正弦定理和余弦定理测试题 、选择题 1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=() A. 3 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a-b 3bC, sinC-23sinB, U A=( A.30° C.120 D.150° 3.E,F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点,则tan∠ECF 3 C. D. 4.△C中,若1ga-1gc=1sn=-12且∈(0,2,则△C 的形状是( A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直 角三角形 5.△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,如果a、b、C 成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为0.5,那么b为() A.1+√3B.3+√3 3 c D.2+√3
正弦定理和余弦定理 测试题 一、选择题： 1．在△ABC 中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cosB＝( ) A．－ 2 2 3 B. 2 2 3 C．－ 6 3 D. 6 3 2．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 a 2－b 2 ＝ 3bc，sinC＝2 3sinB，则 A＝( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 3．E，F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 tan∠ECF ＝( ) A. 16 27 B. 2 3 C. 3 3 D. 3 4 4．△ABC 中，若 lga－lgc＝lgsinB＝－lg 2且 B∈ 0， π 2 ，则△ABC 的形状是( ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直 角三角形 5．△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，如果 a、b、c 成等差数列，∠B＝30°，△ABC 的面积为 0.5，那么 b 为( ) A．1＋ 3 B．3＋ 3 C. 3＋ 3 3 D．2＋ 3
6.已知锐角A是△ABC的一个内角,a、b、c是三角形中各内角 的对应边,若sin24-cos2A=,则() A. b+c=2a b. b+c2 C.b+c≤2aD.b+c ≥2a 7、若△4BC的内角A满足sim2A=2,则simA+C0sA B. c D 3 8、如果AABC1的三个内角的余弦值分别等于△4BC2的三个内角的正 弦值,则 A.△4BC1和△A2BC2都是锐角三角形B.△4BC1和△A2B3C2都是钝角 三角形 C.△4BGC是钝角三角形,△2BC2是锐角三角形 D.△4BC1是锐角三角形,△4BC2是钝角三角形 9、△ABC的三内角ABC所对边的长分别为ab,c设向量 p=(a+c.b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为 (A)Z (c) (D)2z 10、已知等腰△ABC的腰为底的2倍,则顶角A的正切值是() A √5
6．已知锐角 A 是△ABC 的一个内角，a、b、c 是三角形中各内角 的对应边，若 sin2 A－cos 2 A＝ 1 2 ，则( ) A．b＋c＝2a B．b＋c<2ª C．b＋c≤2a D．b＋c ≥2a 7、若 ABC 的内角 A 满足 2 sin 2 3 A = ，则 sin cos A A + = A. 15 3 B． 15 3 − C． 5 3 D． 5 3 − 8、如果 A B C 1 1 1 的三个内角的余弦值分别等于 A B C 2 2 2 的三个内角的正 弦值，则 A．A B C 1 1 1 和 A B C 2 2 2 都是锐角三角形 B．A B C 1 1 1 和 A B C 2 2 2 都是钝角 三角形 C．A B C 1 1 1 是钝角三角形， A B C 2 2 2 是锐角三角形 D．A B C 1 1 1 是锐角三角形， A B C 2 2 2 是钝角三角形 9 、 ABC 的 三 内 角 A B C , , 所 对 边 的 长 分 别 为 abc , , 设 向 量 p a c b = + ( , ), q b a c a = − − ( , ) ,若 p q // ,则角 C 的大小为 (A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 2 3 10、已知等腰 △ABC 的腰为底的 2 倍，则顶角 A 的正切值是（ ） Ａ． 3 2 Ｂ． 3 Ｃ． 15 8 Ｄ． 15 7
11、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比 数列,且c=2a,则cosB= A B 3 √2 4 D 12、在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、C,Ax,a√3,b=1, 则 (A)1 (B)2 (C)√3-1 (D) 、填空 空题: 13、在△ABC中,若sinA:sinB:sinC=5:7:8,则∠B的大小是 14在△ABC中,已知a √3 ,b=4,A=30°,则sinB 15、在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC 16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4, 则边BC上的中线AD的长为
