31不等关系与不等式 第一课时 三维目标 知识与技能 1通过具体情境建立不等观念,并能用不等式或不等式组表示不等关系; 2.了解不等式或不等式组的实际背景; 3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题 4.利用数轴,数形结合回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式 的大小 过程与方法 1.采用探究法,按照阅读、思考、交流、分析,抽象归纳出数学模型,从具体到抽象再 从抽象到具体的方法进行启发式教学 2教师提供问题、素材,并及时点拨,发挥老师的主导作用和学生的主体作用 3.设计较典型的现实问题,激发学生的学习兴趣和积极性 三、情感态度与价值观 1通过具体情境,让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系 鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象,使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学 学习态度 2学习过程中,通过对问题的探究思考、广泛参与,培养学生严谨的思维习惯,主动 积极的学习品质,从而提高学习质量 3通过对富有实际意义问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度 同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的简洁美,激发学生的学习兴趣 教学过程 导入新课 (1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不小于第一宇宙速度,且小于第二宇宙速度 (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免费携带物品--杆状物不超过200cm,重量不得超过 20k (3)我们班的数学成绩高于平行班的成绩 问题:上面的不等关系是用什么不等词表示的 思考一下什么是不等式? 推进新课:我们用数学符号“≠”,“>”,“<”,“≥”,“≤”连接两个数或代数式,以表示 它们之间的不等关系含有这些不等号的式子叫做不等式 师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来,也就是建立不等式数学模型的过程 通过对不等式数学模型的研究,反过来作用于我们的现实生活,这才是我们学习数学的最终 目的 [合作探究]用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来 (1)右图是限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过 (2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功我们知道,它的飞行速度(v)不小于第 宇宙速度(记作v1),且小于第二宇宙速度(记v2) (3某品牌酸奶的质量检査规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不 少于2.3%
3.1 不等关系与不等式 第一课时 三维目标 一、知识与技能 1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系； 2.了解不等式或不等式组的实际背景； 3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题. 4.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式 的大小 二、过程与方法 1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再 从抽象到具体的方法进行启发式教学； 2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用； 3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系， 鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学 学习态度； 2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、 积极的学习品质，从而提高学习质量； 3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度， 同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣. 教学过程 导入新课： (1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不小于第一宇宙速度 ,且小于第二宇宙速度 (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免费携带物品 ------杆状物不超过 200cm,重量不得超过 20kg (3)我们班的数学成绩高于平行班的成绩 问题:上面的不等关系是用什么不等词表示的? 思考一下什么是不等式？ 推进新课：我们用数学符号“≠”，“>”，“<”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示 它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. 师 能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程， 通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终 目的. ［合作探究］用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来 (1)右图是限速 40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40km/h . (2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度( v )不小于第 一宇宙速度(记作 v1 ),且小于第二宇宙速度(记 v2 ). (3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少于 2.5%，蛋白质的含量 p 应不 少于 2.3%
