2017春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时距离问 题课时作业新人教A版必修5 课时作业 基础巩固 一、选择题 1.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°, 灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为导学号54742114(D) B. v2 C. 2a km D. V3a km [解析]由图可知∠ACB=120°,则AB=a2+a2-26o9120°=3a,∴AB=√永m 故选 2.已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则 A、C两地的距离为导学号54742114(D) A. 10km B.√3km [解析]在△ABC中,AB=10,BC=20,∠ABC=120°,则由余弦定理,得 AC=AB+BC-2AB· Bcos∠ABC=100+400-2×10×20cos120° =100+4002×10×20×(2=700 ,AC=10,即A、C两地的距离为10√7km 3.一船向正北航行,看见正西方向有相距10 n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方 向上,则这艘船的速度是每小时导学号54742115(C A. 5n mlie n mlle C. 10n mlie D. 10\3n mlie [解析]如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°
1 2017 春高中数学 第 1 章 解三角形 1.2 应用举例 第1 课时 距离问 题课时作业 新人教 A 版必修 5 基 础 巩 固 一、选择题 1．两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°， 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 导学号 54742113 ( D ) A．a km B． 2a km C．2a km D． 3a km [解析] 由图可知∠ACB＝120°，则 AB 2＝a 2＋a 2－2a 2 cos120°＝3a 2，∴AB＝ 3akm. 故选 D． 2．已知 A、B 两地的距离为 10km，B、C 两地的距离为 20km，现测得∠ABC＝120°，则 A、C 两地的距离为 导学号 54742114 ( D ) A．10km B． 3km C．10 5km D．10 7km [解析] 在△ABC 中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120° ＝100＋400－2×10×20×(－ 1 2 )＝700， ∴AC＝10 7，即 A、C 两地的距离为 10 7km. 3．一船向正北航行，看见正西方向有相距 10n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上， 继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60°方向上，另一灯塔在船的南偏西 75°方 向上，则这艘船的速度是每小时 导学号 54742115 ( C ) A．5n mlie B．5 3n mlie C．10n mlie D．10 3n mlie [解析] 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°
∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10 在Rt△ABC中,求得AB=5, 这艘船的速度是 0.510(n mlie/h) 4.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300m和500m,测得灯塔A在观察站C北偏 东30°,灯塔B在观察站C正西方向,则两灯塔AB间的距离为导学号5474216(c A.500m B.600m C.700m D.800m [解析]根据题意画出图形如图 在△ABC中,BC=500,AC=300,∠ACB=120° 由余弦定理得,AB=AC2+BC2-2AC·BCos12 3002+5002-2×300×500×( =490000,∴AB=700(m) 5.要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行),由于受地理条件和测量工具的 限制,可采用如下办法:如图所示,在河的一岸边选取A、B两点,观察对岸的点C,测得 ∠CAB=45°,∠CB=75°,且AB=120m由此可得河宽为(精确到1m导学号5474217 C.95m D.8 [解析]在△ABC中,AB=120,∠CAB=45°,∠CBA=75°,则∠ACB=60°,由正弦 定理,得BC= 40 sIn60° 2
2 ∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而 CD＝CA＝10， 在 Rt△ABC 中，求得 AB＝5， ∴这艘船的速度是 5 0.5＝10(n mlie/h)． 4．某观察站 C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 300m 和 500m，测得灯塔 A 在观察站 C 北偏 东 30°，灯塔 B 在观察站 C 正西方向，则两灯塔 A、B 间的距离为 导学号 54742116 ( C ) A．500m B．600m C．700m D．800m [解析] 根据题意画出图形如图． 在△ABC 中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°， 由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BCcos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－ 1 2 ) ＝490 000，∴AB＝700(m)． 5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的 限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取 A、B 两点，观察对岸的点 C，测得 ∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且 AB＝120m 由此可得河宽为(精确到 1m) 导学号 54742117 ( C ) A．170m B．98m C．95m D．86m [解析] 在△ABC 中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦 定理，得 BC＝ 120sin45° sin60° ＝40 6