11、ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比 数列，且 c a = 2 ，则 cosB = A ． 1 4 B ． 3 4 C ． 2 4 D． 2 3 12、在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A= 3 ,a= 3 ,b=1， 则 c= (A) 1 （B）2 （C） 3 —1 （D） 3 二、填空题： 13 、 在 ABC 中 ， 若 sin :sin :sin 5:7:8 A B C = ， 则 B 的 大 小 是 ___________. 14、在 ABC 中，已知 4 3 3 a = ，b＝4，A＝30°，则 sinB＝ . 15、在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60°，B＝45°，则 AC＝ 16、已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且 AB＝1，BC＝4， 则边 BC 上的中线 AD 的长为 ．
三、解答题 17。、已知△ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b +b tan 求内角C. 18、在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2 as ina (2b+ c sinB+(2c+b)sinC(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1 试判断△ABC的形状 19、如图,在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10 AC=14,DC=6,求AB的长
三、解答题： 17。、已知△ABC 的内角 A，B 及其对边 a，b 满足 a＋b＝a 1 tanA ＋b 1 tanB ， 求内角 C. 18、在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asinA＝ (2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求 A 的大小；(2)若 sinB＋sinC＝1， 试判断△ABC 的形状． 19、如图，在△ABC 中，已知 B＝45°，D 是 BC 边上的一点，AD＝10， AC＝14，DC＝6，求 AB 的长．
20、已知△ABC的周长为2+1,且sinA+sinB=√sinC.(I)求边AB 的长;(I)若△ABC的面积为snC,求角C的度数 21、△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知a,b,c 成等比数列,cosB=3 (I)求cotA+otC的值;(Ⅱ)设BA.BC=3,求a+c的值 22、某海轮以30海里/小时的速度航行,在A点测得海面上油井P 在南偏东60°,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°, 海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点,求P、C间的距 离
20、已知 △ABC 的周长为 2 1+ ，且 sin sin 2 sin A B C + = ．（I）求边 AB 的长；（II）若 △ABC 的面积为 1 sin 6 C ，求角 C 的度数． 21、△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列， . 4 3 cos B = （Ⅰ）求 cotA+cotC 的值； （Ⅱ）设 3 2 BA BC = ，求 a＋c 的值. 22、 某海轮以 30 海里/小时的速度航行，在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东 60 ，向北航行40 分钟后到达B 点，测得油井 P 在南偏东 30， 海轮改为北偏东 60 的航向再行驶 80 分钟到达 C 点，求 P、C 间的距 离．
答案 1.解析:依题意得0°<B60°,由正弦定理得 sinA sin得sinB bsin a 3, COSB- n'B 6 选D 2解析:由sinC=23inp可得c=2√3b,由余弦定理得cos= B+22-d-v3bc+d 26c 于是A=30°,故选A. 3.解析:设AC=1,则AE=EF=FB==AB=,由余弦定理得CE=CF CE+CF-EF AE+AC-2AC· ACos45 所以cos∠ECF 2CE·CF 所以tan∠ECF sin∠BCFV 答案:D cos∠ECF 4 4.解析:∵1ga-1gc= I gsinB=-1g√2,1g=1 goinG=1gx.∴ sinB= B∈|0,,∴B=,由c=V2a,得cOs+c2-b2 3a-b2 b答案:
答案 1.解析：依题意得 0°<B<60°，由正弦定理得 a sinA ＝ b sinB 得 sinB＝ bsinA a ＝ 3 3 ，cosB＝ 1－sin2 B＝ 6 3 ，选 D. 2.解析：由 sinC＝2 3sinB 可得 c＝2 3b，由余弦定理得 cosA＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ － 3bc＋c 2 2bc ＝ 3 2 ，于是 A＝30°，故选 A. 3.解析：设 AC＝1，则 AE＝EF＝FB＝ 1 3 AB＝ 2 3 ，由余弦定理得 CE＝CF ＝ AE 2＋AC 2－2AC·AEcos45°＝ 5 3 ，所以 cos∠ECF＝ CE 2＋CF 2－EF 2 2CE·CF ＝ 4 5 ， 所以 tan∠ECF＝ sin∠ECF cos∠ECF ＝ 1－ 4 5 2 4 5 ＝ 3 4 . 答案：D 4.解析：∵lga－lgc＝lgsinB＝－lg 2，∴lg a c ＝lgsinB＝lg 2 2 .∴ a c ＝sinB＝ 2 2 . ∵B∈ 0， π 2 ，∴B＝ π 4 ，由 c＝ 2a， 得 cosB＝ a 2＋c 2－b 2 2ac ＝ 3a 2－b 2 2 2a 2 ＝ 2 2 . ∴a 2＝b 2，∴a＝b. 答案：D
