正弦定理、余弦定理(1) 教学目的: (1)使学生掌握正弦定理 (2)能应用解斜三角形,解决实际问题。 教学重点:正弦定理 教学难点:正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程 引言:在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,可以由已知 的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办? 提出课题:正弦定理、余弦定理 二、讲解新课: 正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 2R(R为△ABC外接圆半径) sin a sinb sin c 1.直角三角形中:simA=a,sin=b,sinc=1 sin a sin a sin b sin c 2.斜三角形中 证明一:(等积法)在任意斜△ABC当中 b 两边同除以abc即得: sin a sin b sin C a 证明二:(外接圆法) 如图所示,∠A=∠D B CD=2R sin a sin d D 同理 sin B 证明三:(向量法) 过A作单位向量j垂直于AC 由AC+CB=AB 用心爱心专心
用心 爱心 专心 1 正弦定理、余弦定理（1） 教学目的： ⑴使学生掌握正弦定理 ⑵能应用解斜三角形，解决实际问题 奎屯 王新敞 新疆 教学重点：正弦定理 教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知 的边和角求出未知的边和角 奎屯 王新敞 新疆 那么斜三角形怎么办？ ——提出课题：正弦定理、余弦定理 二、讲解新课： 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a sin = B b sin = C c sin =2R（R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA= c a ，sinB= c b ， sinC=1 即 c= A a sin ， c= B b sin ， c= C c sin ． ∴ A a sin = B b sin = C c sin 2．斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S△ABC= ab C ac B bc sin A 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = 两边同除以 abc 2 1 即得： A a sin = B b sin = C c sin 证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴ CD R D a A a 2 sin sin = = = 同理 B b sin =2R， C c sin ＝2R 证明三：（向量法） 过 A 作单位向量 j 垂直于 AC 由 AC + CB= AB a b c O B C A D
两边同乘以单位向量得j·(AC+CB)=j·AB 则j·AC+j·CB=j·AB j|· AC cos90+|j|·| CB cos(90-O)=|j|·AB|cos(90°- sin a sin c 同理,若过C作j垂直于CB得: b sinC sin B sin a sin b sin c 正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题 1.两角和任意一边,求其它两边和一角 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。(见图示)已知a,b 和A,用正弦定理求B时的各种情况 (1)若A为锐角时 ab一觚(锐角) 、讲解范例 例1已知在△ABC中,c=10,A=450,C=30,求a,b和B 解: 10.A B=180-(A+C)=105° 由 C得a=cmA10×sin453=102 用心爱心专心
用心 爱心 专心 2 两边同乘以单位向量 j 得 j •( AC + CB )= j • AB 则 j • AC + j •CB= j • AB ∴| j |•| AC |cos90+| j |•| CB |cos(90−C)=| j |•| AB |cos(90−A) ∴ a sin C = c sin A ∴ A a sin = C c sin 同理，若过 C 作 j 垂直于 CB 得： C c sin = B b sin ∴ A a sin = B b sin = C c sin 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 奎屯 王新敞 新疆 （见图示）已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况: ⑴若 A 为锐角时: = a b ( ) bsinA a b ( , ) a bsinA ( ) sin 一解 锐角 二解 一锐 一钝 一解 直角 a b A 无解 b a b a b a b a a 已知边a,b和A 有两个解 仅有一个解 无 解 仅有一个解 ab a<CH=bsinA a=CH=bsinA CH=bsinA<a<b A C B A C B1 A B A C B2 C H H H ⑵若 A 为直角或钝角时: a b ( ) 一解 锐角 a b 无解 三、讲解范例： 例 1 已知在 ABC中，c 10, A 45 ,C 30 ,求a,b和B 0 0 = = = 解： 0 0 c =10, A = 45 ,C = 30 ∴ 0 0 B =180 − (A+C) =105 由 C c A a sin sin = 得 10 2 sin 30 10 sin 45 sin sin 0 0 = = = C c A a
