课题:解三角形的实际应用举例 教材分析 本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课,可 以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的,因此本节课的学习具有理论联系实际的重要 作用。在本节课的教学中,用方程的思想作支撑,以具体问题具体分析作指导,引领学生认 识问题、分析问题并最终解决问题 二、教学目标 1、知识与技能 ①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解测量 的方法和意义 ②会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法, 搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系,理解各种应用问题 中的有关名词、术语(如:坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等) ①采用启发与尝试的方法,让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图,帮助学生逐步 构建知识框架 ②通过解三角形的应用的学习,提高解决实际问题的能力;通过解三角形在实际中的应用, 要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题,以及数学知识在生产、生活实际中所发 挥的重要作用 3、情感态度价值观 ①激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值 ②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 三、教学重点、难点 1、重点:①实际问题向数学问题的转化 ②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法 2、难点:实际问题向数学问题转化思路的确定 四、教学方法与手段 本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形,而正确运用两个定理的关键 是要结合图形,明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。通过问题的探究,要让学 生结合实际问题,画出相关图形,学会分析问题情景,确定合适的求解顺序,明确所用的定 理;其次,在教学中让学生分析讨论,在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路,以提高 学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。 五、教学过程 教学环节 教学过程 设计意图 遥不可及的月亮离我们地球究竞有多远?”在 古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者 的距离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?|通过引言,让学生体会 引言 我们知道,对于未知的距离、高度等,存在着许解三角形在生活中的广 多可供选择的测量方案,比如可以应用全等三角形、泛应用,激发学生对于 相似三角形的方法,或借助解直角三角形等等不同的本堂课内容的浓厚兴趣 方法,但由于在实际测量问题的真实背景下,上述方 法存在特殊性,不能完全实施。今天我们就来学习更 般的在实践中使用正弦定理和余弦定理解决实际 问题
课题：解三角形的实际应用举例 一、教材分析 本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可 以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要 作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认 识问题、分析问题并最终解决问题。 二、教学目标 1、知识与技能 ①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量 的方法和意义 ②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法， 搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题 中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等） ①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步 构建知识框架 ②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用， 要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发 挥的重要作用 3、情感态度价值观 ①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值 ②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 三、教学重点、难点 1、重点：①实际问题向数学问题的转化 ②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法 2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 四、教学方法与手段 本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键 是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。通过问题的探究，要让学 生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定 理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高 学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。 五、教学过程 教学环节 教学过程 设计意图 引言 “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远？”在 古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者 的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ 我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许 多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、 相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的 方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，上述方 法存在特殊性，不能完全实施。今天我们就来学习更 一般的在实践中使用正弦定理和余弦定理解决实际 问题。 通过引言，让学生体会 解三角形在生活中的广 泛应用，激发学生对于 本堂课内容的浓厚兴趣
例题讲解 例1、如图所示,设A、B两点在河的两岸,要 测量两点之间的距离,测量 者在A的同侧,在所在的河 岸边选定一点C,测出AC 的距离是55m,∠BAC=51° ∠ACB=75°。求A、B两点 的距离(精确到0.1m) 启发式教学 启发提问1:AABC中,根据已知的边和对应角,运 用哪个定理比较适当? 启发提问2:运用该定理解题还需要那些边和角呢? 请学生回答。 分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不 可到达的点之间的距离的问题,题目条件告诉了边 AB的对角,AC为已知边,再根据三角形的内角和定 理很容易根据两个已知角算出AC的对角,应用正弦 定理算出AB边 解:根据正弦定理,得 ∠ ACB sin∠ABC Csm∠ ABC sin(180°-51°-75°) 555n7°≈6 答:A、B两点间的距离为65.7米 变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等老师引导学生画图解 题。体会数学建模的思 于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30°,灯塔B在想方法 基于例颗观察站C南偏东60°,则A、B之间的距离为多少? 变式讲解 例2、如图,A、B 两点都在河的对岸(不-- 对于例1的变式练习 可到达),设计一种测 变式教学,使得课堂延 量A、B两点间距离的 D 展性增强 解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a 并且在C、D两点分别测得 ∠BCA=a,∠ACD=B,∠CDB=y,∠BDA=δ, 在ΔADC和△BDC中,应用正弦定理得 AC= in(y+o y+) sin[ 180-(B+y+8 sin(B+y+8
