正余弦定理 在△ABC中,A>B是sinA>sinB的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 2、已知关于x的方程x2- x cos A- cos B+2sin2=0的两根之和等于两根之积的一半,则△ABC一定是 A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等腰三角形(D)等边三角形 3、已知a,b,C分别是△ABC的三个内角ABC所对的边,若a=1,b=√3,AC2B,则sinC= 4、如图,在△A中,若b=1,c=5,∠C=2x,则a 5、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=√,b=2,sinB+cosB=√2,则角A的大小为 6、在△貨中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且4sin2B+C COS 2A (1)求∠A的度数 (2)若a=√3,b+c=3,求b和C的值 7、在△ABC中已知 acos= bOsa,试判断△ABC的形状 8、如图,在△ABC中,已知a=√3,b=√2,B=45°求A、C及c B C
正 余 弦 定 理 1．在 ABC中，A B 是 sin sin A B 的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、已知关于 x 的方程 2 2 cos cos 2sin 0 2 C x x A B − + = 的两根之和等于两根之积的一半，则 ABC 一定是 （ ） （A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形. 3、 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则 sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若 b = 1，c = 3 ， 2 3 C = ，则 a= 。 5、在 ABC 中，角 A B C , , 所对的边分别为 a，b，c，若 a = 2 ，b = 2 ，sin cos 2 B B + = ，则角 A 的大小为 ． 6、在 ABC 中， abc , , 分别为角 A B C , , 的对边，且 2 7 4sin cos 2 2 2 B C A + − = （1）求 A 的度数 （2）若 a = 3 ， b c + = 3 ，求 b 和 c 的值 7、 在△ABC 中已知 acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知 a = 3 ， b = 2 ，B=45 求 A、C 及 c. C A B 1 3 2 3
1、解:在△ABC中,A>B→a>b→2 Rsin a>2 Rsin besin a>sinB,因此,选C 2、【答室】由题意可知: A cos B=1.2.sm2C=1-cosC,从而 2 2 cos Acos B=1+CoS(A+B)=1+ cos Acos B-sin Asin B COs Acos B+ sin asin e=1,cos(A-B)=1又因为-7<A-B<丌所以A-B=0,所以△ABC一定是等腰三角形选C 3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用 【思路点拨】由已知条件求出B、A的大小,求出C,从而求出sinC 【规范解答】由A+C=2B及A+B+C=180得B=60,由正弦定理得 得SinA=-,由a<b知A<B=60 sin a sin 60 所以A=30°,C=180-A-B 90°,所以sinC=sin90=1 4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对∠C利用余弦定理,通过解方程可解出a 【规范解答】由余弦定理得,a2+12-2×a×1×cos如=3,即a2+a-2=0,解得a=1或-2(舍)。【答案】1 【方法技巧】已知两边及一角求另一边时,用余弦定理比较好。 5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力 【思路点拨】先根据sinB+cOsB=√2求出B,再利用正弦定理求出sinA,最后求出A 【规范解答】由sinB+cosB=√2得1+2 sin b cos B=2,即sin2B=1,因为0<B<丌,所以B=45°,又因为a=√2 b=2,所以在△BC中,由正弦定理得: sin asin45 解得SinA=,又a<b,所以AB=45,所以A=30 【答案】30°或 6.【答案】由题意得 2[1-cos(B+C-2co24+1=2(1+)-2cos1+1=:010<4x,2 b+c)-a2=3bc将a=√3,b+c=3代入得bc=2,由b+c=3及bc=2,得b=1,c=2或 26c b=2.c=1 7、【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示.从中找到三角形中的边角关 系,判断出三角形的形状 【答案】解法1:由扩充的正弦定理:代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA sinAcosB-cosAsinB=0, sin(A-B)=0 A-B=0 =B即△ABC为等腰三角形 解法2:由余弦定理 ∴a=b即△ABC为等腰三角形 2ac 8、【分析】在解斜三角形应用过程中,注意要灵活地选择正弦定和余弦定理,解得其它的边和角
