《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计 教材分析:这是高三第一轮复习,内容是必修5第一章解三角形。课标要求本章的中心内 容是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后应落实在解三角形的应用 上。通过本章学习,学生应达到以下学习目标:(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探 索,掌握正弦定理,余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题:(2)能够熟练运用正 弦定理,余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。本章内容 与三角函数,向量联系密切。作为复习课一方面将本章知识作为一个梳理,另一方面通过整 理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标 学情分析:学生通过必修5的学习,对正弦定理,余弦定理的内容已经了解,但对于如何 灵活运用定理解决实际问题,怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问 题,学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。 教学目标知识目标:(1)学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理, 余弦定理的内容及其证明方法;会运用正,余弦定理与三角形内角和定理,面积公式解斜三 角形的两类基本问题;(2)学生能够熟练运用正弦定理,余弦定理等知识和方法测量一些不 可到达的物体的高度或距离;解决一些有关计算角度,航行,工件的计算等实际问题:(3) 学生学会分析问题,合理选用定理解决三角形综合问题。 能力目标:培养学生提出问题,正确分析问题,独立解决问题的能力,培养学生在方程思想 指导下处理解三角形问题的运算能力,培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力 情感目标:通过三角函数,正余弦定理,向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普 遍联系与辩证统一。激发学生学习数学的兴趣,体会数学的应用价值,在教学过程中激发学 生的探索精神 教学方法:引导发现法,讲授法,讲练结合,变式训练法 重点难点:(1)正余弦定理的探索和证明及其基本应用 (2)正余弦定理与三角形的有关性质和综合运用 (3)正余弦定理与向量,不等式等其他知识的综合运用 教学资源:多媒体课件,实物投影仪 教学过程 (一)复习回顾,知识梳理 1.正弦定理 A sinb sind =2R(其中R为△ABC外接圆的半径 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosB, C2=a2+b2-2abcosc ux cosAsbtc-a, cosB=a+c-b, cosc -a+b 3.三角形中的常见结论 (1)4+B+C=兀 (2)在三角形中大边对大角,大角对大边
《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计 教材分析：这是高三第一轮复习，内容是必修 5 第一章解三角形。课标要求本章的中心内 容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用 上。通过本章学习，学生应达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探 索，掌握正弦定理，余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够熟练运用正 弦定理，余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。本章内容 与三角函数，向量联系密切。作为复习课一方面将本章知识作为一个梳理，另一方面通过整 理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标。 学情分析：学生通过必修 5 的学习，对正弦定理，余弦定理的内容已经了解，但对于如何 灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问 题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。 教学目标 知识目标：（1）学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理， 余弦定理的内容及其证明方法；会运用正，余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三 角形的两类基本问题；（2）学生能够熟练运用正弦定理，余弦定理等知识和方法测量一些不 可到达的物体的高度或距离；解决一些有关计算角度，航行，工件的计算等实际问题；（3） 学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。 能力目标：培养学生提出问题，正确分析问题，独立解决问题的能力，培养学生在方程思想 指导下处理解三角形问题的运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。 情感目标：通过三角函数，正余弦定理，向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普 遍联系与辩证统一。激发学生学习数学的兴趣，体会数学的应用价值，在教学过程中激发学 生的探索精神。 教学方法：引导发现法，讲授法，讲练结合，变式训练法 重点难点：（1）正余弦定理的探索和证明及其基本应用 （2）正余弦定理与三角形的有关性质和综合运用 （3）正余弦定理与向量，不等式等其他知识的综合运用 教学资源：多媒体课件，实物投影仪 教学过程 （一） 复习回顾，知识梳理 1．