例题讲解 基于例题 变式讲解 例 1、如图所示，设 A、B 两点在河的两岸，要 测量两点之间的距离，测量 者在 A 的同侧，在所在的河 岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m， BAC= 51， ACB= 75 。求 A、B 两点 的距离(精确到 0.1m) 启发提问 1： ABC 中，根据已知的边和对应角，运 用哪个定理比较适当？ 启发提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？ 请学生回答。 分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不 可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边 AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定 理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角，应用正弦 定理算出 AB 边。 解：根据正弦定理，得 ACB AB sin = ABC AC sin AB= ABC AC ACB sin sin = ABC ACB sin 55sin = sin(180 51 75 ) 55sin 75 − − = sin 54 55sin 75 ≈ 65.7(m) 答:A、B 两点间的距离为 65.7 米 变式练习：两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等 于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ，灯塔 B 在 观察站 C 南偏东 60 ，则 A、B 之间的距离为多少？ 解略： 2 a km 例 2、如图，A、B 两点都在河的对岸（不 可到达），设计一种测 量 A、B 两点间距离的 方法。 解：测量者可以在河岸边选定两点 C、D，测得 CD=a， 并且在 C、D 两点分别测得 BCA= ， ACD= ， CDB= ， BDA = ， 在 ADC 和 BDC 中，应用正弦定理得 AC= sin[180 ( )] sin( ) − + + a + = sin( ) sin( ) + + a + 启发式教学 老师引导学生画图解 题。体会数学建模的思 想方法。 对于例 1 的变式练习 变式教学，使得课堂延 展性增强 A C B γ δ β α A B D C
BC= asin y n[1800-(a+B+n sin(a+B+n) 计算出AC和BC后,再在△ABC中,应用余弦定在研究三角形时,灵活 理计算出AB两点间的距离 根据两个定理可以寻找 AB=√AC2+BC 到多种解决问题的方 C a 案,但有些过程较繁复 分组讨论:还没有其它的方法?师生一起对不同方法如何找到最优的方法 进行对比、分析 最主要的还是分析两个 变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两点,测定理的特点,结合题目 条件来选择最佳的计算 得∠BCA=60,∠ACD=30,∠CDB=45,∠BDA=60 略解:将题中各已知量代入例2推出的公式, 得AB=20√6 例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑 物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法 仍然是距离问题,由测 量长度变为测量高度, 让学生感受不同类型的 正_ 问题 分析:求AB长的关键是先求AE,在△ACE中,如能 求出C点到建筑物顶部A的距离CA,再测出由C点 观察A的仰角,就可以计算出AE的长。 解:选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同 条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角 分别是a、B,CD=a,测角仪器的高是h,那么, 在△ACD中,根据正弦定理可得 AC asin B AB AE + h AC sin a+ h asin asp +h B) 例4、如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75的方 向航行67.5nmle后到达海岛B,然后从B出发,沿解三角形在航海问题中 的应用 北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样 的方向航行,需要航行多少距离?
BC= sin[180 ( )] sin − + + a = sin( ) sin + + a 计算出 AC 和 BC 后，再在 ABC 中，应用余弦定 理计算出 AB 两点间的距离 AB= 2 cos 2 2 AC + BC − AC BC 分组讨论：还没有其它的方法？师生一起对不同方法 进行对比、分析。 变式训练：若在河岸选取相距 40 米的 C、D 两点，测 得 BCA=60 ， ACD=30 ， CDB=45 ， BDA =60 略解：将题中各已知量代入例 2 推出的公式， 得 AB=20 6 例 3、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。 分析：求 AB 长的关键是先求 AE，在 ACE 中，如能 求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由 C 点 观察 A 的仰角，就可以计算出 AE 的长。 解：选择一条水平基线 HG，使 H、G、B 三点在同一 条直线上。由在 H、G 两点用测角仪器测得 A 的仰角 分别是 、 ，CD = a，测角仪器的高是 h，那么， 在 ACD 中，根据正弦定理可得 AC = sin( ) sin − a AB = AE + h = AC sin + h = sin( ) sin sin − a + h 例 4、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方 向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿 北偏东 32 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C. 如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样 的方向航行,需要航行多少距离? 在研究三角形时，灵活 根据两个定理可以寻找 到多种解决问题的方 案，但有些过程较繁复， 如何找到最优的方法， 最主要的还是分析两个 定理的特点，结合题目 条件来选择最佳的计算 方式。 仍然是距离问题，由测 量长度变为测量高度， 让学生感受不同类型的 问题。 解三角形在航海问题中 的应用 β α H B A D E G C
(角度精确到0.1,距离精确到0.0 In mile) 分析:首先根据三角形的 内角和定理求出AC边所对 的角∠ABC,即可用余弦定 理算出AC边,再根据正弦 定理算出AC边和AB边的 夹角∠CAB 解:在△ABC中,∠ABC=180°-75°+32°=137 根据余弦定理, AC=√AB2+BC2-2 AB x BC x cOs∠ABC 67.52+5402-2×675×540×c0s137 ≈113.15 根据正弦定理, n∠ABC sin∠CAB=BCsm∠4BC 54.0sn137 113.15 实际问题中需要掌握 ≈0.3255, 近似估计、运算 所以∠CAB=19.0 75-∠CAB=56.0 答:此船应该沿北偏东56.1°的方向航行,需要 航行113.15 n mile 练习:(对例3的变式) 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为O,沿 例题变式BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰角为26, 再继续前进10√3m至D点,测得顶端A的仰角为40 通过变式,让学生体会 求b的大小和建筑物AE的高。 该数学模型的在不同问 A 题中的应用 e e