设△ABC中,AB边上的高为h,则b即为河宽 h=BC·sin∠CBA=40y6×sin75°≈95(m) 甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3km,甲船以&km/h的速度向正北方向航行,同时 乙船从B岛出发,以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15min时,两船的距离 是导学号54742118(B) C. 19km km [解析]由题意知AM=8×=2,BM=12×=3,MB=AB-AM=3-2=1,所以由余 弦定理得MV=MF+BP-2MB·Bos120°=1+9-2×1×3x(1)=13,所以M=v3km 二、填空题 7.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°方向航行30mile后, 看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离为1nmle.导学号5474211 [解析]如图所示,B是灯塔,A是船的初始位置,C是船航行后的位置, 则BC⊥AD,∠DAB=30° ∠DAC=60°,则在Rt△ACD中,DC= Actin∠DAC=30sin60°=15V3 n mile AD= Accos∠DAC=30cos60°=15 n mile 则在Rt△ADB中, DB=ADan∠DAB=15tan30°=5√3 n mile, oU] BC=DC-DB=15 3-5 3=10 3n mile 8.一船以24km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方 向上,15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上,则船在点B时与灯塔S的距 离是52km.(精确到0.1km)导学号54742120
3 设△ABC 中，AB 边上的高为 h，则 h 即为河宽， ∴h＝BC·sin∠CBA＝40 6×sin75°≈95(m) 6．甲船在湖中 B 岛的正南 A 处，AB＝3km，甲船以 8km/h 的速度向正北方向航行，同时 乙船从 B 岛出发，以 12km/h 的速度向北偏东 60°方向驶去，则行驶 15min 时，两船的距离 是 导学号 54742118 ( B ) A． 7km B． 13km C． 19km D． 10－3 3km [解析] 由题意知 AM＝8× 15 60＝2，BN＝12× 15 60＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余 弦定理得 MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－ 1 2 )＝13，所以 MN＝ 13km. 二、填空题 7．某船开始看见灯塔在南偏东 30°方向，后来船沿南偏东 60°方向航行 30n mile 后， 看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为 10 3 n mile. 导学号 54742119 [解析] 如图所示，B 是灯塔，A 是船的初始位置，C 是船航行后的位置， 则 BC⊥AD，∠DAB＝30°， ∠DAC＝60°，则在 Rt△ACD 中，DC＝ACsin∠DAC＝30sin60°＝15 3n mile， AD＝ACcos∠DAC＝30cos60°＝15 n mile， 则在 Rt△ADB 中， DB＝ADtan∠DAB＝15tan30°＝5 3n mile， 则 BC＝DC－DB＝15 3－5 3＝10 3n mile. 8．一船以 24 km/h 的速度向正北方向航行，在点 A 处望见灯塔 S 在船的北偏东 30°方 向上，15 min 后到点 B 处望见灯塔在船的北偏东 65°方向上，则船在点 B 时与灯塔 S 的距 离是 5.2 km.(精确到 0.1 km) 导学号 54742120
[解析]作出示意图如图.由题意知, 则AB=24×=6,∠ASB=35°,由正弦足理sin35° 可得BS≈5.2(k 三、解答题 9.如图,我炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面点C和D处,已知CD=6000 ∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B处时测得∠BCD=30°,∠BC=15° 求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号)导学号54742121 45°;6000 [分析]由于∠ADC=75°,∠BC=15°,∴∠ADB为直角.题中有多个三角形而抓住 △ABD为Rt△作为突破口可简化计算 [解析]在△ACD中,∠CAD=60 CD·sin30° 在△BCD中,∠CBD=135°,BD= sin135° ∠ADB=90° 在Rt△ABD中,AB=√AB+BF 142 =1000 42 10.一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20°的 方向,30min后航行到B处,在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向,已知距离此灯塔6.5n mil以外的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗?[导学号5474212