5.解析:2b=以c、、的?>ac=2,a+C=4b-4,b=a+e 4+2 3 2 b 案 1 6.解析:由sin2Acos2A=,得cos2A= 又A是锐角,所以 b+c sinBtsinC A=60°,于是B+C=120° 所以 sina B+C B-C 2sin 2 =cOS。≤1,b+c≤2a.答案:c 7.解:由sin2A=2 sinAcosa>0,可知A这锐角,所以sinA+cosA>0, 又(sinA+0s4)2=1+sm2A=5,故选A 8.解:△4BC的三个内角的余弦值均大于0,则△4BC是锐角三角形, in A,=Cos A,=sin(-A) 若△BC2是锐角三角形,由sinB=cosB1=sm(-B),得B=-B, C=sin(-Cu) C 那么,A2+B2+C2=x,所以△4BC2是钝角三角形。故选D 9.【解析】p∥q→(a+c)(c-a)=bb-a)→b2+a2-c2=ab,利用余弦定理 可得2cosC=1,即cosC=→C=,故选择答案B 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和 三角函数,同时着重考查了同学们的运算能力 10.解:依题意,结合图形可得mn4=√5,故 215
5.解析：2b＝a＋c， 1 2 ac· 1 2 ＝ 1 2 ⇒ac＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2 －2ac· 3 2 ⇒b 2＝ 4＋2 3 3 ⇒b＝ 3＋ 3 3 . 答案：C 6.解析：由 sin2 A－cos 2 A＝ 1 2 ，得 cos2A＝－ 1 2 ， 又 A 是锐角，所以 A ＝ 60 ° ，于 是 B ＋C ＝ 120 °. 所 以b＋c 2a ＝ sinB＋sinC 2sinA ＝ 2sin B＋C 2 cos B－C 2 3 ＝cos B－C 2 ≤1，b＋c≤2a. 答案：c 7.解：由 sin2A＝2sinAcosA0，可知 A 这锐角，所以 sinA＋cosA0， 又 2 5 (sin cos ) 1 sin 2 3 A A A + = + = ，故选 A 8.解： A B C 1 1 1 的三个内角的余弦值均大于 0，则 A B C 1 1 1 是锐角三角形， 若 A B C 2 2 2 是锐角三角形，由 2 1 1 2 1 1 2 1 1 sin cos sin( ) 2 sin cos sin( ) 2 sin cos sin( ) 2 A A A B B B C C C = = − = = − = = − ，得 2 1 2 1 2 1 2 2 2 A A B B C C = − = − = − ， 那么， 2 2 2 2 A B C + + = ，所以 A B C 2 2 2 是钝角三角形。故选 D。 9.【解析】 2 2 2 p q a c c a b b a b a c ab // ( )( ) ( ) + − = − + − = ，利用余弦定理 可得 2cos 1 C = ，即 1 cos 2 3 C C = = ，故选择答案 B。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和 三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。 10. 解 ： 依 题 意 ， 结 合 图 形 可 得 15 tan 2 15 A = ， 故
A √h5 tan a= 选D A I-ta 7 11.解:MABC中,a、b、c成等比数列,且c=2a,则b√2a, cos B 2ac 40 ,选B. 2解:由正弦定理得sinB=1,又a>b,所以A>B,故B=30°,所 以C=90°,故c=2,选B 填空 13#F: sin A: sin B: sinC=5: 7: 8a: b: C=5: 7: 8i a=5k, b=7k, C= 8k由余弦定理可解得∠B的大小为z 14.解:由正弦定理易得结论simB=5。 15.【正确解答】由正弦定理得 AC 解得AC=4√6 sin 45 【解后反思】解三角形:已知两角及任一边运用正弦定理,已知两边 及其夹角运用余弦定理 16.解析:由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而 A+B+C=可得∠B=z AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD=√5。 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难 度中等 三、解答题:(17-21题12分,22题14分,写出证明过程或推演步 骤
2 2 15 2 tan 2 15 15 2 tan 15 7 1 tan 1 ( ) 2 15 A A A = = = − − ，选 D 11.解： ABC 中，a、b、c 成等比数列，且 c a = 2 ，则 b= 2 a， 2 2 2 cos 2 a c b B ac + − = = 2 2 2 2 4 2 3 4 4 a a a a + − = ，选 B. 12.解：由正弦定理得 sinB＝ 1 2 ，又 ab，所以 AB，故 B＝30，所 以 C＝90，故 c＝2，选 B 二、填空 13.解： sin :sin :sin 5:7:8 A B C = abc＝578 设 a＝5k，b＝7k，c＝ 8k 由余弦定理可解得 B 的大小为 3 . 14.解：由正弦定理易得结论 sinB＝ 3 2 。 15.【正确解答】由正弦定理得， sin 45 sin 60 AC BC = 解得 AC = 4 6 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边 及其夹角运用余弦定理 16.解析: 由 ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列可得 A+C=2B 而 A+B+C= 可得 3 B = AD 为边 BC 上的中线可知 BD=2,由余弦定理定理可得 AD = 3。 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难 度中等。 三、解答题：(17-21 题 12 分，22 题 14 分，写出证明过程或推演步 骤．)
