1.2应用举例 选择题:本题共8个小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.【题文】已知A,B两地的距离为5km,B,C两地的距离为10km,经测量可知 ∠ABC=120°,则A,C两地的距离为() A. 5 kI 5 7√5 D.5√7km 2.【题文】如图,一艘轮船以每小时60海里的速度自A沿南偏东35°的方向直线航行,30 分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,轮船在A处观察灯塔,其方向是南偏东65°,在B 处观察灯塔,其方向是北偏东70°,那么B,C间的距离是() A.152海里B.15√3海里c.30√3海里D.302海里 3.【题文】为了测量一建筑物的高度,某人在地面上选取共线的三点A,BC,分别测得此 建筑物的仰角为30°,45°,60°,且ABBC=30m,如图所示,则建筑物的高度为( 5√6m √6r √6 6 4.【题文】如图,巡航艇在海上以60km/h的速度沿南偏东40°的方向航行.为了确定巡 航艇的位置,巡航艇在B处观测灯塔A,其方向是南偏东70°,航行-h到达C处,观测灯 塔A的方向是北偏东65°,则巡航艇到达C处时,与灯塔A的距离是(
1 1.2 应用举例 一、选择题：本题共 8 个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【题文】已知 A，B 两地的距离为 5 km，B，C 两地的距离为 10 km，经测量可知， = ABC 120 ，则 A，C 两地的距离为 ( ) A. 5 km B. 5 5 km C. 7 5 km D. 5 7 km 2.【题文】如图，一艘轮船以每小时 60 海里的速度自 A 沿南偏东 35 的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，轮船在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 65 ，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 70 ，那么 B，C 间的距离是( ) A. 15 2 海里 B. 15 3 海里 C. 30 3 海里 D. 30 2 海里 3.【题文】为了测量一建筑物的高度，某人在地面上选取共线的三点 A，B，C，分别测得此 建筑物的仰角为 30， 45， 60 ，且 AB=BC=30 m，如图所示，则建筑物的高度为( ) A. 5 6 m B. 10 6 m C. 15 6 m D. 20 6 m 4.【题文】如图，巡航艇在海上以 60 km / h 的速度沿南偏东 40 的方向航行．为了确定巡 航艇的位置，巡航艇在 B 处观测灯塔 A，其方向是南偏东 70 ，航行 1 h 2 到达 C 处，观测灯 塔 A 的方向是北偏东 65 ，则巡航艇到达 C 处时，与灯塔 A 的距离是( )
C A. 10 km 10,2 km C.15 km 15√2km 5.【题文】如图所示,在一条水平直线上选取三点A,B,C进行测量,测得AB=25m,BC=60 m,水深A=40m,BE100m,CF=55m,则∠DEF的余弦值为() 100 16 6.【题文】一架直升飞机在600m的高空中,测得地面上一座塔的塔顶与塔底的俯角分别是 30°和60°,则塔高为() A.400m B.400 C.200√3m D.200m 【题文】若锐角△ABC的面积为6√3,且AB=4,AC=6,则BC=() √6 8.【题文】△ABC的三内角AB,C所对边的长分别是abc,若SinB-sinA_√5a+c a+b 则角B的大小为( 6 2
2 A. 10 km B. 10 2 km C. 15 km D. 15 2 km 5.【题文】如图所示，在一条水平直线上选取三点 A，B，C 进行测量，测得 AB=25 m，BC=60 m，水深 AD=40 m，BE=100 m，CF=55 m，则 DEF 的余弦值为 ( ) A. 16 65 B. 19 65 C. 16 57 D. 17 57 6.【题文】一架直升飞机在 600 m 的高空中，测得地面上一座塔的塔顶与塔底的俯角分别是 30 和 60 ，则塔高为 ( ) A. 400 m B. 400 3 m C. 200 3 m D. 200 m 7．【题文】若锐角△ABC 的面积为 6 3 ，且 AB AC = = 4, 6 ，则 BC = （ ） A． 4 B． 2 5 C． 2 6 D．2 7 8．【题文】△ABC 的三内角 A B C , , 所对边的长分别是 a,b, c ，若 sin sin 3 sin B A a c C a b − + = + ， 则角 B 的大小为（ ） A． π 6 B． 5π 6 C． π 3 D． 2π 3