[合作探究] 【问题2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本据市场调查,若单价每提高 0.1元,销售量就可能相应减少2000本若把提价后杂志的定价设为x元怎样用不等式表示销 售的总收入仍不低于20万元呢? 生可设杂志的定价为x元,则销售量就减少-2.5×02万本 0.1 师那么销售量变为多少呢?如何表示? 2.5 生可以表示为(8 ×0.2)万本,则总收入为(8 01-×0.2)x万元 〔老师板书,即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为(8 x-2.5 ×0.2)x≥20 师是否有同学还有其他的解题思路? 生可设杂志的单价提高了01n元,(n∈N'), (下面有讨论的声音,有的同学存在疑问,此时老师应密切关注学生的思维状况) 师为什么可以这样设? 生我只考虑单价的增量 师很好,请继续讲. 生那么销售量减少了0.2n万本,单价为2.5+0.1n)元,则也可得销售的总收入为不低于20 万元的不等式,表示为(2.5+0.1n)(80.2n)20 师这位同学回答得很好,表述得很准确请同学们对两种解法作比较. (留下让学生思考的时间) 师请同学们继续思考第三个问题 [合作探究] 【问题3】某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种按照生产的 要求600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍怎样写出满足上述所有不等关系的不 等式? 师假设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根根据题意,应当有什么样的不 等量关系呢? 生截得两种钢管的总长度不能超过4000mm. 生截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍 生截得两种钢管的数量都不能为负 师上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢? 生它们要同时满足条件,应该是且的关系 生由实际问题的意义,还应有xy∈N 师这位同学回答得很好,思维很严密那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等 关系呢? 生要同时满足上述三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示: 500x+600y≤40000 ≥y x≥0 ≥0, x,y∈N 师这位同学回答很准确通过上述三个问题的探究,同学们对如何用不等式或不等组把实际
［合作探究］ 【问题 2】 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本.据市场调查,若单价每提高 0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销 售的总收入仍不低于 20 万元呢? 生 可设杂志的定价为 x 元，则销售量就减少 0.2 0.1 2.5 x − 万本. 师 那么销售量变为多少呢？如何表示？ 生 可以表示为 0.2) 0.1 2.5 (8 − − x 万本，则总收入为 x x 0.2) 0.1 2.5 (8 − − 万元. 〔老师板书，即销售的总收入为不低于 20 万元的不等式表示为 0.2) 0.1 2.5 (8 − − x x≥20〕 师 是否有同学还有其他的解题思路？ 生 可设杂志的单价提高了 0.1n 元，(n∈N * )， （下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况） 师 为什么可以这样设？ 生 我只考虑单价的增量. 师 很好，请继续讲. 生 那么销售量减少了 0.2n 万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于 20 万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20. 师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较. （留下让学生思考的时间） 师 请同学们继续思考第三个问题. ［合作探究］ 【问题 3】 某钢铁厂要把长度为 4 000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种,按照生产的 要求,600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管的3 倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不 等式? 师 假设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600 mm 的钢管 y 根.根据题意，应当有什么样的不 等量关系呢？ 生 截得两种钢管的总长度不能超过 4 000 mm. 生 截得 600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管的 3 倍. 生 截得两种钢管的数量都不能为负. 师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？ 生 它们要同时满足条件，应该是且的关系. 生 由实际问题的意义，还应有 x,y∈N. 师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等 关系呢？ 生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： + , . 0, 0, 3 , 500 600 40000, x y N y x x y x y 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际
问题中所隐含的不等量关系表示出来,这一点掌握得很好请同学们再完成下面这个练 习 课堂练习 练习可让学生板演,老师结合学生具体完成情况作评析,特别应注意x0y≥0,xy∈N) [教师精讲] 师若点A对应的实数为a,点B对应的实数为b,因为点A在点B的左边,所以可得a>ba >b表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数,即a>b→a-b>0它的逆命题是否正 确? 生显然正确 师类似地,如果ab→a-b>0a=b→a-b=0a0,从而(x2+1)2>x4+x2+1 (学生对ⅹ≠0,得x2>0在说理过程中往往会忽略) 师下面我们来看一组比较复杂的问题,请大家都来开动脑筋,认真审题,仔细分析 (让学生板演,老师根据学生的完成情况作点评) 【例1】比较下列各组数的大小(a+b) 9+b( 与 (a>0,b>0); (2)a4-b4与4a3(a-b) 师比较两个实数的大小,常根据实数的运算性质与大小顺序的关系,归结为判断它们的差 的符号来确定 解:(1) a+b 2 a+b 2ab (a+b)2-4ab (a-b) 2 2a+b2(a+b)2(a+b a>0,b>0且a+b,a+b>0,(a-b)2>0 0,即+b 2(a+b) b
