32简单的三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
学习目标 1利用已有的公式进行简单的恒等变换 2.三角恒等变换在数学中的应用
学习目标: 1.利用已有的公式进行简单的恒等变换 2.三角恒等变换在数学中的应用．
半角公式 cOs2 a 1+cos a a1-cos a SIn 2 2 2 2 tan 1-cosa a ≠x+-,k∈Z 2 1+cos a(2 C COSO SIn a an tan sin a 21+c0s0
2 1 cos cos 2 2 α + α = 2 1 cos sin 2 2 α − α = 2 1 cos tan 2 1 cos α α α − = + 2 2 α π kπ k Z + ， 半角公式 1 co tan 2 s n s i α α α = − sin 2 c s tan 1 o α α α + =
1+ cos 2x 例1.化简 cot x2 tan 2 1+c0s2x2 COS X 2 cos xsin x 解 x x 2 x x 2 cosx cot---tan- COS sin 22 2x-2 x SIn-cOs sin zx
例1.化简 2 tan 2 cot 1 cos 2 x x x − + 2 2 2 2 1 cos 2 2cos 2cos sin 2cos cot tan cos sin 2 2 2 2 sin cos 2 2 1 sin 2 2 x x x x x x x x x x x x + = = − − = 解:
例2.化简: 2 sIn a sin B+cos a cos B--coS 2a cos 2B 解法1: RI=sin B+cos a cos B-(2 cos2a-1)(2 coS B-1) sin-asinB-cos a coS B+cos a+COS" B 2 -sin asin B+cos a B+cOS- B =sinB+cOS B 2
例2．化简： cos 2 cos 2 2 1 sin sin cos cos 2 2 2 2 + − (2cos 1)(2cos 1) 2 1 sin sin cos cos 2 2 2 2 2 2 原式 = + − − − 2 1 sin sin cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 = − + + − 2 1 sin sin cos sin cos 2 2 2 2 2 = + + − 2 1 sin cos 2 2 = + − 解法1：
解法2: RI=-(1-cos 2a (1-cos 2B)+=(1+cos 2a)(1+cos 2B) cos 2a cos 2B (1+cos 2a cos 2 B)--coS 2a cos 2B 2
解法2： cos 2 cos 2 2 1 (1 cos 2 )(1 cos 2 ) 4 1 (1 cos 2 )(1 cos 2 ) 4 1 − 原式 = − − + + + cos 2 cos 2 2 1 (1 cos 2 cos 2 ) 2 1 = + − 2 1 =
解法3: 原式=sn2asm2B+(1-sin2a)cos2B-cos2acos2B 2 coS B-sin a cos 2B--coS 2a cos 2B coS B-cos 2B(sin a+=cos 2a) 2 +cos 2B)-cos 2B( cos 2B coS 2a 2 2 2
cos 2 cos 2 2 1 sin sin (1 sin ) cos 2 2 2 2 原式 = + − − cos 2 cos 2 2 1 cos sin cos 2 2 2 = − − cos 2 ) 2 1 cos cos 2 (sin 2 2 = − + ) 2 cos 2 2 1 cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 ( 2 1 + − = + − 解法3：
解法4: FIt=(sin asin B-cos a cos B)2+2 sin a sin B cos a cos B--cos 2a cos 2B cos(a+B)+=sin 2asin 2B--coS 2a cos 2 B coS (a+B)--cos(2a+2B
2 1 (sin sin cos cos ) 2sin sin cos cos cos 2 cos 2 2 原式 = − + − α β α β α β α β α β cos 2 cos 2 2 1 sin 2 sin 2 2 1 cos ( ) 2 = + + − cos(2 2 ) 2 1 cos ( ) 2 = + − + 解法4：
练习1已知函数f(x)=og(sinx-cosx) (1)求它的定义域与值域 (2)求它的单调区间 (3)判断奇偶性 (4)判断它的周期性,如果是周期函数, 求出它的最小正周期
练习1.已知函数f(x)=log (sinx-cosx) （1）求它的定义域与值域 （2）求它的单调区间 （3）判断奇偶性 （4）判断它的周期性，如果是周期函数， 求出它的最小正周期
解:()sinx-cosx=√2sin(x-2)>0 2k丌+2<x<2kx+5zk∈z 定义域为:(2k+a,2kx+32)k∈z 0<sinx-cosx≤y 2 值域为-,+∞) (2)增区间为 [2丌+3,2k+3)∈z
4 5 4 4 5 4 4 1 2 3 5 4 4 : (1) sin cos 2 sin( ) 0 2 2 2 2 0 sin cos 2 [ , ) (2) : [2 , 2 ) x x x k x k k z k k k z x x k k k z − = − + + + + − − + + + 解 定义域为：（ ， ） 值域为 增区间为