b=csnB_10×sn1050 sn30° 例2在△ABC中,b=√3,B=60°,c=1,求a和AC C:csn B1×sn60 B √3 b>c,B=60C<B,C为锐角,C=30°,B=90° 2 例3△ABC中,c=√6,A=45a=2,求b和BC 6×sn45 0 解 A ,. C- cs A 2 csnA<a<c,:C=600或l 当C=60°时,B=75°,b= csiB√6sn750 o=√3+1, 当C=120时,B=150b=csiB_√6sm150 sin c sin60° b=√3+1,B=750,C=60°或b=√3-1,B=150,C=120° 例4已知△ABC,BD为B的平分线,求证:AB:BC=AD:DC 分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而B的平分线BD将△ ABC分成了两个三角形:△ABD与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式:AB:AD =BC:DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比 故可利用正弦定理将所证继续转化为 AB AD BO DC 再根据 sin abd sin aBd sin bdc sin DBC 相等角正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结论 证明:在△ABD内,利用正弦定理得 AB Ad Ab sin ADB in A db sin abd ad sin ABD 在△BC内,利用正弦定理得: BC DC mn BC sin BDC BDC sin DBC BD是B的平分线。 ∴∠ABD=∠DBC∴ sinAl= sinDACo 用心爱心专心
用心 爱心 专心 3 由 C c B b sin sin = 得 5 6 5 2 4 6 2 20sin 75 20 sin 30 10 sin 105 sin sin 0 0 0 = + + = = = = C c B b 例 2 在 ABC b 3,B 60 ,c 1, a A,C 中， = = 0 = 求 和 解：∵ 2 1 3 sin 1 sin 60 , sin sin sin 0 = = = = b c B C C c B b 0 0 0 b c,B = 60 ,C B,C为锐角，C = 30 ,B = 90 ∴ 2 2 2 a = b + c = 例 3 ABC c 6, A 45 ,a 2, b B,C 中， = = 0 = 求 和 解： 2 3 2 sin 6 sin 45 , sin sin sin 0 = = = = a c A C C c A a 0 0 csin A a c,C = 60 或120 3 1 sin 60 6 sin 75 sin sin 60 75 , 0 0 0 0 = = = = = + C c B 当C 时，B b ， 3 1 sin 60 6 sin 15 sin sin 120 15 , 0 0 0 0 = = = = = − C c B 当C 时，B b b = 3 +1,B = 750 ,C = 600或 0 0 b = 3 −1, B = 15 ,C = 120 例 4 已知△ABC，BＤ为 B 的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而 B 的平分线 BD 将△ ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD ＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比， 故可利用正弦定理将所证继续转化为 DBC DC BDC BC ABD AD ABD AB sin sin , sin sin = = ，再根据 相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论 奎屯 王新敞 新疆 证明：在△ABD 内，利用正弦定理得： ABD ADB AD AB ABD AD ADB AB sin sin sin sin = 即 = 在△BCD 内，利用正弦定理得： . sin sin , sin sin DBC BDC DC BC DBC DC BDC BC = 即 = ∵BD 是 B 的平分线 奎屯 王新敞 新疆 ∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC 奎屯 王新敞 新疆
∠ADB+∠BDC=180° sinAD=sin(180°-∠BDC)= sinBO AB ADb sin BDC BC sin abd sin DBc cd Ab AD 评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的 正弦值相等这一特殊关系式的应用。 四、课堂练习 1在△ABC中, =k,则k为() sin a sinb sin C AR C4R D.-R(为△ABC外接圆半径) 2。△ABC中,sin2sin2Bsin2C,则△ABC为() A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形 3在△ABC中,sinA>sinB是A>B的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 COS 2A COS 2B 4在△ABC中,求证 b 参考答案:1,2A a b sin a sin B sin a sin B A B 2B S COS 2A COS2B 五、小结正弦定理,两种应用 六、课后作业: 1在△ABC中,已知 in A sin( A-B) ,求证:a,b,c2成等差数列。 C sin( B-C) 证明:由已知得sin(B+C)sin(B-O)=sin(A+B)·sin(AB) 2cos2B=cos2A-+cos2C 2B1 2A1 2B 2 ∴2sin2B=sin2A+sin2C 由正弦定理可得2b=a+c2 即a,b,c2成等差数列 七、板书设计(略) 八、课后记 用心爱心专心
