与不等关系的表示 (1)不等符号有b或a=b,等价于“a 不小于b”,即若ab或a=b中有一个正确,则a≥b正确 ②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是ab或a=b,等价于“a不大于b 即若&b或a=b中有一个正确,则a≤b正确 3.比较两实数a,b大小的依据 思考:x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不显而易见.你能想个办法, 比较x2+1与2x的大小,而且具有说服力吗? [提示]作差:x2+1-2x=(x-1)2≥0,所以x+1≥2 4.不等式的性质 名称 式子表达 性质1(对称性) a)b→ba 性质2(传递性) a>b,b>c→a>C 性质3(可加性) Bb→a+c>b+c 推论 +bC→a>c-b 性质4(可乘性) a>b,c>0→aC>b
- 1 - 3.1 不等关系与不等式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解不等式的性质(重点). 2.能用不等式(组)表示实际问题中的 不等关系(难点)． 通过学习用不等式表示不等关系、比较两数 (式)的大小及不等式的性质，培养学生的逻辑 推理素养. 1．不等符号与不等关系的表示 (1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠； (2)不等关系用不等式来表示． 2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换 大于 大于等于 小于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 思考：不等式 a≥b 和 a≤b 有怎样的含义？ [提示] ①不等式 a≥b 应读作：“a 大于或等于 b”，其含义是 a>b 或 a＝b，等价于“a 不小于 b”，即若 a>b 或 a＝b 中有一个正确，则 a≥b 正确． ②不等式 a≤b 应读作：“a 小于或等于 b”，其含义是 ab⇔bb，b>c⇒a>c 性质 3(可加性) a>b⇒a＋c>b＋c 推论 a＋b>c⇒a>c－b 性质 4(可乘性) a>b，c>0⇒ac>bc
a>b,cb,c>d→a+c>b+d 性质6(不等式同向正数可乘性) ab>0,c>d0→ac>bd 性质7(乘方性) a>b>0→a>b(n∈N,n≥1) 性质8(开方性) ab>0→yaVb(n∈N,n≥2) 思考:关于不等式的性质,下列结论中正确的有哪些? (1)ab且cd,则a-c>b-d (2)ab,则ac>bc. (3)D>b0,.且D0则32 (4)ab>0,则a>b (5)a>b,则> [提示]对于不等式的性质,有可加性但没有作差与作商的性质, (1)中例如5>3且4》1时,则5-4>3-1是错的,故(1)错 (2)中当c≤0时,不成立 )中例如53且心,则子是错的,故(3错 (4)中对n≤0均不成立,例如a=3,b=2,n=-1,则3->2-显然错,故(4)错 (5)因为>0,所以a·之b·2,故(5)正确.因此正确的结论有(5) 1.大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车货总重 量T不超过40吨,用不等式表示为() A.740 B.T40 C.T≤40 D.T≥40 C[限重就是不超过,可以直接建立不等式7≤40.] 2.已知ab,Cd,且cd≠0,则() A. ad> bc C. a-c>b-d D. a+c>b+d D[a,b,c,d的符号未确定,排除A、B两项;同向不等式相减,结果未必是同向不等 式,排除C项,故选D项.] 3.设m=2a+2a+1,n=(a+1)2,则m,n的大小关系是 m≥n[m-n=2a2+2a+1-(a+1)2=a≥0.]
- 2 - a>b，cb，c>d⇒a＋c>b＋d 性质 6 (不等式同向正数可乘性) a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 性质 7(乘方性) a>b>0⇒a n >b n (n∈N，n≥1) 性质 8(开方性) a>b>0⇒ n a> n b(n∈N，n≥2) 思考：关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？ (1)a>b 且 c>d，则 a－c>b－d. (2)a>b，则 ac>bc. (3)a>b>0，且 c>d>0 则 a c > b d . (4)a>b>0，则 a n >b n . (5)a>b，则 a c 2> b c 2. [提示] 对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质， (1)中例如 5>3 且 4>1 时，则 5－4>3－1 是错的，故(1)错． (2)中当 c≤0 时，不成立． (3)中例如 5>3 且 4>1，则 5 4 > 3 1 是错的，故(3)错． (4)中对 n≤0 均不成立，例如 a＝3，b＝2，n＝－1，则 3 －1 >2－1 显然错，故(4)错． (5)因为1 c 2>0，所以 a· 1 c 2>b· 1 c 2，故(5)正确．因此正确的结论有(5)． 1．大桥头竖立的“限重 40 吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重 量 T 不超过 40 吨，用不等式表示为( ) A．T40 C．T≤40 D．T≥40 C [限重就是不超过，可以直接建立不等式 T≤40.] 2．已知 a>b，c>d，且 cd≠0，则( ) A．ad>bc B．ac>bc C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d D [a，b，c，d 的符号未确定，排除 A、B 两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等 式，排除 C 项，故选 D 项．] 3．设 m＝2a 2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则 m，n 的大小关系是________． m≥n [m－n＝2a 2＋2a＋1－(a＋1)2＝a 2≥0.]