问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练 习. 课堂练习 （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意 x≥0,y≥0,x,y∈N） ［教师精讲］ 师 若点Ａ对应的实数为 a，点Ｂ对应的实数为 b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得 a＞b.a ＞b 表示 a 减去 b 所得的差是一个大于０的数即正数，即 a＞b a-b＞0.它的逆命题是否正 确？ 生 显然正确. 师 类似地，如果 a＜b，则 a 减去 b 是负数，如果 a=b，则 a 减去 b 等于０，它们的逆命题 也正确.一般地, a＞b a-b＞0;a=b a-b=0;a＜b a-b＜0. 师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边 不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实 数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解 不等式的主要依据. 师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？ 生 只要考察它们的差就可以了. 师 很好.请同学们思考下面这个问题. (此时，老师用投影仪给出问题) ［合作探究］ 【问题 1】 已知 x≠0，比较(x2+1)2 与 x 4+x2+1 的大小. （问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识) （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：(x2+1)2－x 4 -x 2 -1=x4+2x2+1-x 4 -x 2 -1=x2， 由 x≠0，得 x 2＞0，从而(x2+1)2＞x 4+x2+1. （学生对 x≠0，得 x 2＞0 在说理过程中往往会忽略） 师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析. （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 【例 1】 比较下列各组数的大小（a≠b）. (1) 2 a + b 与 a b 1 1 2 + (a＞0,b＞0); （2）a 4－b 4 与 4a 3（a－b）. 师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差 的符号来确定. 解：（1） 2( ) ( ) 2( ) 2 ( ) 4 1 1 2 2 2 2 2 a b a b a b a b ab a b a b ab a b a b + − = + + − = + − + = + − + ， ∵a＞0,b＞0 且 a≠b,∴a+b＞0,(a-b) 2＞0. ∴ a b a b a b a b 1 1 2 2 0, 2( ) ( ) 2 + + + − ＞ 即 ＞
(2)a-b4-4a(a-b) (a-b)(a+b)(a2+b2)4a(a-b) (a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3) =(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a2)H(b3a)] b)2(3a2+2ab+b2) (a-b)2[2a2+(a+b)2], 2a2+(a+b)20当且仅当a=b=0时取等号 又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0 ∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0 ∴a4-b4<4a3(a-b) 师同学们完成得很好,证明不等式时,应注意有理有据、严谨细致,还应条理清晰比较大 小常用作差法,一般步骤是作差—变形—一判断符号变形常用的手段是分解因式和配方 前者将“差”变为“积”,后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”,也可两者并用 课堂小结 师通过今天的学习,你学到了什么知识,有何体会? 生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题 生数学就在我们的身边,与我们的生活联系非常紧密,我更加喜爱数学了 生本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组,并且用它 来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题 师我来补充一下,在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时 思维要严密、规范,并且要注意数形结合等思想方法的综合应用. (慢慢培养学生学会自己来归纳总结,将所学的知识,结合获取知识的过程与方法,进行回 顾与反思,从而达到三维目标的整合进而培养学生的概括能力和语言表达能力) 布置作业 第84页习题3.1A组4、5 板书设计 不等关系与不等式(一) 实例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 实例剖析(知识方法应用) 小结 实际问题中不等量关系 示范解题 第二课时 授课类型:新授课 【三维目标】 1.知识技能:掌握不等式的基本性质,会用不等式的性质证明简单的不等式; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的 方法; 3.情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式 【教学过程】 1课题导入
（2）a 4 -b 4 -4a 3 (a-b) =(a-b)(a+b)(a 2+b 2 )-4a 3 (a-b) =(a-b)(a 3+a 2b+ab2+b 3 -4a 3 ) =(a-b)［(a 2b-a 3 )+(ab2 -a 3 )+(b 3 -a 3 )］ =-(a-b) 2 (3a 2+2ab+b 2 ) =-(a-b) 2［2a 2+(a+b) 2］, ∵2a 2+(a+b) 2≥0(当且仅当 a=b=0 时取等号), 又 a≠b,∴(a-b) 2＞0,2a 2+(a+b) 2＞0. ∴-(a-b) 2［2a 2+(a+b) 2］＜0. ∴a 4 -b 4＜4a 3 (a-b). 师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大 小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方， 前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用. 课堂小结 师 通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？ 生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题. 生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了. 生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它 来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题. 师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时， 思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用. （慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回 顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力） 布置作业 第 84 页习题 3.1A 组 4、5. 板书设计 不等关系与不等式（一） 实例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结 实际问题中不等量关系？ 示范解题 第二课时 授课类型：新授课 【三维目标】 1．知识技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的 方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】 1.课题导入
