3.1不等式关系与不等式 一高效演练知能提升 A级基础巩固 选择题 1.下列命题正确的是() A.某人月收入x不高于2000元可表示为“xy C.某变量x至少是a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≥a” 解析:对于A,x应满足κ≤2000,故A错:对于B,x,y应满足x2xy-1 x2+y2=2xy-1 x2+y20,所以x2+y2>2xy-1 答案:A 3.设a1>b》-1,则下列不等式中恒成立的是( A. ab b D. a2b 解析:对于A,因为一11>b-1,但故B错误;对于C,若a=2,b= 时满足1>bD-1,但1,故C错误:对于D,若a=9, 此时满足a>1>b-1,但 a<2b,故D错误 答案:A 4.已知三个正实数a,b,c满足砍a+∝≤2b,b+c≤2a,则的取值范围为() 3)
3.1 不等式关系与不等式 A 级 基础巩固 一、选择题 1．下列命题正确的是( ) A．某人月收入 x 不高于 2 000 元可表示为“x＜2 000” B．小明的身高 x，小华的身高 y，则小明比小华矮表示为“x＞y” C．某变量 x 至少是 a 可表示为“x≥a” D．某变量 y 不超过 a 可表示为“y≥a” 解析：对于 A，x 应满足 x≤2 000，故 A 错； 对于 B，x，y 应满足 x＜y，故 B 不正确； C 正确；对于 D，y 与 a 的关系可表示为 y≤a，故 D 错误． 答案：C 2．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x 2＋y 2 >2xy－1 B．x 2＋y 2＝2xy－1 C．x 2＋y 2 0，所以 x 2＋y 2 >2xy－1. 答案：A 3．设 a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是( ) A．a>b 2 B. 1 a > 1 b C. 1 a 2b 解析：对于 A，因为－11，所以 a>b 2，故 A 正确；对于 B，若 a＝2，b＝ 1 2 ，此时满足 a>1>b>－1，但1 a 1>b>－1，但1 a > 1 b ，故 C 错误；对于 D，若 a＝ 9 8 ，b＝ 3 4 ，此时满足 a>1>b>－1，但 a 2 <2b，故 D 错误． 答案：A 4．已知三个正实数 a，b，c 满足 b<a＋c≤2b，a<b＋c≤2a，则a b 的取值范围为( ) A. 2 3 ， 3 2 B. 1 3 ， 2 3
e 解析:依条件有{从a+≤2 2a≤-b-c-a, 从而有b-2aa-K2b-a, 即有18b2n,又a0,b 所以= 答案:A 5.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行, 半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则谁先到教室() B.乙 C.同时到达 D.无法判断 解析:设路程为s,步行速度,跑步速度v,则 甲用时t1 乙用时t=v+v 2n"2v2+v 2n(v+ (n1-v2)2·s 2v(n+) 所以甲用时多 答案:B 、填空题 给出下列命题:①ab=aC>bc;②a|b→a>b:③aha>b:④|a|>b→a>b.其 中正确的命题序号是 解析:①当c=0时不成立 ②一定成立 ③当ab时,a-b=(a-b)(a+ab+b)=(a-b)·(a 20成立
C. 0， 2 3 D. 3 2 ，2 解析：依条件有 b2a， 又 a>0，b>0， 所以2 3 0， 所以甲用时多． 答案：B 二、填空题 6．给出下列命题：①a>b⇒ac 2 >bc 2；②a>|b|⇒a 2 >b 2；③a>b⇒a 3 >b 3；④|a|>b⇒a 2 >b 2 .其 中正确的命题序号是________． 解析：①当 c 2＝0 时不成立． ②一定成立． ③当 a>b 时，a 3－b 3＝(a－b)(a 2＋ab＋b 2 )＝(a－b)· a＋ b 2 2 ＋ 3 4 b 2 >0 成立．
④当K0时,不一定成立.如:|2|>-3,但20,b-c>0,a-c>0, 所以 (a-b+b-c)(a-c)-3(a-b)(b-c) (a-b)(b-c)(a-c) (a-b)+(b-c)]-3(a-b)(b-c) (a-b)(b-c)(a-c) [(a-b)-(b-c)]2+(a-b)(b-c) (a-b)(b-c)(a-c) 所以 答案:> 8.某校高一年级的213名同学去科技馆参观,租用了某公交公司的几辆公共汽车.如 果每辆车坐30人,则最后一辆车不空也不满,则题目中所包含的不等关系为 30(x-1)213 答案:10>213 解答题 9.(1)已知K≤1,比较3x与3x-x+1的大小 (2)若-10, 所以(x-1)(3x2+1)≤0 所以3x≤3x2-x+1. (2)因为-1-b>0, 所以a>b>0 因为a<b<0,所以a·<b·<0