填空题:本题共3小题 9.【题文】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=√5,b=3,sinC= 2sinA,则△ABC的面积为 10.【题文】两船同时从A港出发,甲船以每小时20海里的速度向北偏东80°的方向航行, 乙船以每小时12海里的速度向北偏西40°方向航行,一小时后,两船相距 海里 11.【题文】如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了瞄准目标点P,需 计算由点A观察点P的仰角b的大小.若AB=12m,AC=20m,∠BCM=45°,则 tanO的最大值是 (仰角O为AP与平面ABC所成角) 、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 12.【题文】如图所示,在山顶上有一座塔,在山底测得塔顶的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角 为30°的斜坡走1000米至S点,又测得塔顶的仰角∠DSB=75°,求塔高B 13.【题文】如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距18海里, 渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北 偏东的方向追赶渔船乙,刚好用2h追上,此时到达C处
3 二、填空题：本题共 3 小题. 9．【题文】在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝ 5 ，b＝3，sin C＝ 2sin A，则△ ABC 的面积为 ． 10.【题文】两船同时从 A 港出发，甲船以每小时 20 海里的速度向北偏东 80 的方向航行， 乙船以每小时 12 海里的速度向北偏西 40 方向航行，一小时后，两船相距 海里． 11.【题文】如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练．已知点 A 到墙面的距离为 AB ，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了瞄准目标点 P ，需 计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小．若 AB =12 m ， AC = 20 m ， = BCM 45 ，则 tan 的最大值是 ．（仰角 为 AP 与平面 ABC 所成角） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 12.【题文】如图所示，在山顶上有一座塔，在山底测得塔顶的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角 为 30°的斜坡走 1 000 米至 S 点，又测得塔顶的仰角∠DSB＝75°，求塔高 BD. 13.【题文】如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 18 海里， 渔船乙以 15 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北 偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 h 追上，此时到达 C 处．
北 东 南 (1)求渔船甲的速度: (2)求sina的值 14.【题文】在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为abc,且(-b)2-c2 Bab (1)求角C (2)若c=√3,b=√2,求B及△ABC的面积
4 （1）求渔船甲的速度； （2）求 sin 的值． 14．【题文】在△ ABC 中，内角 A 、 B 、C 的对边分别为 abc , , ，且 ( ) 2 2 1 3 a b c ab − − = − . （1）求角 C ； （2）若 c b = = 3, 2 ，求 B 及△ ABC 的面积
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人教A版数学必修五第一章1.2应用举例 参考答案与解析 1.【答案】D 【解析】在△ABC中,AB5km,BC10km,∠ABC=120°,根据余弦定理得, AC2=52+102-2×5×10×cos120°→AC=5√7km.故选D 考点:利用余弦定理测量距离 【题型】选择题 【难度】较易 2.【答案】A 【解析】易知在△ABC中,AB=30海里, ∠CAB=30°,∠ABC=35°+70°=105°.∠ACB=45°, 根据正弦定理得BCAB ,解得BC=15√2(海里) sin30°sin45° 考点:利用正弦定理测量距离 【题型】选择题 【难度】较易 3.【答案】C 【解析】设建筑物的高度为hm,由题图知,PA=2hm,PB=√2hm,PC=hm 所以在△PBA和中△PBC中,分别由余弦定理的推论,得