例题变式 (角度精确到 0.1 ,距离精确到 0.01n mile) 分析：首先根据三角形的 内角和定理求出 AC 边所对 的角 ABC，即可用余弦定 理算出 AC 边，再根据正弦 定理算出 AC 边和 AB 边的 夹角 CAB。 解：在 ABC 中， ABC=180 - 75 + 32 =137 ， 根据余弦定理， AC= AB + BC − 2AB BC cosABC 2 2 = 67.5 + 54.0 − 2 67.5 54.0 cos137 2 2 ≈113.15 根据正弦定理, CAB BC sin = ABC AC sin sin CAB = AC BCsin ABC = 113.15 54.0sin137 ≈0.3255, 所以 CAB =19.0 75 - CAB =56.0 答:此船应该沿北偏东 56.1 的方向航行,需要 航行 113.15n mile 练习：（对例 3 的变式） 在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2 ， 再继续前进10 3 m至D点，测得顶端A的仰角为4 ， 求 的大小和建筑物 AE 的高。 实际问题中需要掌握 近似估计、运算 通过变式，让学生体会 该数学模型的在不同问 题中的应用 A B C
解法一:(用正弦定理求解)由已知可得在△ACD中, AC=BC=30,AD=DC=10√3,∠ADC=180°-40 因为sin40=2sin2cos20 √3 ,得20=30 6=15 在Rt△ADE中,AE= ADsi60°=15 答:所求角θ为15°,建筑物高度为15m 解法二:(设方程来求解)设DE=x,AE=h 在Rt△ACE中,(10√3+x)2+h2=302 在Rt△ADE中,x2+h2=(10√3)2 一题多解、挑战思维 两式相减,得x=5√3,h=15 提升学生专研数学的兴 在Rt△ACE中,tan20 3 20=30,6=15 答:所求角为15°,建筑物高度为15m 解法三:(用倍角公式求解)设建筑物高为AE=8,由 意,得 ∠BAC= ∠CAD=20, AC= BC =30m, AD= CD =10 3 m 在 Rt AaCe中,sin26= 在Rt△ADE中,sin40 103 ②÷①得cos20= 20=30,6=15,AE= ADsi60=15 答:所求角O为15,建筑物高度为15m
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在 ACD 中， AC=BC=30， AD=DC=10 3 ， ADC =180 -4 sin 2 10 3 = sin(180 4 ) 30 − 因为 sin4 =2sin2 cos2 cos2 = 2 3 , 得 2 =30 =15 在 Rt ADE 中，AE=ADsin60 =15 答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m 解法二：（设方程来求解）设 DE= x，AE=h 在 Rt ACE 中,(10 3 + x) 2 + h 2 =30 2 在 Rt ADE 中,x 2 +h 2 =(10 3 ) 2 两式相减，得 x=5 3 ,h=15 在 Rt ACE 中,tan2 = x h 10 3 + = 3 3 2 =30 , =15 答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m 解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为 AE=8，由 题意，得 BAC= ， CAD=2 ， AC = BC =30m , AD = CD =10 3 m 在 Rt ACE 中，sin2 = 30 x ① 在 Rt ADE 中，sin4 = 10 3 4 , ② ② ① 得 cos2 = 2 3 , 2 =30 , =15 ，AE=ADsin60 =15 答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m 一题多解、挑战思维 提升学生专研数学的兴 趣
(采用提问形式,学生阐述,老师适当补充 1、解斜三角形应用题的一般步骤 ①分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图培养学生学习的主动性 ②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解和学后反思的习惯及归 量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形纳总结的能力 的数学模型 ③求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角 形,求得数学模型的解 课堂小结④检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而 得出实际问题的解 2、利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题 及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进 行加工、抽取主要因素,进行适当的简化 3、解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况: ①已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利 用正弦定理或余弦定理解之; ②已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要 先择条件足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三 角形中求出问题的解。 六、课后作业 1、必做题:①自学课本第三节中的4个例子,写出你的解题步骤 ②课本习题2-3A组第2、4题 2、选做题:课本习题2-3B组第1、2题 七、教学反思 本节课,我是一些实例来探索关于解三角形在实际应用中的思维方法,具体解三角形时, 所选例题突出了数学建模的思想及函数与方程的思想,将正弦定理、余弦定理视作方程或方 程组,处理已知量与未知量之间的关系
课堂小结 （采用提问形式，学生阐述，老师适当补充） 1、解斜三角形应用题的一般步骤： ①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解 量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形 的数学模型 ③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角 形，求得数学模型的解 ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而 得出实际问题的解 2、利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题 及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进 行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。 3、解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况： ①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利 用正弦定理或余弦定理解之； ②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要 选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三 角形中求出问题的解。 培养学生学习的主动性 和学后反思的习惯及归 纳总结的能力。 六、课后作业 1、必做题：①自学课本第三节中的 4 个例子，写出你的解题步骤 ②课本习题 2-3 A 组 第 2、4 题 2、选做题： 课本习题 2-3 B 组 第 1、2 题 七、教学反思 本节课，我是一些实例来探索关于解三角形在实际应用中的思维方法，具体解三角形时， 所选例题突出了数学建模的思想及函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方 程组，处理已知量与未知量之间的关系