高考数学第2课时高度问题 课程目标· 1.复习巩固正弦定理、余弦定理 2.能够用正弦定理、余弦定理解决高度问题. 是知识: 1.正弦定理 (1)定理:在△ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,b,c,则各边和它所对角的正 弦的比 A B (2)应用:正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题 ①已知 和任意一边,求另两边和另一角 ②已知和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求其他的边和角 【做一做1】在△ABC中,A=30°,B=45,a=√E,则b= 2.余弦定理 (1)定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的 的积的两倍,即a2=b2+c2-2 bcos A,b2=a2+c2-2 accos B,c2 b2+c2-a2 2推论:cosA a2+c2- COs C= (3)应用:余弦定理可以用来解决两类解三角形的问题: ①已知三角形的三边,求三角形的三个角 ②已知三角形的两边和它们的夹角,求三角形的第三边和其他两个角 【做一做2】在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=V万,c √3,则B= 3.测量中的有关概念 (1)坡角:坡面与 的夹角,如图所示,a为坡角 2)坡比:坡面的铅直高度与 之比,即i==tana,如图所示 (3)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和 视线的夹角,目 标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示) ∠目标视线 铅/仰角 线俯角水平视线 垂K 目标视线 (4)铅直平面:铅直平面是指与海平面的平面 (5)基线:在测量上,根据测量需要适当确定的线段 【做一做】2C(2)①两角②两边 答案:1.(1)相等 2.(1)余弦a+b2-20sc(22+bc
高考数学 第 2 课时 高度问题 1．复习巩固正弦定理、余弦定理． 2．能够用正弦定理、余弦定理解决高度问题． 1．正弦定理 (1)定理：在△ABC 中，若角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，则各边和它所对角的正 弦的比______，即 a sin A ＝ b sin B ＝________. (2)应用：正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知______和任意一边，求另两边和另一角； ②已知______和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其他的边和角． 【做一做 1】 在△ABC 中，A＝30°，B＝45°，a＝ 2，则 b＝__________. 2．余弦定理 (1)定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的______的积的两倍，即 a 2＝b 2＋c 2－2bccos A，b 2＝a 2＋c 2－2accos B，c 2＝________. (2)推论：cos A＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ，cos B＝ a 2＋c 2－b 2 2ac ，cos C＝__________________. [来源:学&科&网] (3)应用：余弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知三角形的三边，求三角形的三个角； ②已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角．[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 【做一做 2】 在△ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝__________. 3．测量中的有关概念 (1)坡角：坡面与________的夹角，如图所示，α为坡角． (2)坡比：坡面的铅直高度与________之比，即 i= h l =tan α，如图所示． (3)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和________视线的夹角，目 标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)． (4)铅直平面：铅直平面是指与海平面______的平面． (5)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段． 答案：1．(1)相等 c sin C (2)①两角 ②两边 【做一做 1】 2 2．(1)余弦 a 2＋b 2－2abcos C (2) a 2＋b 2－c 2 2ab
【做一做2】 3.(1)水平面(2)水平宽度(3)目标(4)垂直 重点难点· 1.高度问题 剖析:测量底部不可到达的建筑物的高度问题,由于底部不可到达,这类问题不能直接 用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可 到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题 纳活 在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余弦定理,构造两角(两 个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边,如下图 2.利用解三角形解决实际问题 剖析:解斜三角形知识在生产实践中有着广泛的应用,解与斜三角形有关的实际问题的 过程,贯穿了数学建模的思想.这种思想就是从实际出发,经过抽象概括,把它转化为具体 问题中的数学模型,然后通过推理演算,得出数学模型的解,再还原成实际问题的解.上述 思维过程可以用下图表示 实际问题 数学问题 结论1 解三角形 解斜三角形应用题的一般步骤是 (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图,化实际问题为数学问题 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中 建立一个解斜三角形的数学模型 (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 曲型例题· 题型一测量能看到底部但不可到达的物体的高度 【例题1】如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个 测量点C和D现测得∠BCD=a,∠BDC=B,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为O 求塔高AB
【做一做 2】 5π 6 3．(1)水平面 (2)水平宽度 (3)目标 (4)垂直 1．高度问题 剖析：测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接 用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可 到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题． 在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角(两 个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边，如下图． 2．利用解三角形解决实际问题 剖析：解斜三角形知识在生产实践中有着广泛的应用，解与斜三角形有关的实际问题的 过程，贯穿了数学建模的思想．这种思想就是从实际出发，经过抽象概括，把它转化为具体 问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解．上述 思维过程可以用下图表示．[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 解斜三角形应用题的一般步骤是： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图，化实际问题为数学问题． (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数学模型． (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解． (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 题型一 测量能看到底部但不可到达的物体的高度 【例题 1】 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个 测量点 C 和 D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ， 求塔高 AB