4 [解析] 作出示意图如图．由题意知， 则 AB＝24× 15 60＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理 6 sin35°＝ BS sin30°，可得 BS≈5.2(km)． 三、解答题 9.如图，我炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C 和 D 处，已知 CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面 B 处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°. 求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号) 导学号 54742121 [分析] 由于∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∴∠ADB 为直角．题中有多个三角形而抓住 △ABD 为 Rt△作为突破口可简化计算． [解析] 在△ACD 中，∠CAD＝60°， AD＝ CD·sin45° sin60° ＝ 6 3 CD． 在△BCD 中，∠CBD＝135°，BD＝ CD·sin30° sin135° ＝ 2 2 CD， ∠ADB＝90°. 在 Rt△ABD 中，AB＝ AD 2＋BD 2＝ 42 6 CD ＝1 000 42(m)． 10．一艘船以 32.2n mile/h 的速度向正北航行．在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 20°的 方向，30min 后航行到 B 处，在 B 处看灯塔在船的北偏东 65°的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？ 导学号 54742122
S 北 解析]在△ASB中,∠SB=15°,∠S=45°,由正弦定理,得SB=in20= lsin20° sin45°≈7.787( n mile).设点S到直线AB的距离为h,则h=SBin65°≈7.06(m mIe ∵砂》6.5 n mile,∴此船可以继续沿正北方向航行 能力提升 选择题 11.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km,船B在灯塔C西偏北25°且 到C的距离为k,则A、B两船的距离为导学号54742123(D) B 32km C. 15km D.V13 [解析]如图可知∠ACB=85°+(90°-2 150° AB=AC+BC2-2AC·BC·cos150°=13 ∴AB=y13. 12.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile 的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的M处,则这只船的航行速度为导学号54742124 2n mile/h B. 34\6n mile/h n mile/h n mlle 解析1如图所示,在△m中,楼。=B
5 [解析] 在△ASB 中，∠SBA＝115°，∠S＝45°.由正弦定理，得 SB＝ ABsin20° sin45° ＝ 16.1sin20° sin45° ≈7.787(n mile)．设点 S 到直线 AB 的距离为 h，则 h＝SBsin65°≈7.06(n mile)． ∵h>6.5n mile，∴此船可以继续沿正北方向航行． 能 力 提 升 一、选择题 11．已知船 A 在灯塔 C 北偏东 85°且到 C 的距离为 2km，船 B 在灯塔 C 西偏北 25°且 到 C 的距离为 3km，则 A、B 两船的距离为 导学号 54742123 ( D ) A．2 3km B．3 2km C． 15km D． 13km [解析] 如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°， AC＝2，BC＝ 3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC·cos150°＝13， ∴AB＝ 13. 12．一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68n mile 的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 导学号 54742124 ( A ) A． 17 6 2 n mile/h B．34 6n mile/h C． 17 2 2 n mile/h D．34 2n mile/h [解析] 如图所示，在△PMN 中， PM sin45°＝ MN sin120°
17 mile/h) 12 13.如图,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向 线的水平角)为140°的方向航行.为了确定船的位置,船在B点观测灯塔A的方位角为 110°,航行h到达C点,观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的 距离是导学号54742125(B) A. 10km B.10√2km C. 15km D.15√2km [解析]在△ABC中,BC=40×=20(km),∠ABC=140°-110°=30°,∠ACB (180°-140°)+65°=105° 则A=180°-(30°+105°)=45° 由正弦定理,得 BC·sin∠ABC20·sin30° 二、填空题 14.海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船,在商船的正 东方有一艘海盗船正向它靠近,速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站107n mil,0min后测得海盗船距观测站20nn1ie,再过min,海盗船到达商 船.导学号54742126 [解析]如下图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处,20min后,海 盗船到达D处,在△ADC中,AC=10,AD=20,CD=30,由余弦定理,得
6 ∴MN＝ 68× 3 2 2 2 ＝34 6，∴v＝ MN 4 ＝ 17 6 2 (n mile/h)． 13．如图，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向 线的水平角)为 140°的方向航行．为了确定船的位置，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°，航行1 2 h 到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65°，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的 距离是 导学号 54742125 ( B ) A．10km B．10 2km C．15km D．