17。、已知△ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=a+ tana tanB求内角C 解:由a+b=a+b。四及正弦定理得sin4+sinB=cosA +cos B, 即sinA-cosA=cosB-sinB,从而 sinicus, 4 coSAsin cOs Bs i-sinbcos 即sinA 又0A+Bπ,故A-n 44 一B,4+B=2,所以C=2 18、在△ABC中,a,b,C分别为内角A,B,C的对边,且2 asin a =(2b+c)sinB+(2c+b)sinC(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC= 1,试判断△ABC的形状 解:(1)由已知,根据正弦定理得2a=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b+c+bc 由余弦定理得a=b+2-2bcos,故cos小1又A∈(0, ),故A=120° (2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+ sinsing又sinB+sinC= 1,得sinB=sinC 因为0°<B90°,0°<90°,故B=C.所以△ABC是等腰的钝 角三角形
17。、已知△ABC 的内角 A，B 及其对边 a，b 满足 a＋b＝a 1 tanA ＋ b 1 tanB ，求内角 C. 解：由 a＋b＝a 1 tanA ＋b 1 tanB 及正弦定理得 sinA＋sinB＝cosA ＋cosB， 即 sinA－cosA＝cosB－sinB， 从而 sinAcos π 4 －cosAsin π 4 ＝ cosBsin π 4 －sinBcos π 4 ， 即 sin A－ π 4 ＝sin π 4 －B . 又 0<A＋B<π， 故 A－ π 4 ＝ π 4 －B，A＋B＝ π 2 ， 所以 C＝ π 2 . 18、在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asinA ＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求 A 的大小；(2)若 sinB＋sinC＝ 1，试判断△ABC 的形状． 解：(1)由已知，根据正弦定理得 2a 2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即 a 2＝b 2＋c 2＋bc. 由余弦定理得 a 2＝b 2＋c 2－2bccosA，故 cosA＝－ 1 2 ，又 A∈(0， π)，故 A＝120°. (2)由(1)得 sin2 A＝sin2 B＋sin2 C＋sinBsinC. 又sinB＋sinC＝ 1，得 sinB＝sinC＝ 1 2 . 因为 0°<B<90°，0°<C<90°，故 B＝C.所以△ABC 是等腰的钝 角三角形．
19、如图,在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD 0,AC=14,DC=6,求AB的长 解:在△ADC中,A=10,AC=14,DC=6,由杀弦定理得 AB+DC-AC100+36-1961 cos∠ADC 2AD·DC 2×10×6 ∴∠ADC=120°,∠ADB=60° 在△ABD中,AD=10,B=45° ∠ADB=60 由正弦定理得 sin∠ ADB SinB’∴.AB⊥AD·sin∠ADB 10sin60°10 sin45° 20、已知△ABC的周长为√2+1,且sinA+sinB=√sinC.(I)求边AB 的长;(II)若△ABC的面积为sinC,求角C的度数 解:(Ⅰ)由题意及正弦定理,得AB+BC+AC=√2+1,BC+AC=√AB, 两式相减,得AB=1 (II)由△ABC的面积BC.CsmC=smc,得BC.C=1,由余弦定 理,得 cosC=AC+BC--AB--(AC+ BC)-2AC BC-AB--I, FrLLC-60 2AC·BC 2AC·BC 21、△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c 成等比数列,csB 3 (I)求 cotAtcotc的值;(Ⅱ)设BhBC=3,求a+c的值 分析:本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇,关
19、如图，在△ABC 中，已知 B＝45°，D 是 BC 边上的一点，AD ＝10，AC＝14，DC＝6，求 AB 的长． 解：在△ADC 中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得 cos∠ADC＝ AD 2＋DC 2－AC 2 2AD·DC ＝ 100＋36－196 2×10×6 ＝－ 1 2 ， ∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°. 在△ABD中，AD＝10，B＝45°， ∠ADB＝60°， 由 正 弦 定 理 得 AB sin∠ADB ＝ AD sinB ， ∴ AB ＝ AD·sin∠ADB sinB ＝ 10sin60° sin45° ＝ 10× 3 2 2 2 ＝5 6. 20、已知 △ABC 的周长为 2 1+ ，且 sin sin 2 sin A B C + = ．（I）求边 AB 的长；（II）若 △ABC 的面积为 1 sin 6 C ，求角 C 的度数． 解：（I）由题意及正弦定理，得 AB BC AC + + = + 2 1，BC AC AB + = 2 ， 两式相减，得 AB =1． （II）由 △ABC 的面积 1 1 sin sin 2 6 BC AC C C = ，得 1 3 BC AC = ，由余弦定 理，得 2 2 2 cos 2 AC BC AB C AC BC + − = 2 2 ( ) 2 1 2 2 AC BC AC BC AB AC BC + − − = = ，所以 C = 60 ． 21、△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列， . 4 3 cos B = （Ⅰ）求 cotA+cotC 的值； （Ⅱ）设 3 2 BA BC = ，求 a＋c 的值. 分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关