在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质。请同学们回忆初中不等式的的基本性质 (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变: 即若a>b→a土c>b土C (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变 即若a>bc>0=ac>bc (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变。 即若a>b,c0 a+c>b+c (a+c)-(b+c)=a-b>0 a+c>b+c 实际上,我们还有口>bb>c→a>C,(证明:∵a>b,b>c,∴a-b>0,b-c>0 根据两个正数的和仍是正数,得(a-b)+(b-c)>0,即a-c>0,∴a>c 于是,我们就得到了不等式的基本性质: (1)a>b,b>c→a>C (2)a>b→a+c>b+c (3)a>b,c>0→aC>bc (4)a>b,cb.c>d→a+c>b+d (2)a>b>0,c>d>0C>bd (3)a>b>0n∈N,n>1→a">b",a>b 证明 1)∵a>b, +c>b+ ∴b+c>b+d 由①、②得a+c>b+d b,c>0 bc 2)c>db>0=b>/→ac>bM 3)反证法)假设a≤b
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变； 即若 a b a c b c （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变； 即若 a b c ac bc , 0 （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。 即若 a b c ac bc , 0 2.讲授新课 1、不等式的基本性质： 师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？ 证明： 1）∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0， ∴a＋c＞b＋c 2） ( ) ( ) 0 a c b c a b + − + = − ， ∴ a c b c + + ． 实际上，我们还有 a b b c a c , ，（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0． 根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即 a－c＞0，∴a＞c． 于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1） a b b c a c , （2） a b a c b c + + （3） a b c ac bc , 0 （4） a b c ac bc , 0 2、探索研究 思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （1） a b c d a c b d + + , ； （2） a b c d ac bd 0, 0 ； （3） 0, , 1 ; n n n n a b n N n a b a b 。 证明： 1）∵a＞b， ∴a＋c＞b＋c． ① ∵c＞d， ∴b＋c＞b＋d． ② 由①、②得 a＋c＞b＋d． 2） ac bd c d b bc bd a b c ac bc , 0 , 0 3）反证法）假设 n n a b
右 b这都与a>b矛盾 [范例讲解] 例1、已知4>b>0,cb>0,所以ab>0ab0 ax b 于是 由cb>0时,log2a 答案:(1)<(2)<(3)<(4)< [补充例题] 例2、比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小 分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开, 合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竟是多少,在这里无关 紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化 为实数运算符号问题。 解:由题意可知: (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4) (a2-2a-15)-(a2-2a-8) 7<0 ∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4)
则：若 n n n n a b a b a b a b = = 这都与 a b 矛盾， ∴ n n a b ． [范例讲解]： 例 1、已知 a b c 0, 0, 求证： c c a b 证明：以为 a b 0 ，所以 ab>0, 1 0 ab 。 于是 1 1 a b ab ab ，即 1 1 b a 由 c<0 ，得 c c a b 3.随堂练习 1 1、课本 P82 的练习 3 2、在以下各题的横线处适当的不等号： (1)（ 3 ＋ 2 ）2 ６＋2 6 ； （2）（ 3 － 2 ）2 （ 6 －1）2； （3） 5 2 1 − 6 5 1 − ； (4)当 a＞b＞0 时， log 2 1 a log 2 1 b 答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜ [补充例题] 例 2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开， 合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关 紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化 为实数运算符号问题。 解：由题意可知： （a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4） ＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８） ＝－７＜0 ∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