用心 爱心 专心 4 ∵∠ADB＋∠BDC＝180° ∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC ∴ CD BC DBC BDC ABD ADB AD AB = = = sin sin sin sin ∴ DC AD BC AB = 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的 正弦值相等这一特殊关系式的应用 奎屯 王新敞 新疆 四、课堂练习： 1 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中， k C c B b A a = = = sin sin sin ,则 k 为( ) A 奎屯 王新敞 新疆 2R B 奎屯 王新敞 新疆 R C 奎屯 王新敞 新疆 4R D 奎屯 王新敞 新疆 R 2 1 (R 为△ABC 外接圆半径) 2 奎屯 王新敞 新疆 △ABC 中，sin2 A=sin2 B+sin2 C，则△ABC 为( ) A 奎屯 王新敞 新疆 直角三角形 B 奎屯 王新敞 新疆 等腰直角三角形 C 奎屯 王新敞 新疆 等边三角形 D 奎屯 王新敞 新疆 等腰三角形 3 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中，sinA＞sinB 是 A＞B 的 A 奎屯 王新敞 新疆 充分不必要条件 B 奎屯 王新敞 新疆 必要不充分条件 C 奎屯 王新敞 新疆 充要条件 D 奎屯 王新敞 新疆 既不充分也不必要条件 4 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中，求证： 2 2 2 2 cos 2 cos 2 1 1 b a b B a A − = − 参考答案：1 奎屯 王新敞 新疆 A，2 奎屯 王新敞 新疆 A 3 奎屯 王新敞 新疆 C 4 奎屯 王新敞 新疆 B b A a sin sin = b B a sin A sin = 2 2 ) sin ) ( sin ( b B a A = 2 2 2 2 sin sin b B a A = 2 2 1 cos 2 1 cos 2 b B a A − = − 2 2 2 2 cos 2 cos 2 1 1 b a b B a A − = − 五、小结 正弦定理，两种应用 六、课后作业： 1 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中，已知 sin( ) sin( ) sin sin B C A B C A − − = ，求证：a 2，b 2，c 2 成等差数列 奎屯 王新敞 新疆 证明：由已知得 sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B） cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B 2cos2B＝cos2A＋cos2C 2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 B A − B + − = − ∴2sin2 B＝sin2 A＋sin2 C 由正弦定理可得 2b 2＝a 2＋c 2 即 a 2，b 2，c 2 成等差数列 奎屯 王新敞 新疆 七、板书设计（略） 八、课后记：
课题:正弦定理、余弦定理(2) 教学目的: 1.掌握正弦定理、余弦定理; 2.使学生能初步运用它们解斜三角形,并会解决斜三角形的计算问题 教学重点:正弦定理、余弦定理的运用 教学难点:正弦定理、余弦定理的灵活运用 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程 复习引入: 1正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即=s们B 2R(R为△ABC外接圆半径) 2正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题: 1.两角和任意一边,求其它两边和一角; 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。(见图示)已知a,b 和A,用正弦定理求B时的各种情况 ab一解(锐角) 3.在Rt△ABC中(若C=909)有:c2=a2+b2在斜三角形中一边的平方与其余两边平方 和及其夹角还有什么关系呢? 二、讲解新课: 1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 用心爱心专心
用心 爱心 专心 5 课 题：正弦定理、余弦定理（2） 教学目的： 1．掌握正弦定理、余弦定理； 2．使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题 奎屯 王新敞 新疆 教学重点：正弦定理、余弦定理的运用 奎屯 王新敞 新疆 教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 奎屯 王新敞 新疆 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a sin = B b sin = C c sin =2R（R 为△ABC 外接圆半径） 2 奎屯 王新敞 新疆 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 奎屯 王新敞 新疆 （见图示）已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况: ⑴若 A 为锐角时: = a b ( ) bsinA a b ( , ) a bsinA ( ) sin 一解 锐角 二解 一锐 一钝 一解 直角 a b A 无解 b a b a b a b a a 已知边a,b和A 有两个解 仅有一个解 无 解 仅有一个解 ab a<CH=bsinA a=CH=bsinA CH=bsinA<a<b A C B A C B1 A B A C B2 C H H H ⑵若 A 为直角或钝角时: a b ( ) 一解 锐角 a b 无解 3．在 Rt△ABC 中(若 C=90)有： 2 2 2 c = a + b 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方 和及其夹角还有什么关系呢？ 二、讲解新课： 1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