(b:③ab中,正确的不等式有 1[由,故②错误由0②知ba,0,0,那么心> 故③错误 合作探究提素养 用不等式表示不等关系 【例1】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园 的面积不小于110m2,靠墙的一边长为xm.试用不等式表示其中的不等关系 [解]由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m,所以0<x≤18, 这时菜园的另一条边长为 15-(m) 因此菜园面积S=x15-,依题意有S≥110, 即15 0<x≤18 故该题中的不等关系可用不等式表示为 15--≥110 1.此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系 2.当问题中同时满足几个不等关系,则应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外 若问题有几个变量,选用几个字母分别表示这些变量即可 3.用不等式(组)表示不等关系的步骤: (1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、不多于、不少于等 (2)适当的设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式 1.某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车,有9名驾 驶员.此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型 卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式
- 3 - 4．若 1 a |b|；③a0，所以 a＋b 1 b ，两边同乘|ab|，得|b|>|a|，故②错误；由①②知|b|>|a|，ab， 故③错误．] 用不等式表示不等关系 【例 1】 用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，要求菜园 的面积不小于 110 m 2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系． [解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为 x m，而墙长为 18 m，所以 0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为30－x 2 ＝ 15－ x 2 (m)． 因此菜园面积 S＝x· 15－ x 2 ，依题意有 S≥110， 即 x 15－ x 2 ≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 0<x≤18， x 15－ x 2 ≥110. 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外 若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可． 3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 1．某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾 驶员．此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型 卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解]设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则 x+y≤9, x+y≤9, 10×6x+6×8y≥360 5x+4y≥30, 0≤x≤4,X∈N 0≤x≤4,X∈N 0≤y≤7,y∈N 0≤0 VG=√当且仅当b时取等号 法三:(平方后作差) bab +-+2vab,(va+b)2=a+b+vab t)-+b=(a+b)(m=b
- 4 - [解] 设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，则 x＋y≤9， 10×6x＋6×8y≥360， 0≤x≤4，x∈N， 0≤y≤7，y∈N， 即 x＋y≤9， 5x＋4y≥30， 0≤x≤4，x∈N， 0≤y≤7，y∈N. 比较两数(式)的大小 【例 2】 已知 a，b 为正实数，试比较 a b ＋ b a 与 a＋ b的大小． 思路探究：注意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小． [解] 法一：(作差法) a b ＋ b a －( a＋ b)＝ a b － b ＋ b a － a ＝ a－b b ＋ b－a a ＝ （a－b）（ a－ b） ab ＝ （ a－ b）2（ a＋ b） ab . ∵a，b 为正实数， ∴ a＋ b>0， ab>0，( a－ b) 2≥0， ∴ （ a－ b）2（ a＋ b） ab ≥0， 当且仅当 a＝b 时等号成立． ∴ a b ＋ b a ≥ a＋ b(当且仅当 a＝b 时取等号)． 法二：(作商法) b a ＋ a b a＋ b ＝ （ b） 3＋（ a） 3 ab（ a＋ b） ＝ （ a＋ b）（a＋b－ ab） ab（ a＋ b） ＝ a＋b－ ab ab ＝ （ a－ b）2＋ ab ab ＝1＋ （ a－ b）2 ab ≥1，当且仅当 a＝b 时取等号． ∵ b a ＋ a b >0， a＋ b>0， ∴ b a ＋ a b ≥ a＋ b(当且仅当 a＝b 时取等号)． 法三：(平方后作差)∵ a b ＋ b a 2 ＝ a 2 b ＋ b 2 a ＋2 ab，( a＋ b) 2＝a＋b＋2 ab， ∴ a b ＋ b a 2 －( a＋ b) 2＝ （a＋b）（a－b） 2 ab
∴a>0,b>0, (a+b)(a-b) a⊥b >0,√ayb>0,故 ≥√a+Vb(当且仅当a=b时取等号) 1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤:作差→变形→定号→结论. (2)变形的方法:①因式分解;②配方:③通分:④对数与指数的运算性质:⑤分母或分 子有理化:⑥分类讨论 2.如果两实数同号,亦可采用作商法来比较大小,即作商后看商是大于1,等于1,还 是小于1. 2.已知x1,比较x-1与2x-2x的大小 [解](x3-1)-(2x2-2x) (x-1)(x2+x+1)-2x(x-1) (x-1)(x2-x+1) 因为x1,所以x-1<0 所以(x-1)(13k0 所以x-1<2x2-2x 不等式性质的应用 [探究问题 1.小明同学做题时进行如下变形: 2 又∵一6<a<8