1、解：在 ABC A B 中， a b R A R B A B 2 sin 2 sin sin sin ，因此，选 C ． 2、【答案】由题意可知： 1 1 cos 2 cos cos 2 sin 2 2 2 C C A B − = = ，从而 2cos cos 1 cos( ) 1 cos cos sin sin A B A B A B A B = + + = + − cos cos sin sin 1 A B A B + = ， cos( ) 1 A B− = 又因为 − − A B 所以 A B− = 0 ，所以 ABC 一定是等腰三角形选 C 3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出 B 、 A 的大小，求出 C ，从而求出 sin . C 【规范解答】由 A+C=2B 及 A B C + + =180 得 B = 60 ，由正弦定理得 1 3 sin sin 60 A = 得 1 sin 2 A = ，由 a b 知 A B = 60 ， 所以 A = 30 ， C A B = − − 180 = 90 ，所以 sin sin 90 1. C = = 4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对 C 利用余弦定理，通过解方程可解出 a 。 【规范解答】由余弦定理得， 2 2 2 1 2 1 cos 3 3 a a + − = ，即 2 a a + − = 2 0 ，解得 a =1 或 −2 （舍）。【答案】1 【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。 5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】先根据 sin cos 2 B B + = 求出 B，再利用正弦定理求出 sin A ，最后求出 A. 【规范解答】由 sin cos 2 B B + = 得 1 2sin cos 2 + = B B ，即 sin2B 1= ，因为 0<B< ，所以 B=45 ，又因为 a = 2 ， b = 2 ，所以在 ABC 中，由正弦定理得： 2 2 = sin A sin 45 ，解得 1 sin A 2 = ，又 a<b ，所以 A<B=45 ，所以 A=30 . 【答案】30°或 6 6．【答案】由题意得 2 7 2 1 cos( ) 2cos 1 2 − + − + = B C A ( ) 2 7 2 1 cos 2cos 1 2 + − + = A ∴ 1 cos 2 A = 0 3 A 2 2 2 1 cos 2 2 b c a A bc + − = = ( ) 2 2 b c a bc + − = 3 将 a b c = + = 3, 3 代入得 bc = 2, 由 b c + = 3 及 bc = 2 ，得 b c = = 1, 2 或 b c = = 2, 1. 7、 【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关 系，判断出三角形的形状. 【答案】解法 1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0 A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形 解法 2:由余弦定理: 2 2 2 2 2 2 2 2bc b c a b ac a c b a + − = + − 2 2 a = b ∴ a = b 即△ABC 为等腰三角形. 8、 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角
【答案】解法1:由正弦定理得:sinA asnB√3sn4 b B=45°90°即b150°,则B+A>180°与题意不符
【答案】解法 1：由正弦定理得： 2 3 2 sin 3 sin 45 sin = = = b a B A ∵B=45<90 即 b<a ∴A=60或 120 当 A=60时 C=75 2 6 2 sin 45 2 sin 75 sin sin + = = = B b C c 当 A=120时 C=15 2 6 2 sin 45 2 sin 15 sin sin − = = = B b C c 解法 2：设 c=x 由余弦定理 b a c 2ac cos B 2 2 2 = + − 将已知条件代入，整理： 6 1 0 2 x − x + = 解之： 2 6 2 x = 当 2 6 + 2 c = 时 2( 3 1) 2 1 3 2 6 2 2 2 ) 3 2 6 2 2 ( 2 cos 2 2 2 2 = + + = + − + + = + − = bc b c a A 从而 A=60 ，C=75 当 2 6 − 2 c = 时同理可求得：A=120 C=15. 1.在△ABC 中，已知角 B＝45°，D 是 BC 边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求 AB. 解：在△ADC 中， cosC＝ AC 2＋DC2－AD 2 2AC·DC ＝ 7 2＋3 2－5 2 2×7×3 ＝ 11 14 ， 又 0＜C＜180°，∴sinC＝ 5 3 14 在△ABC 中， AC sinB ＝ AB sinC ∴AB＝ sinC sinB AC＝ 5 3 14 · 2 ·7＝ 5 6 2 . 2.在△ABC 中，已知 cosA＝ 3 5 ，sinB＝ 5 13 ，求 cosC 的值. 解：∵cosA＝ 3 5 ＜ 2 2 ＝cos45°，0＜A＜π ∴45°＜A＜90°，∴sinA＝ 4 5 ∵sinB＝ 5 13 ＜ 1 2 ＝sin30°，0＜B＜π ∴0°＜B＜30°或 150°＜B＜180° 若 B＞150°，则 B＋A＞180°与题意不符