的积的两倍。 a2-b2+c2-2bccos as cos a=b+c-s 2=a'+b2-2abcosc e cosc=a+b--c 2ab [问题]对于任意一个三角形来说,是否可以根据一个角和夹此角的两边,求出此角的对边? [推导]如图在△ABC中,AB、BC、CA的长分别为c、a、b AC= AB+BC ∴AC·AC=(AB+BC)·(AB+BC) a AB+2AB·BC+BC A B AB +2 AB BC cos(180-B)+ 2accos b+ a 即b B 同理可证a2=b2+c2-2 bc cos a,c2=a2+b2-2 ab coso 2.余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角。 三、讲解范例 例1在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C cOSO a-+b 08071, ∴B=180°-(A+C)≈100°。 sin a 0。5954,∴C≈36°或144°(舍)。 用心爱心专心
用心 爱心 专心 6 的积的两倍 奎屯 王新敞 新疆 即 a b c 2bc cos A 2 2 2 = + − bc b c a A 2 cos 2 2 2 + − = b c a 2ac cos B 2 2 2 = + − ca c a b B 2 cos 2 2 2 + − = c a b 2abcosC 2 2 2 = + − ab a b c C 2 cos 2 2 2 + − = [问题] 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？ [推导] 如图在 ABC 中， AB 、 BC 、CA 的长分别为 c 、a 、b 奎屯 王新敞 新疆 ∵ AC AB BC = + ∴ AC AC AB BC AB BC • = + • + ( ) ( ) 2 2 = + • + AB AB BC BC 2 2 2 = + • − + AB AB BC B BC 2 | | | | cos(180 ) 2 2 = c − 2ac cos B + a 即 b c a 2ac cos B 2 2 2 = + − 同理可证 a b c 2bc cos A 2 2 2 = + − ，c a b 2abcosC 2 2 2 = + − 2．余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 奎屯 王新敞 新疆 三、讲解范例： 例 1 在ΔABC 中，已知 a＝7，b＝10，c＝6，求 A、B 和 C 奎屯 王新敞 新疆 解：∵ bc b c a A 2 cos 2 2 2 + − = ＝0 奎屯 王新敞 新疆 725， ∴ A≈44° ∵ ab a b c C 2 cos 2 2 2 + − = ＝0 奎屯 王新敞 新疆 8071， ∴ C≈36°, ∴ B＝180°－(A＋C)≈100°奎屯 王新敞 新疆 (∵sinC＝ a c sin A ≈0 奎屯 王新敞 新疆 5954,∴ C ≈ 36°或 144°(舍) 奎屯 王新敞 新疆 ) c a b A B C
例2在△ABC中,已知a=2730,b=3696,C=82°28′,解这个三角形 解:由c2=a2+b2-2 ab cos c,得c≈4297 ≈07767 A≈39°2′ bc B=180°—(A+C)=58°30′。 (∵sinA=asnC 06299,∴A=39°或141°(舍) 例3△ABC三个顶点坐标为(6,5)、(-2,8)、(4,1),求A 解法一::|AB=√6-(-2)2+(5-8)=√73 BC|=y(-2-4)2+(8 )2+(5-1)2=25 OS A AB √365 解法二:∵AB=(-8,3),AC=(-2,-4) ∴cosA= AB·AC(-8)×(-2)+3×(-4 A≈84° AB(4C|73×2 例4设a=(x,y)b=(x,y)a与b的夹角为(0≤≤), 求证:x1x+yy2=|a| b cost0 证明:如图,设a,b起点在原点,终点为A,B 则A=( AB=b-a 在△ABC中,由余弦定理 b-a|=1|a|+|b|2-2|ab6|cose |b-a|2=|AB|2=|(x2-x1,y2-y)|2=(x2-x)2+(y2-y) a|=x2+y2,|b (x2-x)2+(y2-y1)2=x12+y2+x2+y2-2|a||b|cose 用心爱心专心
用心 爱心 专心 7 例 2 在ΔABC 中，已知 a＝2 奎屯 王新敞 新疆 730，b＝3 奎屯 王新敞 新疆 696，C＝82°28′，解这个三角形 奎屯 王新敞 新疆 解：由 c a b 2abcosC 2 2 2 = + − ，得 c≈4 奎屯 王新敞 新疆 297 奎屯 王新敞 新疆 ∵ bc b c a A 2 cos 2 2 2 + − = ≈0 奎屯 王新敞 新疆 7767， ∴ A≈39°2′, ∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′奎屯 王新敞 新疆 (∵sinA＝ c a sin C ≈0 奎屯 王新敞 新疆 6299，∴ A=39°或 141°(舍) 奎屯 王新敞 新疆 ) 例 3 ΔABC 三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求 A 奎屯 王新敞 新疆 解法一：∵ |AB| ＝ [6 ( 2)] (5 8) 73 2 2 − − + − = |BC| ＝ ( 2 4) (8 1) 85 2 2 − − + − = |AC| ＝ (6 4) (5 1) 2 5 2 2 − + − = AB AC AB AC BC A + − = 2 cos 2 2 2 = 365 2 ∴ A≈84°奎屯 王新敞 新疆 解法二：∵ AB ＝(–8，3)， AC ＝(–2，–4) 奎屯 王新敞 新疆 ∴ cosA＝ AB AC AB AC • = 365 2 73 2 5 ( 8) ( 2) 3 ( 4) = − − + − ,∴ A≈84°奎屯 王新敞 新疆 例 4 设 a =(x1, y1) b =(x2, y2) a 与 b 的夹角为 （0≤≤）， 求证：x1x2+ y1y2=| a || b |cos 证明：如图，设 a , b 起点在原点，终点为 A，B 则 A=(x1, y1) B=(x2, y2) AB = b − a 在△ABC 中，由余弦定理 | b − a | 2 =| a | 2 +| b | 2 −2| a || b | cos ∵| b − a | 2 =| AB | 2 =|(x2-x1, y2-y1)|2 =(x2-x1) 2 +( y2-y1) 2 | a | 2 =x1 2 +y1 2 ，| b | 2 = x2 2 +y2 2 ∴(x2-x1) 2 +( y2-y1) 2 = x1 2 +y1 2 + x2 2 +y2 2 −2| a || b | cos 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 2 4 6 8 C B A
∴xx2+yy2=| all lcos0即有a·b=xxt+yy2=|a| b cose 四、课堂练习 在△ABC中, bCosAacos B,则三角形为() A直角三角形B锐角三角形C等腰三角形D等边三角形 2在△ABC中,若a>b+c,则△ABC为;若d=b2+a2,则△ABC为 b+c2且b<a+c且c2<a+b,则△ABC为 3在△ABC中,sinA2 cos Bind,则三角形为 4在△ABC中,BC3,AB=2,且 CB =2(√6+1), 参考答案:1cC2钝角三角形,直角三角形,锐角三角形 3。等腰三角形4120° 五、小结余弦定理及其应用 六、课后作业: 1在△ABC中,证明下列各式 (1)(a-b-c) tanA+(a-B+2) tanB=0 (2)0s24-0s2B=1-1 证明:(1)左边=(a2-b2-c2 coSA(a2 b2+c2) sin B cos B 2ac 2Rb2+c2-a2 +(a2-b2+c) 2R a+c-b abc|-(b 2R b2+c2-a2 a2+2-b abc (-1+1)=0=右边 故原命题得证 1-2sin-A1-2sin-B (2)左边 b B a b(2R)sin-A(2R)sinB 右边 b2(2R)2(2R) 故原命题得证。 在△ABC中,已知sinB,sinc=csA试判断此三角形的类型 1+Cos A 解:∵sinB·sinC=cos2 sinB·sinC= ∴2sinB·sinC=1+cos[180°-(B+C] 将cos(B+C)= cos Bcos- sinSing代入上式得 cos BcosCtsinBsinC=1.. cos (B-0)=1 又0<B,C<丌 丌<b(<丌∴B-c=0∴B=C 用心爱心专心
用心 爱心 专心 8 ∴x1x2+ y1y2=| a || b |cos 即有 a • b = x1x2+ y1y2=| a || b |cos 四、课堂练习： 1 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中，bCosA=acosB，则三角形为( ) A 奎屯 王新敞 新疆 直角三角形 B 奎屯 王新敞 新疆 锐角三角形 C 奎屯 王新敞 新疆 等腰三角形 D 奎屯 王新敞 新疆 等边三角形 2 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中，若 a 2＞b 2 +c 2，则△ABC 为；若 a 2 =b 2 +c 2，则△ABC 为 ；若 a 2＜ b 2 +c 2 且 b 2＜a 2 +c 2 且 c 2＜a 2 +b 2，则△ABC 为 奎屯 王新敞 新疆 3 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 奎屯 王新敞 新疆 4 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中，BC=3，AB=2，且 ( 6 1) 5 2 sin sin = + B C ，A= 奎屯 王新敞 新疆 参考答案： 1 奎屯 王新敞 新疆 C 2 奎屯 王新敞 新疆 钝角三角形，直角三角形，锐角三角形 3 奎屯 王新敞 新疆 等腰三角形 4 奎屯 王新敞 新疆 120° 五、小结 余弦定理及其应用 六、课后作业： 1 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中，证明下列各式： （1）（a 2－b 2－c 2）tanA＋（a 2－b 2＋c 2）tanB＝0 (2) . cos 2 cos 2 1 1 2 2 2 2 b a b B a A − = − 证明：(1)左边＝（a 2－b 2－c 2） B B a b c A A cos sin ( ) cos sin 2 2 2 + − + = − + = = 右边 + − + − + + − − + − = + − + − + + − = − − ( 1 1) 0 ( ) 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R abc a c b a c b b c a b c a R abc a c b ac R b a b c b c a bc R a a b c 故原命题得证 奎屯 王新敞 新疆 右边 左边 = − − + = − = = − − + − − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (2 ) 2 (2 ) 1 1 2 (2 ) sin 2sin (2 ) sin 2sin ) 1 1 ( 1 2sin 1 2sin (2) a b R R a b R B B R A A a b b B a A 故原命题得证 奎屯 王新敞 新疆 2 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中，已知 sinB·sinC＝cos 2 2 A ，试判断此三角形的类型 奎屯 王新敞 新疆 解：∵sinB·sinC＝cos 2 2 A , ∴sinB·sinC＝ 2 1+ cos A ∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］ 将 cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC 代入上式得 cosBcosC＋sinBsinC＝1, ∴cos（B－C）＝1 又 0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π ∴B－C＝0 ∴B＝C
故此三角形是等腰三角形 3在△ABC中, bosa= acos B试判断三角形的形状 解法一:利用余弦定理将角化为边。 b a2a2+c2-b acos 26c ∴b+c2-a2=a2+c2-b2,∴a=b2,∴a=b,故此三角形是等腰三角形 解法二:利用正弦定理将边转化为角。∵bosA=aosB 又b=2 Sing,a=2 Sina,∴2 Rsinbcosa=2 Rsinacosb ∴ sinacosB- cosSing=0∴sin(A-B)=0 0<A,B丌,∴-丌<A-B,A-B=0即A=B 故此三角形是等腰三角形 七、板书设计(略) 八、课后记 课题:正弦定理、余弦定理(3) 教学目的: l进一步熟悉正、余弦定理内容 2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化; 3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状 4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 教学重点:利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求。 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学方法:启发引导式 l启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦定理的适用题 型与所证结论的联系,并注意特殊正、余弦关系的应用,比如互补角的正弦值相等,互补角 的余弦值互为相反数等 2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断,重在发挥正、余弦定理的边 角互换作用 教学过程 复习引入 正弦定理: sin a sin B snC 2R 余弦定理:a2=b2+c2-2 . bc cos a,台cosA= 用心爱心专心
用心 爱心 专心 9 故此三角形是等腰三角形 奎屯 王新敞 新疆 3 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中，bcosA＝acosB 试判断三角形的形状 解法一：利用余弦定理将角化为边 奎屯 王新敞 新疆 ∵bcosA＝acosB ,∴b· ac a c b a bc b c a 2 2 2 2 2 2 2 2 + − = + − ∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2 ,∴a 2＝b 2 ,∴a＝b，故此三角形是等腰三角形 奎屯 王新敞 新疆 解法二：利用正弦定理将边转化为角 奎屯 王新敞 新疆 ∵bcosA＝acosB 又 b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA ，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0 ∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即 A＝B 故此三角形是等腰三角形 奎屯 王新敞 新疆 七、板书设计（略） 八、课后记： 课 题：正弦定理、余弦定理（3） 教学目的： 1 奎屯 王新敞 新疆 进一步熟悉正、余弦定理内容； 2 奎屯 王新敞 新疆 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化； 3 奎屯 王新敞 新疆 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状； 4 奎屯 王新敞 新疆 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 奎屯 王新敞 新疆 教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求 奎屯 王新敞 新疆 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学方法：启发引导式 1 奎屯 王新敞 新疆 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题 型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角 的余弦值互为相反数等； 2 奎屯 王新敞 新疆 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边 角互换作用 奎屯 王新敞 新疆 教学过程： 一、复习引入： 正弦定理： R C c B b A a 2 sin sin sin = = = 余弦定理： 2 cos , 2 2 2 a = b + c − bc A bc b c a A 2 cos 2 2 2 + − =