正弦定理 a sinA ＝ b sinB ＝ c sinC ＝2R(其中 R 为△ABC 外接圆的半径)． 2．余弦定理 a 2＝b 2＋c 2－2bccosA，b 2＝a 2＋c 2－2accosB，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 或 cosA＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ，cosB＝ a 2＋c 2－b 2 2ac ，cosC＝ a 2＋b 2－c 2 2ab . 3．三角形中的常见结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边 (4)有关三角形内角的常用三角函数关系式 n(a+B)=sinC cos(A+B)=-cosc A+ c A+B C OS: COS (5)△ABC的面积公式有: ①S=ahh表示a边上的高) 2S=absinC=-acsinB=-bcsin=abc ③=(a+b+cr为内切圆半径) (6)在△ABC中,A>Bea> basin>sinB 4利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题 (1)已知三边,求三个角: (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角 (二)课堂典例讲练 例1(1)在△ABC中,若a=4,B=30°,C=105°,则b= (2)已知△ABC中,a=1,b=√E,B=45°,则角A等于() A.150° B.90 C.60 D.30° 解析:(1)已知两角和一边只有一解,由B=30°,C=105°得,A=45 由正弦定理得,b=212=451=2 2 (2)根据正弦定理得sin=sin5 sn=2b,:为锐角,=30°,故选D 例2在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,又c=V21,b=4 且BC边上的高AD=23则 (1)角C= (2)a 解析:△ABC为锐角三角形,过A作AD⊥BC于D点,则D 在线 段BC上
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)有关三角形内角的常用三角函数关系式 sin(A＋B)＝sinC； cos(A＋B)＝－cosC； tan(A＋B)＝－tanC; sin A＋B 2 ＝cos C 2 ；cos A＋B 2 ＝sinC 2 . (5)△ABC 的面积公式有： ①S＝ 1 2 a·h(h 表示 a 边上的高)； ②S＝ 1 2 absinC＝ 1 2 acsinB＝ 1 2 bcsinA＝ abc 4R ； ③S＝ 1 2 r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)． (6)在△ABC 中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB. 4.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 （1） 已知三边，求三个角； （2） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 （二） 课堂典例讲练 [例 1] (1)在△ABC 中，若 a＝4，B＝30°，C＝105°，则 b＝________. (2)已知△ABC 中，a＝1，b＝ 2，B＝45°，则角 A 等于( ) A．150° B．90° C．60° D．30° 解析：(1)已知两角和一边只有一解，由 B＝30°，C＝105°得，A＝45°， 由正弦定理得，b＝ asinB sinA ＝ 4sin30° sin45° ＝2 2. (2)根据正弦定理得 1 sinA ＝ 2 sin45°， ∴sinA＝ 1 2 ，∵a<b，∴A 为锐角，∴A＝30°，故选 D. [例 2] 在锐角△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，又 c＝ 21，b＝4， 且 BC 边上的高 AD＝2 3.则 (1)角 C＝________； (2)a＝________. 解析：△ABC 为锐角三角形，过 A 作 AD⊥BC 于 D 点，则 D 在 线 段 BC 上
sinc= 则 C=60° 1 又由余弦定理可知(√21)2=4+a-2·4·2 即a2-4a-5=0,∴a=5或a=-1(舍).因此所求角C=60°,a边长为5 例3根据所给条件,判断△ABC的形状 (1)若 acos= bcos,则△ABC形状为 (2)若0s4=c0sB=c0C,则△BC形状为 解析:(1)由余弦定理得 B+c-d a2+c2-b2 acos=bosB→a·( 26c ∴(a-b)(d2-a-b2)=0∴a2-b=0或c-a2-b=0 a=b或c=a2+b2 ∵.△ABC是等腰三角形或直角三角形 (2)由正弦定理得 ina sinb sinc COSA COSB cOSC 即tanA=tanB=tanC,∵A、B、C∈(0,π),∴A=B=C,∴△ABC为等边三角形 1例4已知△ABC中,a、bc分别为角A、B、C的对边,且a=4,b+c=5,tanB+ anC+3=3tanB·tanC,则△ABC的面积为( 3 解析:∵tanB+tanC+√=tanB·tanC, tanB+tanC=-3(1- tanB·tanO→ tanB+tanc 3→tan(B+O=-V, B+C=120 将A=60°,a=4,b+c=5代入a2=b2+c2-2 accosT 得16=25-2bc-2be,∴h=3,3B=hen/=33 故选C (三)变式训练