15 2km [解析] 在△ABC 中，BC＝40× 1 2 ＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝ (180°－140°)＋65°＝105°， 则 A＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得 AC＝ BC·sin∠ABC sinA ＝ 20·sin30° sin45° ＝10 2(km)． 二、填空题 14．海上一观测站测得方位角 240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正 东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时 90n mile.此时海盗船距观测站 10 7n mile,20min 后测得海盗船距观测站 20n mlie ，再过 40 3 min ，海盗船到达商 船. 导学号 54742126 [解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于 A、B、C 处，20min 后，海 盗船到达 D 处，在△ADC 中，AC＝10 7，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得
AD+C-AC400+900-7001 cos∠ADC= 2AD·CD 2×20×302 ∠ADC=60°,在△ABD中,由已知得∠ABD=30°, ∠BAD=60°-30°=30° BD=AD=20,×60=(min) 15.如图,一艘船上午8:00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正 北方向匀速航行,上午8:30到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它 相距4 v2n mile,则此船的航行速度是16nmle/h.l导学号54742127 [解析]在△ABS中,∠A=30°,∠ABS=105° ∠ASB=45° BS BS=4 sina sin∠ASB √2 B5S·sin∠ASB ∴上午8:00在A地,8:30在B地 航行0.5小时的路程为8 n mile 此船的航速为16 n mile/h 三、解答题 16.海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮北偏东75°,距离为12 n mile;在A处看 灯塔G,在货轮的北偏西30°,距离为8√3 n mile:货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔 B的方位角为120°求:[导学号54742128 (1)A处与D处的距离 (2)灯塔C与D处之间的距离 [解析]由题意,画出示意图,如图所示
7 cos∠ADC＝ AD 2＋CD 2－AC 2 2AD·CD ＝ 400＋900－700 2×20×30 ＝ 1 2 . ∴∠ADC＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD＝30°， ∠BAD＝60°－30°＝30°， ∴BD＝AD＝20， 20 90×60＝ 40 3 (min)． 15.如图，一艘船上午 8︰00 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°处，之后它继续沿正 北方向匀速航行，上午 8︰30 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处，且与它 相距 4 2n mile，则此船的航行速度是 16 n mile/h. 导学号 54742127 [解析] 在△ABS 中，∠A＝30°，∠ABS＝105°， ∴∠ASB＝45°， ∵BS＝4 2， BS sinA ＝ AB sin∠ASB ， ∴AB＝ BS·sin∠ASB sinA ＝ 4 2× 2 2 1 2 ＝8， ∵上午 8︰00 在 A 地，8︰30 在 B 地， ∴航行 0.5 小时的路程为 8n mile， ∴此船的航速为 16n mile/h. 三、解答题 16．海上某货轮在 A 处看灯塔 B，在货轮北偏东 75°，距离为 12 6n mile；在 A 处看 灯塔 C，在货轮的北偏西 30°，距离为 8 3n mile；货轮向正北由 A 处航行到 D 处时看灯塔 B 的方位角为 120°.求： 导学号 54742128 (1)A 处与 D 处的距离； (2)灯塔 C 与 D 处之间的距离． [解析] 由题意，画出示意图，如图所示．
(1)在△ABD中,由已知∠ADB=60°,则B=45 由正弦定理,得 ABin45° sin60°=24( n mile) 2)在△ADC中,由余弦定理,得 Ci=AF+AC-2ADX ACcos30 242+(8V3)2-2×24X83×y=(83) ∴CD=83( n mile) 答:A处与D处之间距离为24 n mile,灯塔C与D处之间的距离为8√3 n mile 17.如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量, 已知AB=50m,BC=120m,于A处测得水深A=80m,于B处测得水深BE=200m,于C处测 得水深CF=110m,求∠DEF的余弦值.导学号54742 [解析]由题意可得D=503+1203=1302, DF=1702+302=29800, EF=1202+902=1502, 由余弦定理,得cos∠DEF
8 (1)在△ABD 中，由已知∠ADB＝60°，则 B＝45°. 由正弦定理，得 AD＝ ABsin45° sin60° ＝24(n mile) (2)在△ADC 中，由余弦定理，得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD×ACcos30° ＝242＋(8 3) 2－2×24×8 3× 3 2 ＝(8 3) 2， ∴CD＝8 3(n mile) 答：A 处与 D 处之间距离为 24n mile，灯塔 C 与 D 处之间的距离为 8 3n mile. 17．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A、B、C 三点进行测量， 已知 AB＝50m，BC＝120m，于 A 处测得水深 AD＝80m，于 B 处测得水深 BE＝200m，于 C 处测 得水深 CF＝110m，求∠DEF 的余弦值. 导学号 54742129 [解析] 由题意可得 DE 2＝502＋1202＝1302， DF 2＝1702＋302＝29800， EF 2＝1202＋902＝1502， 由余弦定理，得 cos∠DEF＝ 16 65