6 人教 A 版数学 必修五 第一章 1.2 应用举例 参考答案与解析 1. 【答案】D 【解析】在△ ABC 中，AB=5 km，BC=10km， = ABC 120 ，根据余弦定理得， 2 2 2 o AC AC = + − = 5 10 2 5 10 cos 120 5 7 km .故选 D. 考点：利用余弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】A 【解析】易知在△ ABC 中， AB=30 海里， = + = = CAB ABC ACB =30 35 70 105 , 45 ， ， 根据正弦定理得 = sin 30 sin 45 BC AB ，解得 BC =15 2 （海里）. 考点：利用正弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】C 【解析】设建筑物的高度为 h m ，由题图知， PA h = 2 m , PB h = 2 m ， 2 3 m 3 PC h = , 所以在△ PBA 和中△ PBC 中，分别由余弦定理的推论，得
cO∠B小302+2h-4h2 302+2h2--h2 ①,cos∠PBC= 2×30×√2h 2×30×2②,因为 ∠PBA+∠PBC=180,所以cos∠PBA+cos∠PBC=0③.由①②③,解得 h=156或h=-15√6(舍去),即建筑物的高度为30√6m 考点:利用余弦定理测量高度 【题型】选择题 【难度】一般 4.【答案】D 【解析】在△ABC中,BC=60×=30(km),∠ABC=70°-40°=30 2 ∠ACB=400+65°=105°,则A=180°-(300+105°)=45°,由正弦定理,得 AC=15√2(km) 考点:利用正弦定理测量距离 【题型】选择题 【难度】一般 5.【答案】A 【解析】如图所示,作DM∥AC交BE于N,交CF于M DF=√M2+DM2=Ⅵ52+852=5√298(m DE=√DN2+EN2=√252+6032=65(m)
7 2 2 2 30 2 4 cos = 2 30 2 h h PBA h + − ①， 2 2 2 4 30 2 3 cos = 2 30 2 h h PBC h + − ②，因为 PBA PBC 180 + = ，所以 cos cos =0 + PBA PBC ③.由①②③，解得 h h = = − 15 6 15 6 或 （舍去），即建筑物的高度为 30 6 m . 考点：利用余弦定理测量高度. 【题型】选择题 【难度】一般 4. 【答案】D 【解析】在△ ABC 中， ( ) 1 =60 =30 km 2 BC ， o o o − ABC=70 40 =30 ， + ACB=40 65 =105 ，则 A=180 30 105 =45 − + ( ) ，由正弦定理，得 AC=15 2 km( ). 考点：利用正弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】 A 【解析】 如图所示，作 DM ∥ AC 交 BE 于 N ，交 CF 于 M . ( ) 2 2 2 2 DF MF DM = + = + = 15 85 5 298 m ， ( ) 2 2 2 2 DE DN EN = + = + = 25 60 65 m
EF=√(BE-FC)+BC=√4s+60=7(m) 在△DEF中,根据余弦定理的推论得, DE2+EF2-DF2652+752-52×29816 cos∠DEF 2 DE XEF 2×65×75 考点:利用余弦定理测量角度 【题型】选择题 【难度】一般 6.【答案】A 【解析】如图所示 A E 在Rt△ACD中可得tan30°CD CD=AC.tan30°=600× 200√3=BE, 在△ABE中,由正弦定理,4B BE sin30°sin600AB=200, DE=BC=600-200=40(m) 考点:利用正弦定理测量高度 【题型】选择题 【难度】较易 7.【答案】D 解析】三角形面积S=1AB,求CsmA=146mA=65:smA=5,由于