b=c+a-2cacos B o cos b= c+a-b 2ca c2=a2+b2-2abcosC, COSC=a+62 ab 二、讲授新课: 1.正余弦定理的边角互换功能 对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它。其实,在 涉及到三角形的其他问题中,也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它 们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得 以解决 例1已知a、b为△ABC的边,A、B分别是a、b的对角,SnA2A+B B B的值 b 又 a 3 sin a sinb sinb b SnB(这是角的关系), a=3(这是边的关系),于是,由合比定理得口+b=3+2=5 b 2 例2已知△ABC中,三边a、b、c所对的角分别是A、B、C,且a、b、c成等差数列。 求证:sinA+sinC=2sinB 证明:∵a、b、c成等差数列, ∴a+c=2b(这是边的关系)① b bsin a 又 a sinb sin c bsin c 将②、③代入①,得 bsin a bsin c =2b整理得sinA+sinC=2sinB(这是角的关系) inb sin B 2、余弦定理的巧用 某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而 使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下: 例3求sin20°+c0s280°+√3sin20°cos80°的值。 解:原式=sin20°+sin210°-2sin20°sin10°cos150° 0°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角 设这三个内角所对的边依次是a、b、c,由余弦定理得:a+b2-2abos150°=c(※) 而由正弦定理知:a=2Rsin20°,b=2Rsin10°,c=2Rsin150°,代入(※)式得: sin20°+sin210°-2sin20°sin10。cos150°=sin2150°1 ∴原式 例4在△ABC中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长 用心爱心专心
用心 爱心 专心 10 2 cos , 2 2 2 b = c + a − ca B ca c a b B 2 cos 2 2 2 + − = c a b 2abcosC 2 2 2 = + − ， ab a b c C 2 cos 2 2 2 + − = 二、讲授新课： 1 奎屯 王新敞 新疆 正余弦定理的边角互换功能 对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它 奎屯 王新敞 新疆 其实，在 涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们 奎屯 王新敞 新疆 两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它 们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得 以解决 奎屯 王新敞 新疆 例 1 已知 a、b 为△ABC 的边，A、B 分别是 a、b 的对角，且 3 2 sin sin = B A ，求 B A + B 的值 奎屯 王新敞 新疆 解：∵ 2 3 sin sin , sin sin , sin sin = = = B A b a B A B b A a 又 (这是角的关系)， ∴ 2 3 = b a (这是边的关系) 奎屯 王新敞 新疆 于是，由合比定理得 . 2 5 2 3 2 = + = + b a b 例 2 已知△ABC 中，三边 a、b、c 所对的角分别是 A、B、C，且 a、b、c 成等差数列 奎屯 王新敞 新疆 求证：sinA＋sinC＝2sinB 证明：∵a、b、c 成等差数列， ∴a＋c＝2b(这是边的关系)① 又 B b A a C c B b A a sin sin , sin sin sin = = = ② B b C c sin sin = ③ 将②、③代入①，得 b B b C B b A 2 sin sin sin sin + = 整理得 sinA＋sinC＝2sinB(这是角的关系) 奎屯 王新敞 新疆 2 奎屯 王新敞 新疆 正、余弦定理的巧用 某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而 使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下： 例 3 求 sin2 20°＋cos 2 80°＋ 3 sin20°cos80°的值 奎屯 王新敞 新疆 解：原式＝sin2 20°＋sin2 10°－2sin20°sin10°cos150° ∵20°＋10°＋150°＝180°， ∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角 奎屯 王新敞 新疆 设这三个内角所对的边依次是 a、b、c，由余弦定理得：a 2＋b 2－2abcos150°＝c 2（※） 而由正弦定理知：a＝2Ｒsin20°，b＝2Ｒsin10°，c＝2Ｒsin150°，代入(※)式得： sin2 20°＋sin2 10°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2 150°＝ 4 1 ∴原式＝ 4 1 奎屯 王新敞 新疆 例 4 在△ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的 2 倍，求此三角形的三边长