sinC＝ 2 3 4 ＝ 3 2 ，则 C＝60°. 又由余弦定理可知( 21) 2＝4 2＋a 2－2·4·a· 1 2 ， 即 a 2－4a－5＝0，∴a＝5 或 a＝－1(舍)．因此所求角 C＝60°，a 边长为 5. [例 3] 根据所给条件，判断△ABC 的形状． (1)若 acosA＝bcosB，则△ABC 形状为________． (2)若 a cosA ＝ b cosB ＝ c cosC ，则△ABC 形状为________． 解析：(1)由余弦定理得 acosA＝bcosB⇒a·(b 2＋c 2－a 2 2bc )＝b·(a 2＋c 2－b 2 2ac )⇒a 2 c 2－a 4－b 2 c 2＋b 4＝0， ∴(a 2－b 2 )(c 2－a 2－b 2 )＝0∴a 2－b 2＝0 或 c 2－a 2－b 2＝0 ∴a＝b 或 c 2＝a 2＋b 2 ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． (2)由正弦定理得sinA cosA ＝ sinB cosB ＝ sinC cosC 即 tanA＝tanB＝tanC，∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC 为等边三角形． [例 4] 已知△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且 a＝4，b＋c＝5，tanB＋ tanC＋ 3＝ 3tanB·tanC，则△ABC 的面积为( ) A. 3 4 B．3 3 C. 3 3 4 D. 3 4 解析：∵tanB＋tanC＋ 3＝ 3tanB·tanC， ∴tanB＋tanC＝－ 3(1－tanB·tanC)⇒ tanB＋tanC 1－tanB·tanC ＝－ 3⇒tan(B＋C)＝－ 3， ∴B＋C＝120°，∴A＝60°， 将 A＝60°，a＝4，b＋c＝5 代入 a 2＝b 2＋c 2－2bccosA， 得 16＝25－2bc－2bc· 1 2 ，∴bc＝3，∴S△ABC＝ 1 2 bcsinA＝ 3 3 4 ，故选 C. （三）变式训练
1.在△ABC中,(1)若A=105°,B=30°,c=6,则b= (2)若A=30°,a=3,b=4,则△ABC解的情况为() B.两解 C.无解 D.无法判定 2.(1)在△ABC中,角小、B、C的对边分别为a、b、c,若a+2-b=3a,则角B 的值为 (2)△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、C.若a、b、c成等比数列,且c=2a, 则cosB=() 3.(1)若a、b、c是△ABC的三边,直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离,则△ABC 定是() A.直角三角形 等边三角形 锐角三角形D.钝角三角形 ()在△ABC中,Co2=20(a、b,c分别为角AB、C的对边),则△ABC的形状为 A.直角三角形B.正三角形 C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形 4.(1)在△ABC中,已知A=60°,AB·AC=1, 则△ABC面积为 (2)若△ABC的周长等于20,面积是103,A=60°,则BC边的长是() D.8 课时小节 (1)已知两角和一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可 (2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论.这 是易错的地方,也是常考查的地方: (3)解三角形时,找三边一角之间的关系,常用余弦定理,两边两角之间的关系常用
1.在△ABC 中，(1)若 A＝105°，B＝30°，c＝6，则 b＝________. (2)若 A＝30°，a＝3，b＝4，则△ABC 解的情况为( ) A．一解 B．两解 C．无解 D．无法判定 2.(1) 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a 2＋c 2－b 2＝ 3ac，则角 B 的值为( ) A. π 6 B. π 3 C. π 6 或 5π 6 D. π 3 或 2π 3 (2)△ABC 的内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列，且 c＝2a， 则 cosB＝( ) A. 1 4 B. 3 4 C. 2 4 D. 2 3 3.(1)若 a、b、c 是△ABC 的三边，直线 ax＋by＋c＝0 与圆 x 2＋y 2＝1 相离，则△ABC 一 定是( ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 (2)在△ABC 中，cos 2B 2 ＝ a＋c 2c (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边)，则△ABC 的形状为 ( ) A．直角三角形 B．正三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4.（1)在△ABC 中，已知 A＝60°，AB → ·AC → ＝1， 则△ABC 面积为________． (2)若△ABC 的周长等于 20，面积是 10 3，A＝60°，则 BC 边的长是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 课时小节 (1)已知两角和一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可； (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论．这 是易错的地方，也是常考查的地方； （3）解三角形时，找三边一角之间的关系，常用余弦定理，两边两角之间的关系常用
正弦定理 (4)根据已知条件,适当选取定理,化边为角或化角为边,进行边角互化,是解决这 类问题的基本途径 课后作业《导与练》相关章节课时训练
正弦定理； （4）根据已知条件，适当选取定理，化边为角或化角为边，进行边角互化，是解决这 类问题的基本途径． 课后作业 《导与练》相关章节课时训练