- 5 - ∵a>0，b>0， ∴ （a＋b）（a－b） 2 ab ≥0， 又 a b ＋ b a >0， a＋ b>0，故 a b ＋ b a ≥ a＋ b(当且仅当 a＝b 时取等号)． 1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分 子有理化；⑥分类讨论． 2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于 1，等于 1，还 是小于 1. 2．已知 x0， 所以(x－1) x－ 1 2 2 ＋ 3 4 <0. 所以 x 3－1<2x 2－2x. 不等式性质的应用 [探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴ 1 3 < 1 b < 1 2 ， 又∵－6<a<8
你认为正确吗?为什么? [提示]不正确.因为不等式两边同乘以一个正数,不等号的方向不变,但同乘以一个 负数,不等号方向改变,在本题中只知道-6×K8.不明确a值的正负,故不能将与-6(8 两边分别相乘,只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘 2.由-6b>0,求证: -a c-b 思路探究:①如何证明?②由怎样得到二2(b [证明]∵cBb0,∴c-a>0,c-b>0 由 C>0 C-b>0 c-a c-h
- 6 - ∴－2a>b>0，求证： a c－a > b c－b . 思路探究：①如何证明c a a>b>0，∴c－a>0，c－b>0. 由 a>b>0⇒ 1 a 0 ⇒ c a 0 c－b>0 a>0 b>0 ⇒ a c－a > b c－b
1:(变条件,变结论)将例题中的条件“C>BDO”变为“→>D0O,bD0,所以ab0.1、 于是a×ab>bx×ab,即b由cO,得 2.(变条件,变结论)将例题中的条件“cab0”变为“已知-6b及C>d,推不出ac>bd;由a>b,推不出a>b等 (3)准确使用不等式的性质,不能出现同向不等式相减、相除的错误 1.比较两个实数的大小,只要求出它们的差就可以了 a-b>0台a>b;a-b=0台a=b;a-b<0台a<b 2.作差法比较大小的一般步骤 第一步:作差;
- 7 - 1．(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>0”变为“a>b>0，c c b . [证明] 因为 a>b>0，所以 ab>0， 1 ab >0. 于是 a× 1 ab >b× 1 ab ，即 1 b > 1 a .由 c c b . 2．(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>0”变为“已知－6b 及 c>d，推不出 ac>bd；由 a>b，推不出 a 2 >b 2等． (3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误． 1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了． a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b. 2．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；
第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”; 第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论) 最后得结论 概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键 3.不等式的性质是不等式变形的依据,每一步变形都要严格依照性质进行,并注意不等 式推导所需条件是否具备 当堂达标0固型基 DANGTANGDABIAOGUSHUANG 1.判断正误 (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.() (2)若∝b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确.() (3)若ab,则ac>bc一定成立 () (4)若a+c>b+d,则ab,c>d [答案](1)√(2)√(3)×(4) [提示](1)正确.不等式x≥2表示x2或x=2,即x不小于2 (2)正确.不等式a≤b表示ab或a=b故若ab或a=b中有一个正确,则a≤b一定正 (3)错误.由不等式的可乘性知,当不等式两端同乘以一个正数时,不等号方向不变,因 此若ab,则aC>bc不一定成立 (4)错误.取a=4,c=5,b=6,d=2.满足a+cb+d,但不满足a>b 2.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380 分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示为 少380“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,所以p380 z>45 z>45 3.若8<x10,2<K4,则一的取值范围是 (2,5)[:24,:111 ∵8x10,∴2<-5.] a+b c+d 4.若bc-ad≥0,b0.求证:bd [证明]因为bc-a≥0,所以ad≤
- 8 - 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于 0，等于 0，还是小于 0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论． 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键． 3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等 式推导所需条件是否具备． 1．判断正误 (1)不等式 x≥2 的含义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 ab，则 ac>bc 一定成立． ( ) (4)若 a＋c>b＋d，则 a>b，c>d. ( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× [提示] (1)正确．不等式 x≥2 表示 x>2 或 x＝2，即 x 不小于 2. (2)正确．不等式 a≤b 表示 ab，则 ac>bc 不一定成立． (4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足 a＋c>b＋d，但不满足 a>b. 2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化课总分 y 高于 380 分，体育成绩 z 超过 45 分，用不等式组表示为________． x≥95 y>380 z>45 [“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以 x≥95， y>380， z>45. ] 3．若 80.求证：a＋b b ≤ c＋d d . [证明] 因为 bc－ad≥0，所以 ad≤bc
因为b0,所以≤一所以+1≤-+1,所以 a+b c+d
- 9 - 因为 bd>0，所以a b ≤ c d ，所以a b ＋1≤c d ＋1，所以a＋b b ≤ c＋d d