分析:先利用三角形内角和定理求出∠CBD的度数,再利用正弦定理求出BC的长, 最后在△ABC中求出AB即为塔高 题型二测量不能看到底部且不可到达的物体的高度 【例题2】如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为a,在塔底C处 测得点A的俯角为β,已知铁塔BC部分的高为h,求山高CD 分析:根据已知条件,应该先设法计算出AB的值,再在Rt△ABD中解得BD 答案:【例题1】解:在△BCD中,∠BCD=a,∠BDC=B, ∠CBD=1809-(a+B), sinB sin [180-(atB)I sin B sin0a+B)…BC=SmB n(atB) AB 在△ABC中,由于∠ABC=909, BAtan Ab=BC. tan 0 sin Btan 【例题2】解:在△ABC中 ∠BCA=90°+B,∠ABC=900-a,∠BAC=a-B,∠BAD=a, 则 n(a-B)sin(90°+B B= Csin(90°+B sin(a-B) 在Rt△ABD中,BD= d Bsin∠BAD BCsin(90°+B) sin a hsin(90°+B)si CD=BD-BC= sno°+Bsna-sma=Bn B 随堂练彐·国 1如图,从山顶A望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD 0米,点C位于BD上,则山高AB等于() A.100米 503米 50√2米 √3+1)米 2如图,线段AB,CD分别表示甲、乙两楼,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测 得乙楼顶部C的仰角为a=30°,测得乙楼底部D的俯角B=60°,已知甲楼高AB=24米 则乙楼高CD=米
分析：先利用三角形内角和定理求出∠CBD 的度数，再利用正弦定理求出 BC 的长， 最后在△ABC 中求出 AB 即为塔高． 题型二 测量不能看到底部且不可到达的物体的高度 【例题 2】 如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A的俯角为 α，在塔底 C 处 测得点 A 的俯角为 β，已知铁塔 BC 部分的高为 h，求山高 CD. 分析：根据已知条件，应该先设法计算出 AB 的值，再在 Rt△ABD 中解得 BD. 答案：【例题 1】 解：在△BCD 中，∠BCD＝α，∠BDC＝β， ∴∠CBD＝180°－(α＋β)， ∴ BC sin β ＝ s sin [180°－(α＋β)] ， 即 BC sin β ＝ s sin(α＋β) .∴BC＝ sin β sin(α＋β) ·s. 在△ABC 中，由于∠ABC＝90°，∴ AB BC＝tan θ. ∴AB＝BC·ta n θ＝ sin β·tan θ sin(α＋β) ·s. 【例题 2】 解：在△ABC 中， ∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α， 则 BC sin(α－β) ＝ AB sin(90°＋β) ， ∴AB＝ BCsin(90°＋β) sin(α－β) . 在 Rt△ABD 中，BD＝ABsin∠BAD ＝ BCsin(90°＋β)sin α sin(α－β) ＝ hsin(90°＋β)sin α sin(α－β) ， ∴CD＝BD－BC＝ sin(90°＋β)sin α－sin(α－β) sin(α－β) h. 1 如图，从山顶 A 望地面上 C，D 两点，测得它们的俯角分别为 45°和 30°，已知 CD＝ 100 米，点 C 位于 BD 上，则山高 AB 等于( ) A．100 米 B．50 3 米 C．50 2 米 D．50( 3 1) + 米 2 如图，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部 A 处测 得乙楼顶部 C 的仰角为 α＝30°，测得乙楼底部 D 的俯角 β＝60°，已知甲楼高 AB＝24 米， 则乙楼高 CD＝__________米．
3如图,A,B是海平面上的两个点,相距800m,在A点测得山顶C的仰角为45° BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D是点C到水平面的射影,求山高CD 4如图所示,在高出地面30m的小山顶上建造一座电视塔CD,在距离B点60m的地 面上取一点A,若测得∠CAD 求此电视塔的高度 图,为了测量某塔的高度,测量人员站在A处测得塔尖C的仰角为75.5°,前进38.5 在B处测得塔尖的仰角为80°,试计算塔的高度 D 谷案:1.D2.32 3.解:在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15° AB AD sin15°sin45° AB Sin 45 得AD= n 15 =800√3+1)(m) ∵CD⊥平面ABD,∠CAD=45 CD=AD=803+1)(m) 山高CD为80(√3+1)m
3 如图，A，B 是海平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45°， ∠BAD＝120°，又在 B 点测得∠ABD＝45°，其中 D 是点 C 到水平面的射影，求山高 CD. 4 如图所示，在高出地面 30 m 的小山顶上建造一座电视塔 CD，在距离 B 点 60 m 的地 面上取一点 A，若测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度． 5如图，为了测量某塔的高度，测量人员站在 A 处测得塔尖 C 的仰角为 75.5°，前进 38.5 m 后，在 B 处测得塔尖的仰角为 80°，试计算塔的高度． 答案：1．D 2.32 3．解：在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°. 由 sin15 sin 45 AB AD = ， 得 AD＝ 2 800 sin 45 2 sin15 6 2 4 AB = − ＝800( 3 ＋1)(m)． ∵CD⊥平面 ABD，∠CAD＝45°， ∴CD＝AD＝800( 3 ＋1)(m)． ∴山高 CD 为 800( 3 ＋1) m
4.解:设CD=xm,∠BAC=a,则tana 60 又∠DAB=45°+a an∠DAB=tan(45°+a tan45°+tana -tan45°tana BD x+30 又tan∠DAB AB x+30 603,∴x=150 ∴电视塔的高度为150m. 5.解:∵∠CAD=75.5°,∠CBD=80° ∠ACB=4.5° AB 在△ABC中,由正弦定理,得 sin∠ ACB sin∠BAC ABsin∠BAC38.5sin75.5° BC: 475 sin∠ACB sin4.5° CD= BC. sir80°≈468 塔的高度约为468m
4．解：设 CD＝x m，∠BAC＝α，则 tan α＝ 30 1 60 2 = . 又∠DAB＝45°＋α， ∴tan∠DAB＝tan(45°＋α)＝ tan 45 tan 1 tan 45 tan + − ＝3. 又 tan∠DAB＝ 30 60 BD x AB + = ， ∴ 30 60 x + ＝3，∴x＝150 ∴电视塔的高度为 150 m. 5．解：∵∠CAD＝7 5.5°，∠CBD＝80°， ∴∠ACB＝4.5°. 在△ABC 中，由正弦定理，得 sin sin AB BC ACB BAC = ， ∴BC＝ sin 38.5sin 75.5 sin sin 4.5 AB BAC ACB = ≈475. ∴CD＝BC·sin 80°≈468. ∴塔的高度约为 468 m