④当 b－3，但 2 2 b>c，则 1 a－b ＋ 1 b－c ________ 3 a－c (填“>”“＝”或“b>c，所以 a－b>0，b－c>0，a－c>0， 所以 1 a－b ＋ 1 b－c － 3 a－c ＝ （a－b＋b－c）（a－c）－3（a－b）（b－c） （a－b）（b－c）（a－c） ＝ [（a－b）＋（b－c）] 2－3（a－b）（b－c） （a－b）（b－c）（a－c） ＝ [（a－b）－（b－c）] 2＋（a－b）（b－c） （a－b）（b－c）（a－c） >0， 所以 1 a－b ＋ 1 b－c > 3 a－c . 答案：> 8．某校高一年级的 213 名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的几辆公共汽车．如 果每辆车坐 30 人，则最后一辆车不空也不满，则题目中所包含的不等关系为________． 解析：设租车 x 辆，根据题意得： 30（x－1）＜213， 30x＞213. 答案： 30（x－1）＜213， 30x＞213 三、解答题 9．(1)已知 x≤1，比较 3x 3 与 3x 2－x＋1 的大小； (2)若－1＜a＜b＜0，试比较1 a ， 1 b ，a 2，b 2 的大小． 解：(1)3x 3－(3x 2－x＋1)＝(3x 3－3x 2 )＋(x－1)＝3x 2 (x－1)＋(x－1)＝(x－1)·(3x 2＋ 1)． 因为 x≤1，所以 x－1≤0，又 3x 2＋1＞0， 所以(x－1)(3x 2＋1)≤0， 所以 3x 3≤3x 2－x＋1. (2)因为－1＜a＜b＜0，所以－a＞－b＞0， 所以 a 2＞b 2＞0. 因为 a＜b＜0，所以 a· 1 ab ＜b· 1 ab ＜0， 即 0＞ 1 a ＞ 1 b
所以a>b>-> 10.已知xy0,试比较x-2y3与xy2-2x2y的大小 解:由题意,知(x-2y3)-(xy2-2x2y)=x3-xy2+2xy-2y=x(x2-y2)+2y(x-y2) (x2-y2)(x+2y)=(x-y)(x+y)(x+2y) 因为xy>0,所以x-y>0,x+y0,x+2y0 所以(x-2y2)-(xy2-2x2y)>0, 即x3-2y3>xy2-2xy B级能力提升 1.(2016·全国卷I)若a>b>1,02,选项A错误,3×2>2×32,选项 B错误,310g21og,选项D错误 答案:C 2.已知实数x,y满足一4≤x-y≤-1,-1≤4x-J≤5,则9x-3y的取值范围是 解析:设9x-3y=a(x-y)+b(4x-y)=(a+4b)x-(a+b)y, 所以{十4b=9,aa=1 a+b=3, 所以9x-3y=(x-y)+2(4x-y) 因为-1≤4x-≤5, 所以-2≤2(4x-y)≤10, 又-4≤x≤-1 所以-6≤9x-3y≤9 答案:[-6,9] 3.已知a>0,b>0,且m,n∈N,1≤m≤n,比较a+b与a"b+ab"的大小 解:a+b-(ab+db-)=a-·(a-b)+b-(b-a)=(d-b)·(a"-b-) 因为a>0,b>0,m,n∈N,1≤m≤n, 当a=b>0时,a+b-(a"b+ab-)=0 当a>b>0时,a>b,a≥b, 所以a+b-(a-b+db-2)≥0 当b>a>0时,d<b,a≤b
所以 a 2＞b 2＞ 1 a ＞ 1 b . 10．已知 x>y>0，试比较 x 3－2y 3 与 xy 2－2x 2 y 的大小． 解：由题意，知(x 3－2y 3 )－(xy 2－2x 2 y)＝x 3－xy 2＋2x 2 y－2y 3＝x(x 2－y 2 )＋2y(x 2－y 2 )＝ (x 2－y 2 )(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)． 因为 x>y>0，所以 x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0， 所以(x 3－2y 3 )－(xy 2－2x 2 y)>0， 即 x 3－2y 3 >xy 2－2x 2 y. B 级 能力提升 1．(2016·全国卷Ⅰ)若 a＞b＞1，0＜c＜1，则( ) A．a c ＜b c B．ab c ＜ba c C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc 解析：用特殊值法，令 a＝3，b＝2，c＝ 1 2 得 3 1 2＞2 1 2，选项 A 错误，3×2 1 2＞2×3 1 2，选项 B 错误，3log2 1 2 ＜2log32，选项 C 正确，log3 1 2 ＞log2 1 2 ，选项 D 错误． 答案：C 2．已知实数 x，y 满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则 9x－3y 的取值范围是 ________． 解析：设 9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)＝(a＋4b)x－(a＋b)y， 所以 a＋4b＝9， a＋b＝3， 解得 a＝1， b＝2， 所以 9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)， 因为－1≤4x－y≤5， 所以－2≤2(4x－y)≤10， 又－4≤x－y≤－1， 所以－6≤9x－3y≤9. 答案：[－6，9] 3．已知 a＞0，b＞0，且 m，n∈N *，1≤m≤n，比较 a n ＋b n 与 a n－m b m＋a m b n－m 的大小． 解：a n ＋b n －(a n－m b m ＋a m b n－m )＝a n－m ·(a m －b m )＋b n－m (b m－a m )＝(a m －b m )·(a n－m －b n－m )． 因为 a＞0，b＞0，m，n∈N *，1≤m≤n， 当 a＝b＞0 时，a n ＋b n －(a n－m b m ＋a m b n－m )＝0； 当 a＞b＞0 时，a m ＞b m ，a n－m ≥b n－m ， 所以 a n ＋b n －(a n－m b m ＋a m b n－m )≥0； 当 b＞a＞0 时，a m ＜b m ，a n－m ≤b n－m
所以a+b-(ab+ab-)≥0. 综上所述,a+b≥ab+db
所以 a n ＋b n －(a n－m b m ＋a m b n－m )≥0. 综上所述，a n ＋b n ≥a n－m b m ＋a m b n－m