8 ( ) ( ) 2 2 2 2 EF BE FC BC = − + = + = 45 60 75 m ， 在△ DEF 中，根据余弦定理的推论得， 2 2 2 2 2 2 65 75 5 298 16 cos = = 2 2 65 75 65 DE EF DF DEF DE EF + − + − = . 考点：利用余弦定理测量角度. 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】A 【解析】如图所示： 在 Rt△ACD 中可得 tan 30 CD AC = ， 3 tan 30 600 200 3 3 CD AC BE = = = = , 在△ABE 中，由正弦定理， o o =200 sin 30 sin 60 AB BE = AB ， ∴ DE BC = = − = 600 200 400 m( ) . 考点：利用正弦定理测量高度. 【题型】选择题 【难度】较易 7. 【答案】D 【解析】三角形面积 1 1 3 sin 4 6sin 6 3, sin 2 2 2 S AB AC A A A = = = = ,由于
△ABC为锐角三角形,所以cosA=-,由余弦定理可求得 BC=√AB+AC2-2AB, AC COS A=2√7,故选D 考点:三角形面积公式的应用 【题型】选择题 【难度】一般 8.【答案】B sinB-sinA√3 【解析】 a+c in C a+b a+b→ →cosB ,0<B<π,;B、5n ,故选B. 2ac 2 考点:正、余弦定理综合 【题型】选择题 【难度】一般 9.【答案】3 【解析】由正弦定理得c=2a=25,由余弦定理得cosB=5+20-94,因此 √×2√ sinB=3,S= actin B=×√5×25×2=3 考点:正、余弦定理及三角形面积公式的应用 【题型】填空题 【难度】一般 10.【答案】28 【解析】如图,△ABC中,AB=20,AC=12,∠CAB=40°+80°=120°, 由余弦定理得BC2=202+122-2×20×12·cos120°=784,∴BC=28(海里)
9 △ABC 为锐角三角形，所以 1 cos 2 A = ，由余弦定理可求得 2 2 BC AB AC AB AC A = + − = 2 cos 2 7 ，故选 D. 考点：三角形面积公式的应用. 【题型】选择题 【难度】一般 8. 【答案】B 【解析】 sin sin 3 3 2 2 2 3 sin B A a c b a a c c a b ac C a b c a b − + − + = = + − = − + + 2 2 2 3 5π cos 0 π 2 2 6 c a b B B B ac + − = = − = ， ， ，故选 B. 考点：正、余弦定理综合. 【题型】选择题 【难度】一般 9. 【答案】3 【解析】由正弦定理得 c a = = 2 2 5 ，由余弦定理得 5 20 9 4 cos 2 5 2 5 5 B + − = = ，因此 3 1 1 3 sin , sin 5 2 5 3. 5 2 2 5 B S ac B = = = = 考点：正、余弦定理及三角形面积公式的应用. 【题型】填空题 【难度】一般 10. 【答案】28 【解析】如图，△ABC 中， AB AC CAB = = = + = 20 12 40 80 120 ， ， ， 由余弦定理得 2 2 2 BC = + − = 20 12 2 20 12 cos 120 784 ，∴ BC = 28 （海里）
北1 东 考点:利用余弦定理测量距离 【题型】填空题 【难度】一般 11.【答案】 3 【解析】如图,过P作PO⊥BC于点O,连接AO,则∠PAO=0,设OC=x,则OP=x, 在直角△ABC中,由勾股定理,得B=16,所以C∠BCA=4.在△AC中,由余弦定理, 得AO=400x2-2×20x×9=√2-32x+40 从而 tan_OP AO √x2 204 ,即x=25时,tanO取得最大值,为 /0 x 考点:利用余弦定理测量角度 【题型】填空题 【难度】一般 12.【答案】500米 【解析】∵∠SAB=∠CAB-∠CAS=45°-30°=15°
10 考点：利用余弦定理测量距离. 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】 5 3 【解析】如图，过 P 作 PO BC ⊥ 于点 O ，连接 AO，则 = PAO ，设 OC x = ，则 OP x = ， 在直角△ABC 中，由勾股定理，得 BC=16，所以 4 cos 5 = BCA .在△AOC 中，由余弦定理， 得 2 2 4 400 2 20 32 400 5 AO x x x x = + − = − + ， 从而 2 2 1 tan 32 400 20 4 9 5 25 OP x AO x x x = = = − + − + ， 当 20 4 x 5 = ，即 x = 25 时， tan 取得最大值，为 5 3 . 考点：利用余弦定理测量角度. 【题型】填空题 【难度】一般 12. 【答案】500 米 【解析】∵∠SAB＝∠CAB−∠CAS＝45°−30°＝15°