随堂练习2 比较大小: (1)(x+5)(x+7)与(x+6)2 (2)x2+5x+6与2x2+5x+9 4课时小结 本节课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证明了一些简单的不等式,还研究了如何比 较两个实数(代数式)的大小—一作差法,其具体解题步骤可归纳为: 第一步:作差并化简,其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式 第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论 第三步:得出结论 5.评价设计 课本P83习题3.1[A组第2、3题;B组第1题 【板书设计】 (1)a>bb>c→a>c (2)a>b→a+c>b+c (3)a>b,c>0→aC>bc (4)a>b,cbC>d→a+c>b+d(6)q>b>0,c>d>0→ac>b (7)ab>0=>a>b"(n∈N) (8a>b>0→Va>Vb>0n∈N,n≥2) 第三课时 【三维目标】 1.知识技能:掌握不等式的基本性质及其运用 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的 方法; 3.情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力、探究能力 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式; 【教学难点】 深刻理解不等式的性质7、8和不等式的灵活运用 【教学过程】 1.复习导入:不等式的8个性质。 【设计意图】检阅学生对知识点的熟练程度 2归纳性质,提升认知能力 思索探究一:你能将不等式的8个性质浓缩一下吗? 分四类:对称性、传递性、加法法则、乘法法则 思索探究二:你能将乘方法则、开方法则与幂函数结合起来进行证明和拓展吗? 思维升华:a>b>0→a2>b>0n∈R+) 【设计意图】培养学生梳理知识、整合知识的能力,帮助学生形成深思考,透过现象看本 质的意识
随堂练习 2 比较大小： （1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2 （2） 2 2 x x x x + + + + 5 6 2 5 9 与 4.课时小结 本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比 较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为： 第一步：作差并化简，其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第三步：得出结论 5.评价设计 课本 P83 习题 3.1[A 组]第 2、3 题；[B 组]第 1 题 【板书设计】 （1） a b b c a c , （2） a b a c b c + + （3） a b c ac bc , 0 （4） a b c ac bc , 0 （5） a b c d a c b d + + , （6） a b c d ac bd 0, 0 （7）a>b>0=>an>bn (n∈N+ ) (8)a＞b＞0⇒ n a＞ n b＞0(n∈N，n≥2)． 第三课时 【三维目标】 1．知识技能：掌握不等式的基本性质及其运用； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的 方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力、探究能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学难点】 深刻理解不等式的性质 7、8 和不等式的灵活运用。 【教学过程】 1.复习导入：不等式的 8 个性质。 【设计意图】检阅学生对知识点的熟练程度。 2.归纳性质，提升认知能力。 思索探究一：你能将不等式的 8 个性质浓缩一下吗？ 分四类：对称性、传递性、加法法则、乘法法则。 思索探究二：你能将乘方法则、开方法则与幂函数结合起来进行证明和拓展吗？ 思维升华：a＞b＞0⇒a n＞b n＞0(n∈R+)． 【设计意图】培养学生梳理知识、整合知识的能力，帮助学生形成深思考，透过现象看本 质的意识
3.例题讲解 题型一利用不等式性质判断命题真假 例1对于实数a,bc,下列命题中正确的是() A.若a>b,则ac2>bc2 B若a>b>0,则1/a>1/b C.若aa/b D若a>b,1/a>1/b,则a>0.b0,cb>0,求证:(b+m)(am>b/a 【设计意图】培养学生互动探究、小组合作、灵活解决问题能力。 题型三不等式性质的综合应用 例3已知-6<a<8,2<b<3,分别求a+b,2a-b,a/b的取值范围。 试一试练一练:(1)已知-π/2≤0-B≤π/2,求(a+B)/2,(a-B)2的取值范围 (2)已知2<a≤5,3sb<10,求ab,ab的取值范围。 【设计意图】使学生明确不等式有广泛的应用,在应用时应严格依据不等式的基本性质和运 算法则,做题时要有理有据,这是正确解答此类题目的保证 【课后小组合作探究】 (1)若a<x<b求1/x的范围 (2)易错探究:已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求3a-2b的范围. 错解:∵1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,∴0≤a≤4 又∴1≤a+b≤5,-3≤-(a-b)≤1,∴-1≤b≤3 0≤a≤4,-1≤b≤3, 0≤3a≤12,-6≤-2b≤2, 6≤3a-2b≤14. 提示:错在哪里,怎样正确求解。望类比已知a+b=5,a-b=3,求3a-2b的值,悟出错误 的本质。 【设计意图】培养学生合作探究能力。 4,小结:这节课你收获了什么? 【设计意图】帮助学生巩固所学内容、升华对知识本质的认识、形成完整的认识结构; 帮助学生清点收获,它是学生自我评价的环节 【板书设计】 复习引入 知识探究
3.例题讲解 题型一 利用不等式性质判断命题真假 例 1 对于实数 a,b,c,下列命题中正确的是（ ） A.若 a>b,则 ac2>bc2 B.若 a>b>0,则 1/a>1/b C.若 aa/b D.若 a>b,1/a>1/b,则 a>0,bb>0,ce/(b-d) 【设计意图】帮助学生认识利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等 式进行变形，要注意不等式性质成立的条件．如果不能直接由不等式性质得到，可先根据需 要证明的不等式的结构，再利用不等式性质进行转化．或利用作差法证明。培养学生观察能 力、发散能力。 互动探究：已知 a>b>0,求证：(b+m)/(a+m)>b/a 【设计意图】培养学生互动探究、小组合作、灵活解决问题能力。 题型三 不等式性质的综合应用 例 3 已知-6<a<8,2<b<3,分别求 a+b,2a-b,a/b 的取值范围。 试一试练一练：（1）已知-π/2≤α<β≤π/2,求（α+β）/2,(α-β)/2 的取值范围； （2）已知 2<a≤5,3≤b<10，求 a-b,a/b 的取值范围。 【设计意图】使学生明确不等式有广泛的应用，在应用时应严格依据不等式的基本性质和运 算法则，做题时要有理有据，这是正确解答此类题目的保证． 【课后小组合作探究】 (1)若 a<x<b,求 1/x 的范围 (2)易错探究：已知 1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求 3a－2b 的范围． 错解： ∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，∴0≤a≤4. 又∵1≤a＋b≤5，－3≤－(a－b)≤1，∴－1≤b≤3. ∵0≤a≤4，－1≤b≤3， ∴0≤3a≤12，－6≤－2b≤2， ∴－6≤3a－2b≤14. 提示：错在哪里，怎样正确求解。望类比已知 a+b=5,a-b=3,求 3a－2b 的值，悟出错误 的本质。 【设计意图】培养学生合作探究能力。 4，小结：这节课你收获了什么？ 【设计意图】帮助学生巩固所学内容、升华对知识本质的认识、形成完整的认识结构； 帮助学生清点收获，它是学生自我评价的环节。 【板书设计】 复习引入 知识探究