∴0°<B<30°csB= cos (A+B)=COSA-cosB-sinA-sin B =3 12-4. 5=16 又C=180°—(A+B) (A+B) 3、在△ABC中,已知2 cos Bsinc=sinA,试判定△ABC的形状 解:在原等式两边同乘以sinA得2 cos Bsinasinc=sin2A 由定理得sin2A+sin2C-sin2B=sin2A -C=sin B 故△ABC是等腰三角形 inB+si 1在△ABC中,若sinA 试判断△ABC的形状 B+cosC sinB+sinC sinB+sinC ∴cosB+cosC a2+c2-b2 a2+b2-c2 b+c 应用正、余弦定理得 a2(b+c)-(b+c)(b2-2be+c2)=2bc(b+c) 即a2=b2+c2 故△ABC为直角三角形 a2-b2 sin(A-B) 2在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,求证 证明:由a2=b2+c2-2b 两式相减得a2-b2=c( acos-bosA) sina b B a2-b2 3在△ABC中,若(a+b+c)(b+c-a)=bc,并且sinA=2 sin bosc,试判断△ABC的形状 解:由已知条件(a+b+c)(b+c-a)=bc及余弦定理得 b2+c2-a2 (a+b+c)(b+c-a COSA= 2bc 2 (a+b+c) (b+c-a) 2 又由已知条件sinA=2 sin bcos得sin(B+C)=sin(B+C)+sin(B-C) 于是有 故△ABC为等边三角形
∴0°＜B＜30° cosB＝ 12 13 ∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝ 3 5 · 12 13 － 4 5 · 5 13 ＝ 16 65 又 C＝180°－（A＋B）. ∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－16 65 . 3、在△ABC 中，已知 2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC 的形状. 解：在原等式两边同乘以 sinA 得 2cosBsinAsinC＝sin2A， 由定理得 sin2A＋sin2C－sin2B＝sin2A， ∴sin2C＝sin2B ∴B＝C 故△ABC 是等腰三角形. 1.在△ABC 中，若 sinA＝ sinB＋sinC cosB＋cosC ，试判断△ABC 的形状. 解：∵sinA＝ sinB＋sinC cosB＋cosC ，∴cosB＋cosC＝ sinB＋sinC sinA ， 应用正、余弦定理得a 2＋c 2－b 2 2ac ＋ a 2＋b 2－c 2 2ab ＝ b＋c a ， ∴b（a 2 c 2－b 2）＋c（a 2－b 2 c 2）＝2bc（b＋c）， ∴a 2（b＋c）－（b＋c）（b 2－2bc＋c 2）＝2bc（b＋c） 即 a 2＝b 2＋c 2 故△ABC 为直角三角形. 2.在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，求证： a 2－b 2 c 2 ＝ sin（A－B） sinC . 证明：由 a 2＝b 2＋c 2－2bccosA. b 2＝a 2＋c 2－2accosB 两式相减得 a 2－b 2＝c（acosB－bcosA）， ∴ a 2－b 2 c 2 ＝ acosB－bcosA c 2 . 又 a c ＝ sinA sinC ， b c ＝ sinB sinC ， ∴ a 2－b 2 c 2 ＝ sinAcosB－sinBcosA sinC ＝ sin（A－B） sinC . 3.在△ABC 中，若（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc，并且 sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC 的形状. 解：由已知条件（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc 及余弦定理得 cosA＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ （a＋b＋c）（b＋c－a） 2（a＋b＋c）（b＋c－a） ＝ 1 2 ∴A＝60° 又由已知条件 sinA＝2sinBcosC 得 sin（B＋C）＝sin（B＋C）＋sin（B－C） ∴sin（C－B）＝0，∴B＝C 于是有 A＝B＝C＝60°， 故△ABC 为等边三角形